Lineare Funktionen. y = m x + n

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1 Lineare Funktionen Das Thema lineare Funktionen begleitet euch in der Regel von der 7. Klasse an und wird stufenweise erlernt. Meist beginnt es mit einfachem Zeichnen oder Ablesen einer linearen Funktion sowie einzelnem Zuordnen in Wertetabellen. Anschließend muss man rechnerisch die Funktionsgleichung bestimmen und hat dabei verschiedene Angaben, dann soll man bestimmen, ob ein Punkt auf der Funktion liegt und abschließend berechnet man die Schnittpunkte zweier linearer Gerader. Eine lineare Funktion sieht beim Zeichnen aus wie eine gerade Linie und es zeichnet sie aus, dass man jeder reellen Zahl x aus einer Menge D genau eine reelle Zahl y zuordnen kann. Die generelle Form der Funktion lautet dabei: y = m x + n oder f(x) = m x + n Je nach Schulform und nach dem jeweiligen Buch kann für n auch einmal b eingesetzt werden. Die Bezeichnung des Buchstabens spielt jedoch keine Rolle und kann nach Belieben ausgetauscht werden. y und f(x) sind dabei ebenfalls identisch und sorgen leider immer wieder für Verwirrung. Lasst euch hiervon nicht ärgern! Das erste Wichtige was ihr wissen und euch gut einprägen müsst, ist die Bedeutung von m und n, dann könnt ihr nahezu jede Aufgabe ohne Probleme lösen: y = m x + n m ist die jeweilige Steigung unserer Funktion. Sie kann negativ oder aber auch positiv sein. n (oder b) ist unser Startpunkt auf y, also der Schnittpunkt unserer Geraden mit der y- Achse.

2 Eine lineare Funktion zeichnen (1) Nach dem ersten Einblick beginnen wir damit, wie man eine lineare Funktion zeichnet. Hier gibt es nun zwei Möglichkeiten. In der Regel beginnt man damit, dass man über eine Wertetabelle die einzelnen Werte für die Funktion bestimmt und diese anhand dieser zeichnet. Zum Beispiel sollen wir die Funktion: y = 2 x + 1 zeichnen, indem wir eine Wertetabelle anlegen. Dazu nehmen wir jetzt zum Beispiel die x- Werte -3 bis +3 und setzten diese in die Funktionsgleichung ein. x-wert eingesetzt y-wert Wertepaar (x/y) -3 y = 2 ( 3) (-3/-5) -2 y = 2 ( 2) (-2/-3) -1 y = 2 ( 1) (-1/-1) 0 y = (0/1) 1 y = (1/3) 2 y = (2/5) 3 y = (3/7) Die mittlere Spalte schreiben wir zwar normalerweise nicht für unsere Wertetabelle, das habe ich gerade nur getan, damit ihr die Rechnung nachvollziehen könnt. Anschließend könnt ihr diese Wertepaare eintragen: Tipp: Tragt immer nur zwei Wertepaare ein und verbindet diese. Dann setzt ihr die anderen Kreuze, das erspart Arbeit ;-) Ich habe hier (-2/-3) und (2/5) gewählt.

3 Es kann natürlich auch mal passieren, dass ihr eine Tabelle gegeben bekommt, in der die x- und y- Werte durcheinander vorgegeben sind, also zum Beispiel: x-wert y-wert Sollte das einmal der Fall sein, setzt ihr halt bei den betreffenden Zeilen nicht den x- Wert in eure Funktionsgleichung ein, sondern den y- Wert. Dann müsst ihr die Gleichung letzten Endes nur noch nach x hin auflösen. Wer hier noch Probleme hat, sollte sich die Übersicht Äquivalenzumformung Gleichungen Grundlagen anschauen. Hier nur kurz am Bespiel für y = -3: 3 = 2 x = 2 x (2) 2 = x und damit: x = 2 (zur Erinnerung: Immer am Ende muss die gesuchte Größe, hier das x LINKS stehen!)

