MATHEMATIK G9 LÖSEN VON GLEICHUNGEN

Transkript

1 MATHEMATIK G9 LÖSEN VON GLEICHUNGEN Viele mathematische (und naturwissenschaftliche) Probleme lassen sich dadurch lösen, dass man eine Gleichung (oder auch mehrere) aufstellt und diese dann löst. Wir werden im Folgenden die häufigsten in der Schulmathematik auftretenden Gleichungen besprechen. 1. Lineare Gleichungen Gleichungen, in welchen die Unbekannte x nur in der ersten Potenz auftritt, nennt man lineare Gleichungen. Diese sind sehr einfach zu lösen: man bringt alle Terme, die x enthalten, auf eine Seite, etwa die linke, und alle andern auf die rechte Seite. Beispiel. 3x + 5x 7 = 12 2x + 3x 5 8x 7 = x + 7 7x 7 = 7 7x = 14 x = 2 x + 7 : 7 Wichtig ist: einen Term 7 bekommt man mit +7 auf die andere Seite, während man ein 7 durch : 7 weg bekommt. Führt das Umformen auf eine Gleichung der Form 0 = 1, hat die Gleichung keine Lösung: 2x + 3 = 3x 1 x 2x + 3 = 2x 1 3 = 1 1 2x

2 2 LÖSEN VON GLEICHUNGEN Abbildung 1. Schnittpunkt der Gerade y = 2x 3 und y = 3x + 2. Führt eine Gleichung dagegen auf 0 = 0, so ist die Gleichung für alle x richtig: (2x + 1) 2 1 = 4x(x + 1) 4x 2 + 4x = 4x 2 + 4x 0 = 0 4x 2 4x Sehr oft tauchen lineare Gleichungen auf, wenn man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Sind etwa die Geraden y = 2x 3 und y = 3x+2 gegeben, so setzt man diese Ausdrücke gleich (im Schnittpunkt müssen beide Geraden denselben y-wetr haben): 2x 3 = 3x + 2 Auflösen ergibt x = 1. Setzt man dies in die beiden Geradengleichungen ein, erhält man y = = 1 bzw. y = = 1. Der Schnittpunkt ist also gegeben durch S(1 1).

3 MATHEMATIK G9 3 Enthält die Gleichung außer der Unbekannten x weitere Parameter a, b, c usw., dann werden diese behandelt wie gewöhnliche Zahlen: ax + 5 = 2x 3 2x 5 ax 2x = 3 5 (a 2)x = 8 : (a 2) x = 8 a 2 Hier haben wir links im Ausdruck ax 2x den Faktor x ausgeklammert; alle anderen Umformungen sollten vertraut sein. Die Division durch a 2 ist natürlich nur erlaubt, falls a 2 ist. In Zwischenrechnungen dürfen durchaus auch einmal höhere Potenzen von x auftauchen. Ein Beispiel dafür ist die folgende Gleichung (2x 1) 2 = (3 2x) 2 4x 2 4x + 1 = 9 12x + 4x 2 4x x 1 12x 4x = 9 1 8x = 8 x = 1 : 8 Eine Probe zeigt, dass wir richtig gerechnet haben: (2 1 1) 2 = (2 1) 2 = 1 2 = 1, (3 2 1) 2 = (3 2) 2 = 1 2 = Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen sind solche, die neben konstanten und linearen auch qiadratische Terme enthalten. Sie lassen sich immer auf die Form ax 2 + bx + c = 0 mit Zahlen a, b, c bringen, von denen a 0 sein muss, denn sonst würde eine lineare Gleichung vorliegen. Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind solche, bei denen b = 0 oder c = 0 ist. Reinquadratische Gleichungen. Quadratische Gleichungen der Form x 2 = a nennt man reinquadratische Gleichungen. Diese lassen sich durch Wurzelziehen lösen: x 2 = 16 hat die beiden Lösungen x 1 = 4 uznd x 2 = 4. Entsprechend hat x 2 = 5 die beiden Lösungen x 1 = 5 und x 2 = 5.

