Stundenplanung Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen

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1 Stundenplanung Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Das graphische Lösen von linearen Gleichungssystemen hat in der Praxis einige Nachteile, deshalb verwendet man hier eher die rechnerischen Methoden. Zuerst werden die verschiedenen Verfahren einzeln erläutert, damit die Schüler und Schülerinnen einmal alle Verfahren durchgemacht haben. Beginnen wir mit dem ersten Verfahren, das GLEICHSETZUNGSVERFAHREN (Komparationsverfahren). Dieses Verfahren bietet sich insbesondere als Ergänzung des graphischen Verfahrens an, welches im Allgemeinen mit der Hauptform y = k*x + d operiert: Beispiel: II: -7x + y = -33 Dann wird umgeformt auf y=! I: y = -2x + 12 II: y = 7x 33 Danach setzt man die Gleichung gleich! -2x + 12 = 7x 33 Danach löst man die Gleichung nach x auf! -9x = -45 x = 5 Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 1

2 Nun setzt man den x-wert, oben in eine Gleichung ein und erhält den dazugehörigen y-wert! y = y = 2 Zur Kontrolle kann man die Angabe (beide Gleichungen) einsetzen! Die Lösung heißt nun: Wir kommen nun zu dem zweiten Verfahren: EINSETZUNGSVERFAHREN Das Gleichsetzungsverfahren beruht darauf, Gleiches gleichzusetzen. Ebenso kann man in Gleichungen, Gleiches durch Gleiches ersetzen. Beispiel: Man beginnt damit, dass man eine der Gleichungen in die Hauptform y = kx + d bringt und setzt diese dann in eine andere Gleichung für y ein. II: -7x + y = -33 Wir formen nun die zweite Gleichung auf y= um! II: y = 7x 33 Nun setzen wir diese umgeformte Gleichung in die andere ein! Nun lösen wir dieses Gleichungssystem nach x auf! 4x +14x 66 = 24 Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 2

3 18x = 90 x = 5 Danach setzen wir den x-wert wieder in eine der anderen Gleichungen ein und erhalten so den y-wert. y = 2 Die Lösung heißt nun: Kommen wir nun zum letzten Verfahren lineare Gleichungssysteme zu lösen: das ADDITIONSVERFAHREN! Bei diesem System versucht man eine der beiden Variablen, also x oder y, zu eliminieren! Dies kann man z.b. durch Multiplikation einer Gleichung erreichen. Beispiel: II: -7x + y = -33 Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung mit -2, damit das y wegfällt! II: -14x + 2y = -66 Nun fällt uns das y weg und wir erhalten eine Gleichung nur mit dem x- Wert: 18x = 90 x = 5 Wir erhalten nun wieder die Lösung: Anmerkung: Wir hätten bei der Gleichung genauso gut den x-wert wegfallen lassen können! Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 3

4 Anschließend versuchen die SchülerInnen eigenständig einige Beispiele aus dem Buch zu lösen. (Seite 211) In der nächsten Stunde würden die Schülerinnen und Schüler dann einen Übungszettel bekommen, anhand welchem sie lernen sollen die einzelnen Verfahren richtig anzuwenden. Z.B. sollen sie erkennen, wenn eine Gleichung 2x + 3y = 20 gegeben ist und als zweite Gleichung y = 4x steht, dass sie sofort das Einsetzungsverfahren anwenden würden. Als Lernzielkontrolle wird es dann ein Übungsbeispiel geben, wobei die Schüler und Schülerinnen einen Extrapunkt bekommen, wenn Sie ein Verfahren anwenden, mit dem Sie am Schnellsten voran kommen. Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 4

5 Handout Verfahren zum Lösen von Gleichungen Das Gleichsetzungsverfahren 1.) Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf. 2.) Setze die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen 3.) auf. Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 4.) ein und berechne so die andere Variable. Das Einsetzungsverfahren Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf. 1.) (Eventuell liegt eine gegebene Gleichung schon passend vor. Verfahre sonst so, dass du möglichst keine oder zumindest "einfache" Brüche erhältst.) 2.) Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen 3.) auf. Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und 4.) berechne so die andere Variable. Das Additionsverfahren 1. Beide Gleichungen so umformen, dass die Variablen (mit ihren Faktoren) auf einer Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und auf der anderen Seite (rechts) eine einzelne Zahl. 2. Suche jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor x und vor y. 3. Falls die (betragsmäßig gleichen) Faktoren dasselbe Vorzeichen haben, dann subtrahiere die Gleichungen voneinander. 4. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Diese wird nun durch normale Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst. Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 5

6 Lernzielkontrolle (zu Woche 3-3. Stunde, Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen) Beispiel I: II: y=13 - x Aufgabenstellung: Ermittle die Lösungsmenge rechnerisch mit Hilfe des Verfahrens, welches dir am Geeignetsten erscheint! Graphisches Lösen Graner Martina, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite: 6