4 Eine lineare Funktion zeichnen (2) Mit der Wertetabelle beginnt man das Zeichnen von linearen Funktionen, obwohl das Ganze natürlich auch noch viel einfacher geht. Wir haben unsere Funktionsgleichung und können aus dieser direkt die zu zeichnende Funktion ablesen! Wir nehmen wieder die Funktion: m ist die jeweilige Steigung unserer Funktion. y = 2 x + 1 n (oder b) ist unser Startpunkt auf y. Für uns bedeutet das nun, dass wir wissen, dass die Funktion bei + 1 auf der y Achse startet. Also hier: Die Steigung ist unser m, also die Zahl vor unserem x. Diese beträgt 2, damit gehen wir eine Einheit nach rechts und 2 nach oben. Also hier: Anschließend verbinden wir unsere Punkte und haben unsere Gerade gezeichnet.

5 Der Vollständigkeit halber möchte ich noch die verschiedenen Möglichkeiten durchgehen, da die Werte für m und n auch mal negativ sein können. y = 2 x + 3 y = x + 3 y = 2 x y = 3 Der Start auf y ist bei +3 und die Steigung geht einen nach rechts und 2 nach unten (- 2*x) y = x 2 Der Start auf y ist bei 3 (+ 3) und die Steigung geht einen nach rechts und 1 nach oben (1*x) Der Start auf y ist bei -2 und die Steigung geht einen nach rechts und 1 nach unten (- 1*x) Der Start auf y ist bei 0, da wir kein n haben und die Steigung geht einen nach rechts und 2 nach oben (2*x) Der Start auf y ist bei -3 und wir haben keine Steigung. Dann läuft die Gerade einfach waagerecht.

6 Eine lineare Funktion zeichnen (3) Interessant wird es dann, wenn wir einen Bruch als Wert für die Steigung haben. Aber auch das ist relativ einfach, wenn man einmal weiß, wie das Ganze funktioniert. Nehmen wir als Beispiel die Funktionsgleichung: y = 2 3 x + 1 Unseren Startpunkt können wir problemlos ablesen, dieser liegt bei +1. Wenn wir einen Bruch als Steigung haben lesen wir im Nenner (also unten) immer die Schritte ab, die wir nach rechts gehen und im Zähler (oben) die Schritte, die wir hoch oder runtergehen (das hängt von dem Vorzeichen unseres Bruches ab). In unserem Beispiel gehen wir also 3 Schritte nach rechts und 2 nach oben. Startpunkt bei +1 u nd 2 nach oben Wir gehen 3 nach rechts

7 Die Funktionsgleichung richtig ablesen Das Ablesen von linearen Funktionen ist genauso einfach wie das Zeichnen. Im Endeffekt wollen wir die Funktionsgleichung einfach ablesen um dann die Geradengleichung in der Form: y = m x + n aufzustellen. Das bedeutet für uns nichts anderes, als den Start auf y (unser n-wert) und die Steigung abzulesen. Um die Steigung zu bestimmen, gehen wir einen nach rechts und so viele nach unten oder oben, bis wir die Gerarde schneiden. Das ist dann unser Wert für m. Zuerst lesen wir unseren Startpunkt auf y ab. Hier ist dieser -1 und damit unser Wert für n. Im Ergebnis lesen wir also als Startpunkt -1 für n ab. Wenn wir dann einen nach rechts und zwei nach oben gehen, dann wissen wir, dass wir für m den Wert + 2 einsetzen müssen, da die Steigung positiv ist. Die abgelesene Funktionsgleichung lautet also: y = 2 x 1