4 4 LÖSEN VON GLEICHUNGEN Auch die Gleichung (x 1) 2 = 4 kann man durch Wurzelziehen lösen: Man findet x 1 = ±2; die Gleichung x 1 = 2 liefert die Lösung x 1 = 1, die Gleichung x 1 = 2 dagegen x 2 = 3. Entsprechend führt (x 2) 2 = (2x) 3 auf x 2 = ±2x, also auf x 1 = 2 3 und x 2 = 2. Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied. Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0, in welcher das Absolutglied c = 0 ist, lassen sich ganz einfach durch Ausklammern lösen. Ist etwa 3x 2 7x = 0, so hat man nach Ausklammern von x die Gleichung x(3x 7) = 0. Auf der linken Seite steht das Produkt zweier Faktoren, nämlich von x und 3x 7. Damit dieses Produkt 0 ergibt, muss einer der beiden Faktoren 0 sein: Multipliziert man nämlich zwei von 0 verschiedene Zahlen, so ist auch das Produkt 0. Im vorliegenden Fall muss also entweder x 1 = 0 oder 3x 7 = 0 und damit x 2 = 7 3 sein. Das Vorhandensein weiterer Parameter macht die Sache nicht schwieriger: Die Gleichung ax 2 + bx = 0 mit a 0 hat wegen x(ax + b) = 0 die beiden Lösungen x 1 = 0 und x 2 = b a. Manchmal liegt der Ausdruck schon als Produkt vor: die Lösungen von (x 2 2)(2x 1) = 0 kann man direkt ablesen: x 1,2 = ± 2 und x 2 = 1 2. Allgemeine quadratische Gleichungen. Um die Gleichung x 2 + 6x 7 = 0 zu lösen, kann man die Gleichung mit quadratischer Ergänzung in eine reinquadratische Gleichung verwandeln. Dazu schreibt man x 2 + 6x 7 = (x 2 + 6x Addition von 9 9 = 0 = (x + 3) 2 16 binomische Formel Also ist (x + 3) 2 16 = 0, folglich (x + 3) = 16 und nach Wurzelziehen x + 3 = ±4. Daraus folgen die beiden Lösungen x 1 = 7 und x 2 = 1.

5 MATHEMATIK G9 5 Hat die quadratische Gleichung die Form x 2 + px + q = 0, so verläuft der Weg über die quadratische Ergänzung so: ( x + p 2 x 2 + px + q = 0 ) 2 ( p ) 2 + q = 0 2 ( x + p ) 2 ( p 2 = q 2 2) x + p 2 = ± (p 2 x = p 2 ± (p 2) 2 q. ) 2 q p 2 Die letzte Formel nennt man die p-q-formel zur Lösung quadratischer Gleichungen. Bei der Anwendung ist darauf zu achten, dass der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist. Etwas allgemeiner ist die a-b-c-formel zur Lösung der Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Um die quadratische Ergänzung ohne Nenner zu ermöglichen, multiplizieren wir die Gleichung mit 4a: ax 2 + bx + c = 0 4a 4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0 (2ax + b) 2 b 2 + 4ac = 0 (2ax + b) 2 = b 2 4ac 2ax + b = ± b 2 4ac 2ax = b ± b 2 4ac + b 2 4ac b : 2a x = b ± b 2 4ac 2a Die Idee hinter der Herleitung dieser Formel ist einfach: man verwandelt die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung in eine rein quadratische Gleichung, woraus man durch Wurzelziehen eine (genauer in zwei) lineare Gleichung erhält, die man dann nach x auflöst. 3. Satz von Vieta Viele quadratische Gleichungen, die im Schulunterricht auftauchen, haben ganzzahlige Lösungen. Mit dem Satz von Vieta kann man diese

