1 Zahlen. 1.1 Kürzen ( ) ( ) ( ) 1.2 Addieren und Subtrahieren. 1.3 Multiplizieren und Dividieren Beispiele: Grundwissen Mathematik 8

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1 Zahlen x+ a+b Bruchterme sind z.b.: ; ; x a. Kürzen In Faktoren zerlegen: x x Gemeinsame Faktoren kürzen: 4a x + 5 ( x+ ) x x x x ( x+ ). Addieren und Subtrahieren Bsp.:,5 + D QI \{0; } x x Hauptnenner bestimmen: HN: x( x ) Auf HN erweitern: ( x ),5 + x( x ) ( x ) Zähler zusammenfassen: ( x ) x( x+ ) x x x + x 4x x( x ) x( x ) x x x x x x In Faktoren zerlegen und kürzen: ( ) ( ) ( ). Multiplizieren und Dividieren Beispiele:. x ( x ) D QI \{0; } x x x ( x ) x Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

2 x+ x x+ 4. ( x+ ) 4 x+ : D QI \{} x 4 ( x) x.4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen a) Gleichungen Jede lineare Gleichung lässt sich auf die Form ax+b0 bringen. Lösung der Gleichung ist die Nullstelle der Geraden ax+b. b) Ungleichungen Beispiele: x > ; a < b; x+ 5; a+ Die Lösungsmenge einer Ungleichung bleibt gleich, wenn man: auf beiden Seiten dieselbe rationale Zahl bzw. denselben Term addiert oder subtrahiert. beide Seiten mit einem positivem Term multipliziert oder durch diesen dividiert. beide Seiten mit einem negativen Term multipliziert oder durch diesen dividiert und gleichzeitig das Ungleichheitszeichen umdreht. Die Lösungsmenge einer Ungleichung wird entweder in aufzählender Form oder in Intervallschreibweise angegeben. Beispiele: G Z : x + > L {; ; 4; } G QI : x + > L {x x > } ]; [ Intervallarten: ]; 4[ offenes Intervall von bis 4 [-; 6] geschlossenes Intervall von - bis 6 Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

3 [-4,5; [ halboffenes Intervall von -4,5 bis unendlich c) Produktgleichungen und Produktungleichungen Produktgleichung Beispiel: ( x )( 5+ x) 0 L {-5; } Ein Produkt besitzt den Wert Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Produkt-Ungleichungen werden mit Tabellen gelöst: Beispiel: x ( 4 x) 0;.Faktor: x 0 ; m > 0;.Faktor: x 0 4; m < 0; Vorzeichenverteilung: L[;4] Lösen von Bruchgleichungen Aufgabe: x 6 x a) Grafische Lösung: Zeichnen der beiden Graphen z.b. mit Hilfe einer Wertetabelle und ablesen der x-koordinate des Schnittpunktes. _ ( x-) (4-x) S(4/0,5) - O 4 x Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4 4 -

4 b) Rechnerische Lösung x 6 x Definitionsbereich: D QI \{0; 6} Hauptnenner: HN: x( 6 x) x beide Seiten mit HN multiplizieren: ( 6 x) x( 6 x) x 6 x Kürzen: ( 6 x) x Ausrechnen: x 4 Prüfe: x D dann L {4} Notfalls noch Probe machen..5 Lineare Gleichungsssteme Beispiel: I. x + 4 8; II. x 4 -; a) Grafische Lösung Auflösen der Gleichung (I) und (II) nach ; Geraden einzeichnen; Schnittpunkt ist die Lösung. (I) x+ (II) x O 4 x Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 4 von S( )

5 b) Additionsverfahren I. x + 4 8; II. x 4 -; I. + II. x 6; x ; in I. eingesetzt: ; also: L {( )} c) Einsetzungsverfahren I. x + 4 8; II. x 4 -; aus II. x - + 4; in I. (- + 4) + 4 8; ausrechnen: ; in I. (oder II.) x ; also: L {( )} d) Anzahl der Lösungen Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich.) Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel.) Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch.).6 Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten Potenzen: Beachte: a 5 a a a a a a; (a QI ) a a a a (a QI \{0}) a a und a 0 für alle a QI Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 5 von 4

6 Gleitkommadarstellung: Potenzgesetze Sei a QI \{0}; p, q Z, dann gilt a p m q p+ q 50000,5 0 0, ,6 0 a a (gleiche Basis) m m Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 6 von a b (ab) (gleicher Exponent) s r rs a a (Potenzieren einer Potenz) Funktionen Eine Zuordnung x, die jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein aus dem Wertebereich zuordnet, heißt Funktion. Graphen von Funktionen werden von jeder Parallelen zur -Achse höchstens einmal geschnitten. Beispiel: f : x x Definitionsmenge D f QI (Menge der x-werte die in die Funktion eingesetzt werden dürfen) Wertemenge W f [-; [ (Menge der Werte die man durch einsetzen der x-werte in die Funktion erhält) O - - x