8 Sollen wir nun eine lineare Funktion ablesen, kann es passieren, dass wir nicht einen nach rechts und so und so viele Schritte nach oben oder unten gehen können, da wir keinen geeigneten Punkt finden. Dann haben wir bei der Steigung einen Bruch. Hier müssen wir uns einen geeigneten Punkt im Koordinatensystem aussuchen, an dem wir einen Bruch ablesen könnten. Wir machen dies wieder an einem Beispiel: Wir sehen, dass die Gerade die y-achse bei +1 schneidet. Hier haben wir also unseren Startpunkt. Um die Steigung herauszufinden suchen wir uns nun einen Punkt, den wir ablesen können. Gehen wir einen Schritt nach rechts und dann nach oben, lässt sich der Punkt nicht genau bestimmen. Deswegen suchen wir einen Punkt, der im Koordinatensystem genau ablesebar ist. Nicht gut für Bruch geeignet, da Kommazahl (2,5)!! und 2 nach oben Startpunkt bei +1 Wir gehen 5 nach rechts Erklärung: Wir gehen vom Startpunkt aus 5 Schritte nach rechts und 2 nach oben, dort haben wir einen gut geeigneten Punkt zum Ablesen. Die Schritte, die wir nach rechts gehen kommen in den Nenner, die Schritte nach oben oder unten kommen in den Zähler. 2 Im Ergebnis haben wir also y = 5 x + 1 abgelesen. Gehen wir nach oben, kommt ein + vor die Steigung, gehen wir nach unten, dann ein.

9 Lineare Funktionen rechnerisch Nun gibt es noch die Möglichkeit rechnerisch lineare Funktionen aufzustellen. Hier gibt es vier verschiedene Aufgabentypen: 1. Wir haben n und m in der Aufgabe vorgegeben. Dann ist es ganz einfach, wir setzen die Werte einfach in die Funktionsgleichung ein: Gegeben sind n = 3 und m = 2. Wie lautet die Funktionsgleichung? Wir kennen die allgemeine Form: y = m x + n Nun setzen wir ganz einfach n = 3 und m = 2 in unsere allgemeine Form an der jeweiligen Stelle ein: y = 2 x + 3 Das war s auch schon, wichtig ist nur, die Vorzeichen zu beachten, falls diese negativ sind!! 2. Wir haben n und einen Punkt gegeben, der auf der Geraden liegt. Dann setzen wir n und den Punkt in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach m auf: (x/y) Gegeben sind n = 2 und der Punkt (2/4). Wie lautet die Funktionsgleichung? Wir setzen hierzu die gegebene Größen n = 2; x = 2 und y = 4 in die allgemeine Form y = m x + n ein. 4 = m Anschließend lösen wir die Gleichung nach m auf: 4 = m = m 2 : 2 1 = m und damit: m = 1 jetzt setzen wir m und n in die allgemeine Form ein und sind fertig: y = 1 x + 2

10 3. Wir haben m und einen Punkt gegeben, der auf der Geraden liegt. Dann setzen wir m und den Punkt in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach n auf: Gegeben sind m = 3 und der Punkt (4/1). Wie lautet die Funktionsgleichung? Wir setzen hierzu die gegebene Größen m = 3; x = 4 und y = 1 in die allgemeine Form y = m x + n ein. 1 = n Anschließend lösen wir die Gleichung nach n auf: 1 = n 1 = 6 + n 6 5 = n und damit: n = 5 Jetzt setzen wir m und n in die allgemeine Form ein und sind fertig: y = 3 x 5 4. Wir haben zwei Punkte gegeben und können darüber zunächst die Steigung m bestimmen (Punktsteigungsform) und setzen dann m sowie einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein, um n herauszubekommen. Dazu müssen wir zunächst wissen, wie die Punktsteigungsformel lautet: y2 y1 m = x2 x1 Über diese können wir nun die Steigung m ausrechnen. Dazu brauchen wir nun noch zwei Punkte P1 (x1/y1) und P2 (x2/y2).

