Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN

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1 Schule Thema Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Unterlagen LehrerInnenteam Sehr oft treten in der Mathematik und im Alltag Situationen auf, wo nicht nur eine Bedingung, sondernn zwei, drei oder noch mehr Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden müssen. Als Beispiel sei hier folgende leichte Aufgabe gegeben: Beispiel: Die Summe zweier Zahlen sei 9, deren Differenz 1. Wie lauten die bei- Zahlen 9 sein den Zahlen? Lösungsansatz: Wir legen zunächst die Variablen fest: 1.Zahl...x 2.Zahl...y Die erste Bedingung lautet, dass die Summe der beiden soll. Wir erhalten die Gleichung x y = 9 Die zweite Bedingung lautet, dass die Differenz der beiden Zahlen 1 sein soll. Wir erhalten x - y = 1 Mathematisch schreiben wir dies derart an: I: x y = 9 II: x - y = 1 Was wir also suchen, ist ein Zahlenpaar (x/y), so dass beide Gleichun- gen erfüllt werden. Wie man hier die Lösung berechnet, damit wollen wir uns nun beschäftigen. Wir lernen dazu drei verschiedene Verfahren: A) GLEICHSETZUNGSVERFAHREN Beispiel: Löse mittels des Gleichsetzungsverfahren für chungssystem: 2y y = 33 G = R R folgendes Glei- Die Angabe der Grundmenge: G = R R bedeutet: Das erste R bezieht sich auf die Variable x (x darf also irgendeine reelle Zahl sein), das zwei- 1

2 te R bezieht sich auf die Variable y (y darf also irgendeine reelle Zahl sein). 1. Schritt: Forme jede Gleichung für sich nach einer Variablen um. Es sollen also beide Gleichungen in die Form x= oder y= umgeformt werden. Wir formen die erste Gleichung nach y um: / 4x 2 y 4x /: 2 y = 12 2x Nun formen wir die zweite Gleichung nach y um: II : 7 x y = 33 / 7x y = 7x Wir erhalten also folgendes Zwischenergebnis für unsere beiden Gleichungen: I : y = 12 2x II : y = 7x 2. Schritt: Setze die beiden rechten Seiten gleich. Die erste Gleichung sagt ja aus, dass y dasselbe wie 12-2x ist. Andererseits sagt die zweite Gleichung, dass y auch dasselbe wie 7x - 33 ist. Folglich muss 12-2x dasselbe wie 7x-33 sein. Wir erhalten also: 12 2x = 7x Nun haben wir eine Gleichung mit einer Variablen, die wir lösen können. 3. Schritt: Löse die Gleichung: 12 2x = 7x / 7x 12 9x = 33 / 12 9x = 45 /:( 9) x = 5 4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung oberhalb und berechne die zweite Variable. Ich nehme die erste Gleichung, welche lautet: y = 12 2x Wir setzen für x=5 ein und berechnen y: y = = 2 5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L {( x / y ) Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {( 5 / 2) =. 2

3 B) EINSETZUNGSVERFAHREN Beispiel: Wir lösen dieselbe Aufgabe nun nach diesem Verfahren. Das Gleichungssystem lautet: y = Schritt: Forme eine der beiden Gleichungen nach x oder y um. Wir formen die zweite Gleichung nach y um: II : 7 x y = 33 / 7x y = 7x 2. Schritt: Ersetze in der in Schritt 1 nicht verwendeten Gleichung die explizit ausgedrückte Variable durch den erhaltenen Term. Wir haben die Gleichung II zum Umformen nach y verwendet, also ersetzen wir nun in der Gleichung I das y durch 7x Die Gleichung I lautet: 4 x Nun ersetzen wir y durch 7x x 2 7x = ( ) Schritt: Löse die Gleichung: ( x ) 24 Klammer ausmultiplizieren 4 x 2 7 = / 4 x 14x 66 / LinkeSeitezusammenfassen 18 x 66 / x = 90 /: 18 x = 5 4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung oberhalb und berechne die zweite Variable. Ich setze in die zweite Gleichung ein, welche umgeformt lautet: y = 7x Wir setzen für x ein und berechnen y: y = 7 5 = 2 5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L {( x / y ) Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {( 5 / 2) =. 3

