, = 2x, dz = 2x dx dx c und d) Partielle Integration u v = u v u v

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1 Tipps und Lösungen zum Selbsttest Physik/Physik Lehramt Hinweis: Wenn Sie bei einer Aufgabe nicht weitergekommen sind, lesen Sie bitte zuerst die Tipps und versuchen Sie es danach erneut. Die Lösungen sollten Sie erst lesen, wenn Sie bereits ein Ergebnis bestimmt haben und dieses Überprüfen wollen oder wenn Sie trotz Tipps nicht mehr weiterkommen. Viel Erfolg! Tipps Teil 1 von 2: Mathematische Grundfertigkeiten Tipp 1. Wenn Sie die Reihe mithilfe eines Summenzeichens aufschreiben wollen, benötigen Sie eine Hilfsvariable, die z.b. i genannt werden kann. Die Summe läuft dann von i = 1 bis i = n. Tipp 2. a) Bei dieser Aufgabe sollen Sie den Bruch mithilfe der Potenzgesetze vereinfach (kürzen), soweit es möglich ist. Wenn bspw. sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Potenz von a steht, können Sie vereinfachen nach der Regel: a x a y = ax y. b) Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, müssen Sie den gemeinsamen Hauptnenner der drei Brüche bilden und entsprechend erweitern. Versuchen Sie den Zähler des zweiten und dritten Bruchs zu vereinfachen (mittels Ausklammern bzw. drittem Binomisches Gesetz). Tipp 3. Klammern Sie in Zähler und Nenner n 3 aus und kürzen Sie. Tipp 4. Lineare Gleichungssysteme lassen sich mittels Gauÿ-Verfahren lösen. a) Addieren Sie die erste und zweite Gleichung. b) Addieren Sie die erste und die zweite Gleichung, um c zu bestimmen. Tipp 5. Leiten Sie die Funktionen entsprechend der Ableitungsregeln ab. a) Summenregel b) Produktregel c) Quotientenregel d) Kettenregel Tipp 6. Versuchen Sie sich an die Grundintegrale sowie die Substitution bzw. die partielle Integration zu erinnern. a) x dx = 1 2 x2 + c, c R Wie funktioniert das Integrieren dann bei höheren Potenzen von x? b) z = 1 x 2 dz, = 2x, dz = 2x dx dx c und d) Partielle Integration u v = u v u v

2 Tipp 7. a) Gibt es irgendwelche x, für die f(x) nicht deniert ist? b) Schauen Sie sich Denitions- und Wertebereich bzw. die Struktur der Funktion an. Kann es eine Polstelle geben? c) Für ein Extremum muss gelten: f (x E ) = 0, f (x E ) 0 f (x E ) < 0 lokales Maximum f (x E ) > 0 lokales Minimum Tipp 8. a) a + a 1 + b 1 b = a 2 + b 2 a 3 + b 3 b) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a 2 b 3 a 3 b 2 b = a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Tipp 9. Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer von ihnen durch Addition beliebiger Vielfacher der anderen Vektoren darstellen lässt. Tipp = 0, =... 2

3 Lösungen Teil 1 von 2: Mathematische Grundfertigkeiten Lösung 1. Lösung 2. a) 3a n+1 6x n+7 9b x+1 3x n 2b x+1 3a n i=1 i 2 i = an+1 a xn+7 x bx+1 n b = x+1 9an x 7 b) = 2b a (a + b)(a b) + a b a 2 + ab a a 2 + b 2 ( 1) 2b a (a + b)(a b) + a b a(a + b) a (a + b)(a b) = (2b a) a + (a b)2 a 2 a(a + b)(a b) = 2ab a2 + a 2 + b 2 2ab a 2 a(a + b)(a b) = b 2 a 2 a(a + b)(a b) = (a2 b 2 ) a(a + b)(a b) = (a + b)(a b) a(a + b)(a b) = 1 a Lösung 3. lim n 4n 3 32n n 3 2n 2 + 3n 1 = lim n n 3 (4 32 n + 11 n 3 ) n 3 (6 2 n + 3 n 2 1 n 3 ) = lim n (4 32 n + 11 n 3 ) (6 2 n + 3 n 2 1 n 3 ) = 4 6 = 2 3 Lösung 4. a) Addition der Gleichungen führt auf 2x = 8 und somit x = 4. Subtraktion der Gleichungen führt auf 2y = 12 und somit y = 6. b) Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf c = 12. Einsetzen von c in die dritte Gleichung führt auf a b = 12 + c = 0. Somit muss a = b gelten. Die erste Gleichung lässt sich somit umformen von 1a + 3b = 7 + 2c auf 4a = 4b = 17. Somit ist a = b = 17 = 4, 25 und c = Lösung 5. a) Anwenden der Summenregel ergibt b) Anwenden der Produktregel ergibt f (x) = 15x 2 + x + 7 g (x) = cos x e x + sin x e x ( 1) = e x (cos x sin x) 3

4 c) Anwenden der Quotientenregel ergibt h (x) = 1 (a2 x 2 ) x ( 2x) a 2 x 2 = a2 x 2 + 2x 2 a 2 x 2 = a2 + x 2 a 2 x 2 d) Anwenden der Kettenregel ergibt j (x) = 1 x 2 2x = 2 x Lösung 6. a) f(x) = 4x 3 dx = x4 + c = x 4 + c, c R b) g(x) = 2x 1 x 2 dx Substitution: 1 x 2 dz = z, dx = 2x, dz = 2x dx z 2 g(z) = dz = 3 z c, c R Resubstitution: g(x) = 2 3 (1 x2 ) c c) h(x) = 1 ln(x) dx Partielle Integration: u v = u v u v mit u = ln(x), u = 1 x, v = 1, v = x h(x) = ln(x) x 1 x dx = ln(x) x x + c, x c R d) j(x) = Partielle Integration: x e x dx u v = u v u v mit u = x, u = 1, v = e x, v = e x j(x) = x e x e x dx = x e x e x + c, c R 4