11 Es sind die Punkte P1 (2/3) und P2 (4/4) gegeben. Stelle die Funktionsgleichung auf! Zunächst bestimmen wir jetzt also unser m! y2 y1 m = x2 x1 und setzen hierfür die beiden Punkte ein: m = 4 3 = Wir wissen nun also, dass unsere Steigung 1 bzw. 0,5 beträgt. 2 Diese Steigung m nehmen wir nun und setzen diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in unsere allgemeine Form ein (so wie bei Variante 3.!). Wir nehmen m = 1 und Punkt P1, also x = 2 und y = 4 und setzen diese in 2 die allgemeine Form y = m x + n ein. 4 = n Anschließend lösen wir die Gleichung nach n auf: 1 4 = n 1 = 1 + n 1 0 = n und damit: n = 0 wenn n = 0 ist, dann beginnt unsere Funktion im Ursprung im Punkt (0/0)! Jetzt setzen wir m und n in die allgemeine Form ein und sind fertig: y = 1 2 x + 0 Die 0 schreiben wir natürlich im Ergebnis nicht! y = 1 2 x

12 Schnittpunkt linearer Funktionen Es gibt auch noch Aufgabentypen, bei denen man den Schnittpunkt von linearen Funktionen berechnen soll. Dieses Thema ist in der Regel Thema der 10. Klasse. Hierzu bekommt ihr zwei lineare Gleichungssystem gegeben, aus denen ihr den Schnittpunkt der beiden Geraden herausfinden sollt. Dabei gibt es die Möglichkeit, dass ihr einen Schnittpunkt, keinen oder unendlich viele Schnittpunkte habt. Für die Variante, dass es keinen Schnittpunkt gibt, solltet ihr immer zuerst auf die Steigung achten, das erspart die Rechnung. Ist die Steigung identisch, dann verlaufen die beiden Geraden parallel und ihr habt keinen Schnittpunkt das begründet ihr dann einfach so in einem Satz ( Da die Steigung der beiden Geraden identisch ist, gibt es keinen Schnittpunkt, die Geraden verlaufen parallel. ) Wenn die Funktionsgleichung identisch ist, also für m und n genau die gleichen Werte in der Aufgabe stehen, dann liegen beide Geraden ja GENAU aufeinander und haben somit unendlich viele Schnittpunkte! Für den Fall, dass ihr einen Schnittpunkt habt, gibt es drei Verfahren, die ihr beherrschen müsst, das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Theoretisch sind immer alle drei Verfahren möglich, allerdings bieten sich immer ein oder zwei Verfahren an, da man nicht mit Brüchen rechnen möchte! Auf den nächsten Seiten stelle ich euch die Verfahren einzeln vor und gebe euch noch Tipps, was jeweils zu beachten ist.

13 1. Einsetzungsverfahren: Es sind zwei Gleichungen gegeben, bei der in einer x oder y alleine steht. I. x = 2y 2 II. 2x = 2y 3 Unser x steht in Gleichung I. alleine und wir müssen nicht wie im Tipp rechts die Gleichung umstellen. Wir schreiben dann I. in II. und setzen das, was für unser x steht (2y 2) in die zweite Gleichung an der Stelle von x ein. Also: Tipp: Natürlich kann es vorkommen, dass man die Gleichung erst einmal umstellen muss, damit sie x = oder y = lautet. Hier ein Beispiel: I. II. 2 = 2y x 2x = 2y 3 Dann müssten wir Gleichung I nach x umstellen: x = 2y 2 2(2y 2) = 2y 3 Damit haben wir erreicht, dass wir kein x mehr in unserer Gleichung II. haben, da wir diese Gleichung mit zwei Unbekannten nicht hätten ausrechnen können. Nun lösen wir die Gleichung einfach nach y hin auf! 2(2y 2) = 2y 3 T 4y 4 = 2y 3 2y 2y 4 = y = 1 : 2 y = 1 2 Damit haben wir unseren y- Wert vom Schnittpunkt ausgerechnet. Um jetzt den dazugehörigen x- Wert herauszubekommen müssen wir den y- Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen. Zum Beispiel: y in I.: x = x = 1 2 Damit haben wir unseren Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmt. Dieser lautet: S ( 1 / 1 2 )