6 6 LÖSEN VON GLEICHUNGEN oft schneller erraten als man die Gleichung mit der a-b-c-formel lösen kann. Ganz überflüssig wird das Raten, wenn man (aus was für Gründen auch immer) bereits eine Lösung kennt. Weiß man etwa, dass x 2 7x+12 = 0 die Lösung x 1 = 3 hat, dann muss x 2 7x + 12 = (x 3)(x b) sein, denn nach dem Ausmultiplizieren muss vorne x 2 herauskommen und nach dem Nullproduktsatz muss sich 0 ergeben, wenn man x = 3 einsetzt. Ausmultiplizieren (bzw. Betrachten des konstanten Glieds) und Vergleichen der beiden Seiten liefert 3b = 12, also b = 4 und damit x 2 7x + 12 = (x 3)(x 4). Also hat die Ausgangsgleichung die Lösungen x 1 = 3 und x 2 = 4. Muss man beide Lösungen raten, so setzt man und löst die Klammern auf: x 2 + px + q = (x a)(x b) x 2 + px + q = x 2 ax bx + ab = x 2 (a + b)x + ab. Es muss also p = a b und q = ab sein. Wenn die Lösungen ganzzahlig sind, gibt es nur endlich viele Möglichkeiten. Hat man etwa x 2 5x + 6 = 0 zu lösen, dann muss ab = 6 sein, was (bis auf Vertauschung von a und b) nur die Möglichkeiten zulässt. Wir setzen also (a, b) = (1, 6), ( 1, 6), (2, 3), ( 2, 3) x 2 5x + 6 = (x ± 1)(x ± 6) oder x 2 5x + 6 = (x ± 2)(x ± 3), wobei in beiden Klammern dasselbe Vorzeichen stehen muss, weil 6 > 0 ist. Die Summe von a und b muss gleich 5 sein: Das geht nur bei der zweiten Möglichkeit, also gilt x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3), und die Ausgangsgleichung hat nach dem Nullproduktsatz die Lösungen x 1 = 2 und x 2 = Gleichungen höheren Grades Gleichungen höheren Grades, die in der Schule auftreten, lassen sich immer auf einer der folgenden drei Arten lösen.

7 MATHEMATIK G9 7 Reine Gleichungen. Damit sind Gleichungen der Form x 4 = 4 oder x 3 = 2 gemeint. Im ersten Fall erhält man durch Ziehen der Quadratwurzel x 2 = ±2; die Gleichung x 2 = 2 hat keine Lösung, aus x 2 = 2 folgt x 1,2 = ± 2. Bei der zweiten Gleichung liefert Ziehen der dritten Wurzel die Lösung x = 3 2. Nullproduktsatz. Zwar gibt es für Gleichungen dritten oder vierten Grades Lösungsformeln wie für quadratische Gleichungen, die aber zum einen kein Schulstoff sind und zum andern kaum zur numerischen Lösung solcher Gleichungen taugen. Gleichungen dritten Grades, die in der Schule auftauchen, haben also immer die Form ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 mit verschwindendem Absolutglied d = 0. Zur Lösung klammert man x aus und benutzt den Nullproduktsatz: ax 3 + bx 2 + cx = 0 x(ax 2 + bx + c) = 0 x 1 = 0, ax 2 + bx + c = 0 Die zweite Gleichung löst man mit der a-b-c-formel. Substitution. Eine der wichtigsten Techniken zum Lösen etwas komplizierterer Gleichungen ist die Substitution. Ist etwa die Gleichung (2x + 1) 2 + 5(2x + 1) + 4 = 0 gegeben, so muss man die Klammern nicht auflösen, sondern kann die Abkürzung 2x + 1 = z einführen. Damit wird dann aus unserer Gleichung z 2 + 5z + 4 = 0 mit den beiden Lösungen (Vieta) z 1 = 1 und z 2 = 4. Weil z aber für 2x + 1 steht, bedeutet dies (Resubstitution) 2x = 1 bzw. 2x = 4, was auf x 1 = 1 und x 2 = 5 führt. 2 Weitaus öfter benutzt man diese Technik zum Lösen von Gleichungen der Form x 4 + 3x 2 4 = 0. Wer Vieta beherrscht, sieht sofort, dass diese Gleichung sich in der Form (x 2 + 4)(x 2 1) = 0 schreiben lässt, was nach dem Nullproduktsatz auf die einzigen Lösungen x 1,2 = ±1 führt. Um auch ohne Vieta ans Ziel zu kommen, muss

