Brückenkurs Elementarmathematik

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1 Brückenkurs Elementarmathematik IV. Ungleichungen November 13, 2013

2 Inhalt 1 Ungleichungen 2 Umformungen von Ungleichungen 2.1 Äquivalenzumformungen 2.2 Addition und Multiplikation von Ungleichungen 3 Beispiele 3.1 Lineare Ungleichungen 3.2 Quadratische Ungleichungen 4 Punktmengen in der Ebene

3 1.1 Ungleichungen und ihre Lösungsmengen Ersetzt man in einer Gleichung oder einem Gleichungssystem die Gleichheitszeichen jeweils durch eines der folgenden Relationszeichen <,, >, (kleiner, kleiner gleich, größer, größer gleich), so erhält man Ungleichungen. Wieder ist es das Problem, aus einer gegebenen Grundgesamtheit (hier die reellen Zahlen) diejenigen Werte der Variablen zu bestimmen, für die die gegebenen Ungleichungen erfüllt sind.

4 1.2 Ungleichungen und ihre Lösungsmengen Eine Ungleichung in n Veränderlichen F 1 (x 1,..., x n ) 0, wobei anstatt des Relationszeichens auch >, oder < stehen kann hat als Lösungsmenge die Menge aller Zahlenkombinationen der Grundgesamtheit, für die die Ungleichung zu einer wahren Aussage wird, d.h. L := {(x 1,..., x n ) : F 1 (x 1,..., x n ) 0}.

5 Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformungen einer Ungleichung sind Umformungen, die die Lösungsmenge der Ungleichung nicht verändern. Im Grunde genommen sind die einfachen Äquivalenzumformungen dieselben wie bei Gleichungen. Insbesondere ändern elementare Termumformungen von F nichts an der Lösungsmenge einer Ungleichung F (x 1,..., x n ) 0. Es gibt allerdings einen charakteristischen Unterschied bei der Multiplikation von Termen.

6 Addition von Termen Ist F (x 1,..., x n ) 0 eine Ungleichung, so ändern wir die Lösungsmenge der Gleichung nicht, wenn wir auf beiden Seiten der Ungleichung dieselben Terme addieren, d.h. F (x 1,..., x n ) + G(x 1,..., x n ) G(x 1,..., x n ) hat dieselben Lösungen wie die Ungleichung oben. Wenn wir anstelle von eines der Zeichen >, <, stehen haben, überträgt sich das Relationszeichen in der gleichen Weise.

7 Multiplikation von Termen Ist F (x 1,..., x n ) 0 eine Ungleichung, so können wir wie bei Gleichungen bestimmte Terme G(x 1,..., x n ) multiplizieren, ohne die Lösungsmenge zu ändern. Wir müssen allerdings aufpassen: Für eine Äquivalenzumformung darf G(x 1,..., x n ) entweder überall größer oder überall kleiner als Null sein. Ist der Term negativ, müssen wir das Relationszeichen umdrehen. Die Ungleichung G(x 1,..., x n )F (x 1,..., x n ) 0 falls G(x 1,..., x n ) > 0 für alle x 1,..., x n R, bzw. G(x 1,..., x n )F (x 1,..., x n ) 0 falls G(x 1,..., x n ) < 0 für alle x 1,..., x n R hat dieselben Lösungen wie die Gleichung oben.

8 Addition von Ungleichungen Wir haben folgendes System von Ungleichungen F (x 1,..., x n ) 0, G(x 1,..., x n ) 0. mit einer Lösungsmenge L. Aus diesen beiden Ungleichungen folgt (und dies ist keine Äquivalenzumformung) F (x 1,..., x n ) + G(x 1,..., x n ) 0, in dem Sinne, dass die Lösungsmenge des Systems von Ungleichungen in der Lösungsmenge der Summe enthalten ist. Wenn wir anstatt des Relationszeichens in beiden Gleichungen andere Relationszeichen zulassen, so können wir nicht für alle möglichen Kombinationen die Ungleichungen addieren bzw. müssen uns auch für die möglichen Kombinationen überlegen, welches Relationszeichen in der Summe herauskommt.

9 Addition von Ungleichungen Ist r F das Relationszeichen in der ersten und r G das Relationszeichen in der zweiten Ungleichung, so können wir in der Summe der beiden Ungleichungen das Relationszeichen r + nach der folgenden Tabelle verwenden: r F > < r G > > < < r + > > < < Die vorletzte Spalte in der Tabelle bedeutet zum Beispiel F (x 1,..., x n ) 0, G(x 1,..., x n ) < 0 F (x 1,..., x n )+G(x 1,..., x n ) < 0. Da F und G gleichberechtigt sind, kann man in der Tabelle die ersten beiden Zeilen vertauschen. In der zweiten und der vorletzten Spalte erhält man dann noch zwei weitere Kombinationen.

10 Multiplikation von Ungleichungen Wir haben folgendes System von Ungleichungen F (x 1,..., x n ) 0, G(x 1,..., x n ) 0. mit einer Lösungsmenge L. Aus diesen beiden Ungleichungen folgt F (x 1,..., x n ) G(x 1,..., x n ) 0, in dem Sinne, dass die Lösungsmenge des Systems von Ungleichungen in der Lösungsmenge der Summe enthalten ist. Wenn wir anstatt des Relationszeichens in beiden Gleichungen andere Relationszeichen zulassen, so können wir für alle möglichen Kombinationen die Ungleichungen multiplizieren und müssen uns auch wieder überlegen, welches Relationszeichen für das Produkt verwendet werden kann.