7 . Direkt proportionale Funktionen Zwei einander zugeordnete Größen x und für die m x gilt (m QI ), heißen direkt proportional zueinander. Der Quotient m heißt x Proportionalitätsfaktor. Der Graph ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung; er ergibt sich aus der Funktionsgleichung m x. Beispiele: 5x oder -0,5x O x - - Der Faktor m legt die Steigung des Graphen fest und heißt daher auch Steigungsfaktor. m < 0: Graph fallend m 0: Parallele zur x-achse m > 0: Graph steigend. Lineare Funktion - f: x m x + t mit D QI Der Graph ist eine Gerade mit Steigung m und Achsenabschnitt t. z.b.: m ; t- ; f : x x mit D QI - - x Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 7 von 4

8 Allgemein: Nullstelle: t x- Steigung: m m ; x. Geradengleichung mx + t Je größer m ist, desto steiler ist die Gerade. Für m < 0 fällt, für m > 0 steigt die Gerade. Alle Geraden mit gleicher Steigung sind parallel. Gilt für die Steigungen m und m zweier Geraden g und g : m m -, so gilt: g g..4 Besondere Geraden a QI ax; Ursprungsgerade x; Winkelhalbierende I. und III. Quadrant -x; Winkelhalbierende II. und IV. Quadrant a; Parallele zur x-achse durch (0 a).5 Punkt auf Geraden Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen: z.b.: (4 5) g:x-, denn Geradengleichung aus Punkten aufstellen z.b.: Gerade g durch A( 5) und B(- 4): Steigung: m ; also: g: x+t 5-4 -(-) 4 Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 8 von 4 4

9 weil A g, muss gelten: 5 +t 4 ; t4 ; daraus bekommt man: also: x+4 geht durch A und B. 4.7 Indirekt proportionale Funktionen Zwei einander zugeordnete Größen x und für die gilt: x k (fester Wert) heißen indirekt proportional zueinander. (Produktgleichheit) Der Graph ist eine Hperbel; er ergibt sich aus der Funktionsgleichung x k. Beispiel: x O 4 5 x x.8 Gebrochen-rationale Funktion 4 x 4 Beispiele: f (x) ; f (x) + ; f(x) x x x +,5 Die Definitionsmenge enthält diejenigen Werte der Grundmenge für die der Nenner ungleich Null ist. D f QI \{0}; D f QI \{}; f D QI Die Nullstellen des Nenners heißen Definitionslücken Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 9 von 4

10 Beispiel: (x) x f + D f QI \{} ; 5 4 waagrechte Asmptote O x - senkrechte Asmptote - x Geometrie. Der Kreis Der Kreis mit Radius r besitzt den Umfang: U rπ dπ und A r U den Flächeninhalt: A r²π Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 0 von 4

11 . Der Strahlensatz Voraussetzung: Zwei sich schneidende Geraden werden von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten. Z a c e b g f f a+ b c+ d und e a c a b c d d g e d b Z a c g f g f e a b c d Strahlensatz: Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

12 auf g (bzw. g ). Folgerungen: In jedem Dreieck ist die Verbindungsstrecke zweier Seitenmitten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese. In jedem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S. Dabei teilt S jede Seitenhalbierende im Verhältnis :. (Die längere Strecke ist die Strecke vom Eckpunkt zum Schwerpunkt.). Ähnlichkeitssätze W:W-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. S:S:S-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. S:W:S-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. S:s:W-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Schreibweise: ABC ~ A B C Umkehrung: Sind zwei Dreiecke ähnlich, so stimmen sie in den Winkeln überein und die Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich. Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

13 4 Stochastik 4. Ergebnisraum Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, nennt man Zufallsexperiment. Den Ausgang des Experiments nennt man Ergebnis. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man im Ergebnisraum Ω zusammen. Beispiele:. Einmaliges Werfen eines Würfels: Ω {; ; ; 4; 5; 6}. Werfen einer - und einer -Münze: Ω {WW; WZ; ZW; ZZ} 4. Das Ereignis Kein, ein oder mehrere Ergebnisse fasst man zu einem Ereignis E zusammen. Einelementige Ereignisse werden als Elementarereignis bezeichnet. Beispiele: E : Genau einmal Zahl : E {WZ; ZW} E : Zweimal Zahl : E {ZZ} (Elementarereignis) Das Gegenereignis Etritt ein, wenn E nicht eintritt. E : Genau einmal Zahl E : Beide Münzen gleich : E {WW; ZZ} Sonderfälle: Für das sichere Ereignis gilt: E Ω Für das unmögliche Ereignis gilt: E { } Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite von 4

14 Treten die Ereignisse E oder E ein, so erhält man das Ereignis E E {WZ; ZW; ZZ } ( E vereinigt mit E ) 4. Laplacewahrscheinlichkeit Zufallsexperimente, bei denen jedes der möglichen Elementarereignisse gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, heißen Laplaceexperimente. Sei A die Mächtigkeit des Ereignisses A (Anzahl der Elemente von A) und Ω die Mächtigkeit von Ω. Dann gilt für Laplaceexperimente: A "Anzahl der günstigen Elementarereignisse" P (E) Ω "Anzahl der möglichen Elementarereignisse" Beispiel: Werfen einer -und einer -Münze E: Genau einmal Zahl Ω {WW; WZ; ZW; ZZ} P(E) 4 P(E) P(E) P({ }) 0 P(Ω) Rhön-Gmnasium Bad Neustadt 09 Seite 4 von 4