8 8 LÖSEN VON GLEICHUNGEN man x 2 = z setzen; damit ist dann x 4 = z 2, und unsere Gleichung schreibt sich in der Form z 2 + 3z 4 = 0, was (mit Vieta oder a-bc-formel) auf z 1 = 1 und z 2 = 4 führt. Jetzt schreibt man wieder (Resubstitution) x 2 = 1 bzw. x 2 = 4, was wie zuvor auf die beiden Lösungen x 1,2 = ±1 führt. 5. Bruchgleichungen Bei Bruchgleichungen treten Brüche auf, deren Nenner die Unbekannte enthalten. Diese werden gelöst, indem man mit dem Hauptnenner durchmultipliziert (hierbei ist zu beachten, dass um jeden Zähler und jeden Nenner grundsätzlich eine Klammer zu denken ist), die Klammern auflöst und die Gleichung auf einen bekannten Typ zurückführt. x x x 1 = 3 2 x + 1 3x x 1 = 3x 2 3x(x 1) (x + 1)(x 1) 3x = 2 2(x + 1)(x 1) 2 3x = 3x(x 1) 2(x 2 1) 6x = 3x 2 + 3x 2x 2 2 6x + 3x 2 3x = 0 5x 2 9x 2 = 0 x (x 1) 2 Klammern auflösen + 3x 2 3x zusammenfassen a-b-c-formel x 1 = 2, x 2 = 1 5 Bei Bruchgleichungen ist nachträglich zu prüfen, ob die Lösungen tatsächlich auch Lösungen sind. Im vorliegenden Fall darf nämlich x weder 0, noch 1 sein, weil sonst die Ausgangsgleichung sinnlos wäre. Der Grund hierfür ist, dass z.b. die Multiplikation mit x nicht notwendig eine Äquivalenzumformung ist. So hat die Gleichung x = 1 selbstverständlich nur die eine Lösung x 1 = 1; nach Multiplikation mit x wird daraus die Gleichung x 2 = x mit den beiden Lösungen x 1 = 1 und x 2 = 0. Beim Wegschaffen der Nenner können also Lösungen hinzukommen, und deswegen ist hier die Probe Pflicht!

9 MATHEMATIK G Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung 2 x = 16 mit der Lösung x = 4. Taucht in der Gleichung nur ein Term der Form a x auf, löst man nach diesem auf (wie immer erst durch Addition und Subtraktion, dann durch Multiplikation und Division) und nimmt auf beiden Seiten den Logarithmus: 3 2 x + 5 = x = 27 : 3 2 x = 9 log log(2 x ) = log(9) x log(2) = log(9) x = log(9) log(2) : log(2) Hierbei haben wir das Logarithmusgesetz log(a x ) = x log(a) angewendet. Tauchen zwei Terme mit der Unbekannten im Exponenten auf und kann man diese nicht zusammenfassen, etwa wie bei 3 2 x x = 64, wo man 3 2 x x = 8 2 x schreiben kann, dann kann man die Substitution a x = zversuchen. 2 2x 9 2 x + 8 = 0 2 x = z, 2 2x = z 2 z 2 9z + 8 = 0 Vieta (z 1)(z 8) = 0 Nullproduktsatz z 1 = 1, z 2 = 8 Resubstitution 2 x = 1, 2 x = 8 x 1 = 0, x 2 = 3 Man kann hier den Satz von Vieta auch ohne Substitution anwenden, wenn man schreibt. 2 2x 9 2 x + 8 = (2 x 1)(2 x 8)