11 Multiplikation von Ungleichungen Ist r F das Relationszeichen in der ersten und r G das Relationszeichen in der zweiten Ungleichung, so können wir im Produkt der beiden Ungleichungen das Relationszeichen r nach der folgenden Tabelle verwenden: r F > > > > < < < r G > < < r > < > Die viertletzte Spalte in der Tabelle bedeutet zum Beispiel F (x 1,..., x n ) < 0, G(x 1,..., x n ) 0 F (x 1,..., x n ) G(x 1,..., x n ) 0. Auch hier kann man wegen der Symmetrie von F und G die ersten beiden Zeilen in der Tabelle vertauschen und erhält somit weitere Kombinationen.

12 Lineare Ungleichungen Eine lineare Ungleichung in einer Veränderlichen hat allgemein die Form ax + b 0 mit a, b R und damit x 1 wirklich vorkommt, nehmen wir noch an, dass tatsächlich a 0 ist. In diesem Fall gilt mit den üblichen Äquivalenzumformungen ax + b 0 ax b. Nun wirkt sich aus, ob a > 0 oder a < 0 ist. Im Fall a > 0 ergibt Multiplikation mit 1/a: x b/a, d.h. L = {x R : x b/a}. Im Fall a < 0 ergibt Multiplikation mit 1/a: x b/a, d.h. L = {x R : x b/a}.

13 Lineare Ungleichungen Zur Veranschaulichung: Lösungsmengen für negative und positive Steigung.

14 Quadratische Ungleichungen Die Lösung quadratischer Ungleichungen beruht auf folgenden beiden Beobachtungen: (i) Ist c 0, so ist die Menge der reellen Zahlen mit x 2 c gegeben durch diejenigen x mit x c oder x c. Ist c < 0, so erfüllen alle reellen Zahlen die Ungleichung. Kurz gesagt, die Lösungsmenge der Gleichung ist gegeben durch { {x R : x c} {x R : x c} falls c > 0 L = R falls c 0 Im Fall c = 0 bedeutet die obere Zeile auch schon, dass L = R.

15 Quadratische Ungleichungen (ii) Ist c 0, so ist die Menge der reellen Zahlen mit x 2 c gegeben durch diejenigen x mit x c und x c. Ist c < 0, so erfüllt keine reelle Zahl die Ungleichung. Kurz gesagt, die Lösungsmenge der Gleichung ist gegeben durch { {x R : x c} {x R : x c} falls c 0 L = falls c < 0 Im Fall c = 0 bedeutet die obere Zeile, dass L = {0} ist.

16 Quadratische Ungleichungen Zur Veranschaulichung: Lösungsmengen im Fall c > 0.

17 Quadratische Ungleichungen Eine quadratische Gleichung in einer Veränderlichen ist eine Gleichung in dem die Variable x quadratisch (d.h. als Potenz x 2 ) vorkommt. Sie hat allgemein die Form ax 2 + bx + c 0 mit a, b, c R und damit x 2 wirklich vorkommt, nehmen wir noch an, dass tatsächlich a 0 ist. In diesem Fall gilt nach Termumformungen der linken Seite der Ungleichung ( a x + b ) 2 + c 2a 2a b2 4a 2 = ax +2 +bx + c 0. Dies ist äquivalent zu ( a x + b ) 2 c 2a 2a + b2 4a 2. Wieder müssen wir die Fälle a > 0 und a < 0 unterscheiden.

18 Quadratische Ungleichungen Fall 1 a 0: Die Ungleichung ist äquivalent zu ( x + b ) 2 c 2a 2a 2 + b2 4a 3 = 1 ( ) b 2 4a 2 a 2c =: und wie gesehen gibt es nun zwei Möglichkeiten, abhängig davon, ob größer, kleiner, oder gleich Null ist.

19 Quadratische Ungleichungen Im Fall 1a ( 0) ist die Ungleichung äquivalent zu: x + b ( ) 2a 1 b 2 4a 2 a 2c ODER x + b2a ( ) 1 b 2 4a 2 a 2c. Damit ist die Lösungsmenge in diesem Fall L = L 1 L 2 mit L 1 = {x R : x b2a ( ) } + 1 b 2 4a 2 a 2c, L 2 = {x R : x b2a ( ) } 1 b 2 4a 2 a 2c. Im Fall 1b ( < 0) ist L = R.

20 Quadratische Ungleichungen Fall 2 a < 0: Die Ungleichung ist äquivalent zu ( x + b ) 2 c 2a 2a 2 + b2 4a 3 = 1 ( ) b 2 4a 2 a 2c =: und wieder gibt es nun zwei Möglichkeiten, abhängig davon, ob größer, kleiner, oder gleich Null ist.

21 Quadratische Ungleichungen Im Fall 2a ( 0) ist die Ungleichung äquivalent zu: x + b ( ) 2a 1 b 2 4a 2 a 2c UND x + b2a ( ) 1 b 2 4a 2 a 2c. Damit ist die Lösungsmenge in diesem Fall L = L 1 L 2 mit L 1 = {x R : x b2a ( ) } + 1 b 2 4a 2 a 2c, L 2 = {x R : x b2a ( ) } 1 b 2 4a 2 a 2c. Im Fall 2b ( < 0) ist L =.

22 Polytope Wir betrachten das System von Ungleichungen y 3x + 1 y 2x 2 y 5. Welche Punktmenge in der x-y-ebene wird durch dieses System von Ungleichungen beschrieben?

23 Polytope Die Lösungsmenge ist ein Dreieck in der Ebene

24 Vier andere Objekte Können Sie die Punktmengen in der x-y- Ebene zeichnen, die jeweils durch die folgenden Ungleichungen gegeben sind? {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 1}.

25 Vier andere Objekte Die vier Punktmengen und der Einheitskreis