4 C)ELIMINATIONSVERFAHREN Beispiel: Wir lösen dieselbe Aufgabe nun nach diesem Verfahren. Das Gleichungssystem lautet: y = Schritt: Multipliziere die Gleichungen so, dass eine der beiden Variablen in den beiden Gleichungen mit Koeffizienten mit gleichem Betrag aber umgekehrten Vorzeichen vorkommt. Wir wollen dies bei unserem Gleichungssystem mit der Variable y verwirklichen. In der ersten Gleichung hat y den Koeffizienten 2, in der Zweiten 1. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 1 und 2 ist 2. Wir müssen also die Gleichungen so multiplizieren, dass bei beiden Gleichungen vor dem y 2 steht. Nun müssen wir noch dafür sorgen, dass die beiden Koeffizienten ein umgekehrtes Vorzeichen haben. Das heißt wir multiplizieren die 2. Gleichung mit -2, die 1. Gleichung bleibt. Wir erhalten: y = 33 II : 14x = 66 / ( 2) 2. Schritt: Nun addieren wir die beiden Zeilen: II : 14x = x = Schritt: Die erhaltene Gleichung lösen: 18 x = 90 /: 18 x = 5 4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung oberhalb und berechne die zweite Variable. Ich nehme die erste Gleichung her, welche lautet: 4 x Wir setzen für x=5 ein und berechnen y: 20 / 20 2 y = 4 /: 2 y = 2 4

5 5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L {( x / y ) Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {( 5 / 2) =. Damit das Ganze klar wird noch ein Beispiel: Beispiel: I : 3x = 7 5y = 12 Wir lösen wieder mit dem Eliminationsverfahren. Ich will bei x dieselben Koeffizienten mit umgekehrten Vorzeichen haben. Folglich multipliziere ich die erste Gleichung mit 2, die zweite Gleichung mit -3. I : II : I : 3x = 7 2x 5y = 12 6x 4y = 14 / 2 / ( 3) Wir addieren die beiden Zeilen II : 6x 15y = 36 11y = 22 Wir lösen die Gleichung /: ( 11) y = 2 Zum Berechnen von x setze ich den bekannten y-wert in die 1. Gleichung ein: 3x 4 = 7 / 4 3 x /: 3 x = 1 Die Lösung lautet also: L = {( 1/ 2) 5

6 D)Graphische Lösung Wir lösen nochmals das Beispiel: I : 3x = 7 5y = 12 Wir geben beide Gleichungen nacheinander in GeoGebra ein, schneiden die beiden Geraden und erhalten den Schnittpunkt A Dieses Verfahren ist bei allen Gelchungssystemen anwendbar, nicht nur bei linearen Funktionen. 6

7 SPEZIALFÄLLE Auch beim Lösen von Gleichungssystemen können wieder spezielle Lösungen auftreten. Sehen wir uns die beiden Fälle an einem Beispiel an: Beispiel: Löse für G = R R : y = 15, Ich löse nach dem Eliminationsverfahren: y = 15, / II : 4x = 3 0 = 0 ( 2) Dies ist eine wahre Aussage, folglich ist die gesamte Grundmenge auch Lösungsmenge: L = G. Dies bedeutet, dass es zu jedem x ein y gibt, so dass die beiden Werte beide Gleichungen erfüllen. Beispiel: Löse für G = R R y = 2 Ich löse wieder nach dem Eliminationsverfahren: II : I : 2x y = 2 / 4x II : 4x = 4 0 = 1 ( 2) Dies ist eine falsche Aussage, folglich gibt es kein Zahlenpaar (x/y), welches beide Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist daher eine leere L = Menge: { 7