10 10 LÖSEN VON GLEICHUNGEN 7. Trigonometrische Gleichungen Der letzte Typ von Gleichungen, die man ohne große Probleme von Hand lösen kann, sind ganz bestimmte Gleichungen, in welchen Sinusund Kosinus-Funktionen auftreten. Alle solchen Gleichungen, soweit sie Schulstoff sind, lassen sich mit Nullproduktsatz oder Substitution auf eine der folgenden Gleichungen zurückführen: sin x = 1, sin x = 0, sin x = 1 bzw. cos x = 1, cos x = 0, cos x = 1. Deren Lösungen im Intervall [0; 2π] muss man den folgenden Skizzen entnehmen können: Um etwa die Lösungen von sin x = 0 abzulesen, muss man schauen, an welchen Stellen (also für welche Werte von x) das Schaubild der Sinusfunktion Nullstellen (also y-koordinate 0) besitzt. Dies ist für x 1 = 0, x 2 = π und x 3 = 2π der Fall. Entsprechend hat sin x = 1 im vorgegebenen Intervall die einzige Lösung x 1 = π 2 usw. Die Gleichung sin(πx) = 0 führt man mit der Substitution πx = z auf eine der obigen zurück: Man hat dann sin z = 0 zu lösen, und Resubstitution führt auf πx = 0, πx = π bzw. πx = 2π, also x 1 = 0, x 2 = 1 und x 3 = 2. Ganz wichtig ist die Beobachtung, dass die Sinus- und Kosinus-Funktion nur Werte zwischen 1 und +1 annehmen und somit alle Gleichungen der Form sin x = 2 oder cos(x) = 3 keine Lösung besitzen.

11 MATHEMATIK G9 11 Übungen (1) Löse die folgenden Gleichungen. a) 3x 2 = 7 b) 4x 2 = 7x + 3 c) 2(x 1) = 3(x 2) d) 1 2 x 2 = 1 3 x 3 (2) Bestimme den Schnittpunkt der folgenden Geraden. a) y = x 1, y = 2x 4 b) y = 1 3x, y = x c) y = 2x + 1, y = 1x 2 d) y = 1x 1, 3 2 y = 1x (3) Löse folgende Gleichungen. a) 12x = 13x b) x 2 x = x 2 + x + 1 c) 2x 3 x = 2x 3 + x d) (x 2)(x + 2) = (x 1) 2 (4) Löse folgende Gleichungen. a) ax = 2 b) mx + b = a c) ax + 2 = bx d) a(x 1) = b(x + 1) (5) Löse folgende Gleichungen. a) ax + 2 = 3x 1 b) ax + 2 = bx + 3 c) a(x 1) + 2 = bx 3 d) ax = bx + 1 (6) Löse folgende Gleichungen. a) (3x 4) 2 = (1 3x) 2 b) x(2x 1) = 2x(x 3) c) (x 1)(x + 1) = x d) 4(x 1) 2 = (1 2x) 2 (7) Löse folgende Gleichungen. a) x 2 = 81 b) 2x 2 = 50 c) x = 0 d) 4x = 3x (8) Löse folgende Gleichungen. a) x 2 19x = 0 b) 2x x = 0 c) 3x 2 = 5x d) x 2 = x (9) Löse folgende Gleichungen mit dem Satz von Vieta. a) x 2 5x + 6 = 0 b) x 2 x 6 c) x 2 7x + 6 = 0 d) x 2 + 7x + 6 = 0

12 12 LÖSEN VON GLEICHUNGEN (10) Löse folgende Gleichungen. a) x 2 7x + 10 = 0 b) x = 7x c) x 2 + x = 30 d) x 2 + 2x = 35 (11) Löse folgende Gleichungen. a) x 3 = 27 b) 2x 4 = 32 c) 3x 5 = 96 d) 2x 4 = 4 (12) Löse folgende Gleichungen. a) x 3 5x 2 + 6x = 0 b) x 3 x 2 = 56x c) x 3 = 17x 2 d) 5x 3 = 10x (13) Löse folgende Gleichungen. a) x 4 6x = 0 b) x 4 5x = 0 c) x 4 + 6x 2 = 7 d) 2x 4 + 3x 2 = 5 (14) Löse folgende Gleichungen. a) x 6 9x = 0 b) x 5 13x x = 0 c) (2x 1) 2 + 5(2x 1) = 6 d) x 3 x + 2 = 0 (15) Löse folgende Gleichungen. a) c) 1 x = 1 17 x x + 1 = 3x 2 2x b) d) 1 x = x 2x 1 = 4 (16) Löse folgende Gleichungen (ggf. mit WTR). a) 3 2 x = 48 b) 1, 2 x = 100 c) 1, 5 0, 9 x = 0, 001 d) 30 1, 1 x = 520 (17) Löse folgende Gleichungen. a) 2 2x 9 2 x + 8 = 0 b) 3 2x x = 9 c) 2 3x x x = 0 d) 2 2x x + 4 = 0 (18) Löse folgende Gleichungen. a) (sin x) 2 = sin x b) (cos x) cos x = 0 c) (sin x) 2 3 sin(x) + 2 = 0 d) cos( π 2 x)2 = 1