14 2. Gleichsetzungsverfahren: Es sind zwei Gleichungen gegeben, bei der bei beiden x oder y alleine stehen (oder gleich groß sind). I. y = 4x + 2 II. y = 2x + 3 Tipp: hier sind beide y gleich groß, dann können wir auch einfach sofort gleichsetzen. I. II. 2y = 4x + 2 2y = 2x + 3 Nun können wir einfach beide Gleichungen gleich setzen, also schreiben wir I. = II. 4x + 2 = 2x + 3 Wie wir sehen, ist nun das y komplett verschwunden und wir können die neue Gleichung perfekt nach x auflösen: 4x + 2 = 2x x 2x + 2 = 3 2 2x = 1 : ( 2) x = 1 2 Tipp: Denkt daran, wenn unser gesuchtes x oder y ein negatives Vorzeichen hat, immer dieses durch Division mit auf die andere Seite bringen oder ganz am Ende ( 1) rechnen! Damit haben wir unseren x- Wert vom Schnittpunkt ausgerechnet. Um jetzt den dazugehörigen y- Wert herauszubekommen müssen wir den x- Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen. Zum Beispiel: x in I.: y = 4 ( 1 ) + 2 y = 0 2 Damit haben wir unseren Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmt. Der Schnittpunkt lautet: S ( 1 2 / 0)

15 3. Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren): Hier sind wieder zwei Gleichungen gegeben, bei denen x oder y den gleichen Faktor haben. Diese können wir dann direkt untereinander addieren oder subtrahieren, um x oder y zu eliminieren. Wir rechnen dann I. (-/+) II. I. 2x + 2y = 0 + II. 2x 3y = 6 = y = 6 ( 1) und damit y = 6 Tipp: Hier ist es besonders wichtig, die beiden Geradengleichungen in exakt der gleichen Reihenfolge der gegebenen Größen aufzuschreiben. Sollten also die x-, y- und Zahlenwerte nicht genau untereinanderstehen, muss man diese erst einmal ordnen. Im Beispiel für unsere Aufgabe: I. II. 2y = 2x 2x + 2y = 0 2x 6 = 3y 2x 3y = 6 Nun haben wir y berechnet und suchen noch den x- Wert von unserem Schnittpunkt. Dazu setzen wir den y- Wert in Gleichung I. oder II. ein. Tipp: Ob ihr die beiden Gleichungen addiert oder subtrahiert, hängt vom Vorzeichen ab! Ist das Vorzeichen bei beiden gleich, dann subtrahierst du die Gleichungen, ist es unterschiedlich, dann addierst du sie. y in II: 2x 3 ( 6) = 6 2x + 18 = x = 12 : 2 x = 6 Damit liegt der Schnittpunkt bei (-6/-6).

16 Zusatz: Was auch passieren kann ist, dass wir weder x oder y alleine stehen haben oder aber auch die Faktoren vor x oder y alle unterschiedlich groß sind. Dann müssen wir entweder eine oder beide Gleichungen erweitern oder kürzen. Ich zeige euch hier die verschiedenen Varianten: Wir könnten I. durch 2 teilen (für jede Zahl!!). Dann hätten wir x = 3y 13 und könnte das Einsetzungsverfahren anwenden. Wir könnten I. mit 2 Erweitern, also mit 2 multiplizieren (für jede Zahl!!). Dann hätten wir 4x = 12y 52 und könnten dass Additions-/Subtraktionsverfahren anwenden. I. 2x = 6y 26 II. 4x = 2y + 12 Wir könnten II. durch 2 teilen (für jede Zahl!!). Dann hätten wir 2x = - y +6 und könnte das Additionsverfahren anwenden. Wir könnten I. durch 2 teilen (für jede Zahl!!). Dann hätten wir für I. x = 3y 13 und II. durch 4 teilen (für jede Zahl!!). Dann hätten wir für II. x 1 = - 2 y + 3 und könnten das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Noch ein wichtiger Tipp zu diesem Thema: Sollten die Gleichungen nicht in der gleichen Reihenfolge der Werte (x, y und Zahlen) stehen, dann solltet ihr sie in der Regel in die gleiche Reihenfolge bringen! Nun besitzt ihr das Handwerkszeug, um das Thema Lineare Gleichungen erfolgreich zu meistern! Viel Erfolg dabei.