5 Lösung 7. a) D = {x R}, W = {y R} b) keine Polstelle c) f(x) = x 3 2x 2 16 f (x) = 3x 2 4x f (x) = 6x 4 f (x E ) = 0 = 3x 2 E 4x E 0 = x E x E x E1/2 = ± 9 4 x E1/2 = 2 3 ± 4 9 = 2 3 ± 2 3 x E1 = 4 3, x E2 = 0 f (x E1 = 4 3 ) = = 4 > 0 lokales Minimum 3 f (x E2 = 0) = 0 4 = 4 < 0 lokales Maximum Lösung a) a + b = = 8 6 b) a b = 10 ( 1) = 27 a b = 5 ( 1) ( 10) 1 = ( 1) = Lösung 9. Wähle folgenden Ansatz: r 4 + s 2 = 2, mit r, s R Dies kann man als Lineares Gleichungssystem auassen. Die erste Zeile (x-komponente) liefert: r ( 2) + s 0 = 4 r = 2. 5

6 Die zweite Zeile (y-komponente) liefert dann: s 2 = 2 s = 3. Abschlieÿend muss das Ergebnis in der dritten Zeile (z-komponente) überprüft werden: = = 4 w.a. Somit sind die Vektoren a, b, c Lösung 10. linear abhängig = 0, = 0, =

7 Tipps Teil 2 von 2: Physikalische Grundfertigkeiten Tipp 11. Eine der physikalischen Gröÿen ist keine Grundgröÿe im SI-Einheitensystem. Welche? Tipp 12. a) kilo b) Mega c) nano 10 9 Tipp 13. Schreibe auf, wie die einzelnen physikalischen Gröÿen berechnet werden. Was ist gleich, was ist verschieden bei den Springenden? Tipp 14. Schreibe auf, wie sich der Weg und die Geschwindigkeit allgemein bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung berechnen lassen. Wie verändern sich Weg und Geschwindigkeit mit der Zeit? Handelt es sich um lineare Funktionen oder quadratische? Tipp 15. Schreibe auf, wie sich der Weg und die Geschwindigkeit allgemein bei der gleichmäÿig beschleunigten Bewegung berechnen lassen. Wie verändern sich Weg und Geschwindigkeit mit der Zeit? Handelt es sich um lineare Funktionen oder quadratische? 7

8 Lösung Teil 2 von 2: Physikalische Grundfertigkeiten Lösung 11. a) Masse [m] =kg b) Länge [l] =m c) Energie [E] =J=Nm= kg m2 s 2 d) Spannung [U] =V e) Zeit [t] =s f) Stomenge [n] =mol Bis auf die Energie sind alle diese physikalischen Gröÿen Grundgröÿen im SI- Einheitensystem. Lösung 12. a) m = 1345,1 km b) 12340,0 kw = 12,34 MW c) 54,32 ns = 5, s Lösung 13. Es gilt: m Igel m Mammut m Student Die physikalischen Gröÿen, die in den Aussagen angesprochen werden, lassen sich folgendermaÿen berechnen: a) E pot = m g h b) E kin = 1 2 m v2 c) p = m v d) v = a t = g t e) F = m a Bis auf d) werden alle Gröÿen mithilfe der Masse berechnet und sind daher unterschiedlich. Also sind die Aussagen a), b), c) und e) falsch. Die Aussage d) ist hingegen richtig, weil sich die Geschwindigkeit mithilfe der Fallbeschleunigung g berechnet, die für alle drei Springenden gleich ist. Die Auftregeschwindigkeiten von Igel, Mammut und Student sind also tatsächlich gleich. Allerdings sollte in dieser Aufgabe die Reibung vernachlässigt werden. In der Realität hätte ein Mammut wohl einen gröÿeren Luftwiderstand als ein Igel... Lösung 14. Diagramme: siehe letzte Seite! Für die geradlinig gleichförmige Bewegung gilt allgemein: s = v t + s 0, v = v 0 = konst. Der Zusammenhang zwischen Weg s und Zeit t ist also linear. Somit werden in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurückgelegt, d.h. a), b) und c) sind richtig, während d) falsch ist. Die Geschwindigkeit bleibt für alle Zeiten konstant, deshalb ist e) falsch. Lösung 15. Für die gleichmäÿig beschleunigte Bewegung gilt allgemein: s = a 2 t2 + v 0 t + s 0, v = a t + v 0 8

9 Der Zusammenhang zwischen Weg s und Zeit t ist also quadratisch. Somit wird bei einer Verdopplung der Zeit die vierfache Strecke zurückgelegt, d.h. b) und g) sind richtig, während a), d) und f) falsch sind. Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit v und Zeit t ist linear. Somit verändert sich in gleichen Zeiten die Geschwindigkeit um den gleichen Betrag, d.h. c), e) und h) sind richtig, während i) und j) falsch sind. geradlinig gleichförmige Bewegung gleichmäÿig beschleunigte Bewegung 9