13 MATHEMATIK G9 13 Lösungen (1) a) x = 3; b) x = 5 ; c) x = 4; d) 3 (2) a) S(3 2); b) S( ); c) S( ); d) S(2 1 6 ) (3) a) x = 0; b) x = 1 2 ; c) x = 0; d) x = 5 2 (4) a) x = 2 a b ; b) x = ; c) x = 2 ; a m a b (5) a) x = 3 a 3 ; b) x = 1 a b ; a+b d) x = a b a 5 c) x = ; d) x = 1 a b a b (6) a) x = 5 6 ; b) x = 0; c) keine Lösung; d) x = 3 4 (7) a) x 1,2 = ±9; b) x 1,2 = ±5; c) keine Lösung; d) x 1,2 = ±3 (8) a) x 1 = 0, x 2 = 19; b) x 1 = 0, x 2 = 25; c) x 1 = 0, x 2 = 5; 3 d) x 1 = 0, x 2 = 1; (9) a) (x 2)(x 3) = 0, also x 1 = 2, x 2 = 3 b) x 2 = 2, x 2 = 3; c) x 1 = 1, x 2 = 6; d) x 1 = 1, x 2 = 6 (10) a) x 1 = 2, x 2 = 5; b) x 1 = 3, x 2 = 4 c) x 1 = 5, x 2 = 6; d) x 1 = 5, x 2 = 7 (11) a) x = 3; b) x 1,2 = ±4; c) x = 2; d) x 1,2 = ± 4 2 (12) a) x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 3; b) x 1 = 0, x 2 = 7, x 3 = 8; c) x 1 = 0, x 2 = 17; d) x 1 = 0, x 2,3 = ± 2 (13) a) x 1,2 = ± 3; b) x 1,2 = ±1, x 3,4 = ±2; c) x 1,2 = ±1, x 3,4 = ± 6; d) x 1,2 = ±1 (14) a) x 1 = 1, x 2 = 2; b) x 1 = 0, x 2,3 = ±2, x 4,5 = ±3; c) x 1 = 1, x 2 = 5 2 ; d) z = x, z 2 = x; damit z 1 = 1, z 2 = 2 und x 1 = 1, x 2 = 4 (15) a) x = 17; b) x 1,2 = ±3; c) x 1 = 1, x 2 = 2; d) x = 4 7 (16) a) x 1 = 4; b) x = log(100) log(1,2) d) x = log(4) = 14, 55 log(1,1) 25, 26 log(0,001/1,5) c) x = 69, 4 log(0,9) (17) a) 2 x = z; z 1 = 1, z 2 = 8; x 1 = 0, x 2 = 3 b) x = 0; c) 2 x (2 x 2)(2 x 8) = 0; x 1 = 1, x 2 = 3; d) 2 2 2x 9 2 x +4 = 0; z = 2 x ; z 1 = 1 2, z 2 = 4, also x 1 = 1, x 2 = 2 (18) a) x 1 = 0, x 2 = π 2, x 3 = π, x 4 = 2π; b) x 1 = π 2, x 2 = 3π 2 c) x = π 2 d) x 1 = 0, x 2 = π, x 3 = 2π.