Grundwissen Mathematik 8

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1 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die Quotienten zugeordneter Größen sind gleich. (Erkennungsmerkml bei Wertetbellen) Der konstnte Quotient q y heißt Proportionlitätsfktor. Die Zuordnungsvorschrift einer proportionlen Zuordnung ht die Form q. Beispiel: Getnkte Benzinmenge Preis Ist 0 Liter 6 So uch 60 Liter y y/,,, q 6 : 0 Liter,0 Liter Zuordnungsvorschrift,0 Liter Die Punkte des Grphen liegen uf einer Gerden durch den Ursprung des Koordintensystems. Der Dreistz (Schlussrechnung) drf ngewendet werden Umgekehrt proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zum Doppelten, zum Hlben,..., zum r-fchen der einen Größe die Hälfte, ds Doppelte,..., ds r -fche der nderen Größe, so heißt sie umgekehrt proportionle Zuordnung Die Produkte zugeordneter Größen sind gleich. Die Zuordnungsvorschrift einer umgekehrt proportionlen Funktion ht die Form p, wobei p ds Produkt ein es Wertepres ist. 0 l 6 l 6 : 0, 0 l,0 0 Beispiel: Austrgen von 50 Zeitungen durch eine Gruppe von Personen. Anzhl der Personen usgetrgene Stückzhl pro Pers. Ist Pers. 60 So uch Pers. 60 y y p 50 Zuordnungsvorschrift 50 Die Punkte des Grphen liegen uf einer Hyperbel. Der Dreistz (Schlussrechnung) drf ngewendet werden Kreis Flächeninhlt A r π Umfng U rπ Kreiszhl π, Pers 60 Pers Pers 50:0

2 Funktionen Eine Zuordnung y, die jedem Wert für jeweils nur einen einzigen Wert für y zuordnet, heißt Funktion. Ein Grph ist nur dnn Grph einer Funktion wenn jede Prllele zur y-achse den Grphen in höchstens einem Punkt schneidet. + (linere Funktion) (qudrtische Funktion) (umgekehrt prop.funktion) Funktion Keine Funktion Jeder Funktionsterm f() legt eine Funktion f: f() fest. Die Menge ller Zhlen, für die bei einer Funktion f ein Funktionswert berechnet werden knn, nennt mn Definitionsmenge D bzw. D f. Die errechenbren Werte bilden die Wertemenge. Ein Punkt P ( p / y p ) liegt uf dem Grphen G von f, wenn die Koordinten von P die Funktionsgleichung y p f( p ) erfüllen. Nullstelle einer Funktion: -Koordinte eines Schnittpunktes eines Funktionsgrphen G t mit der -Achse Anstz: Lösung der Gleichung f() 0. Schnittpunkt mit der y-achse: Anstz: f(0) berechnen Schnittpunkte zweier Funktionsgrphen f und g Anstz: Lösung der Gleichung f() g(). Linere Funktion llgemeine Zuordnungsvorschrift f: m + t Der Grph ist eine Gerde mit Steigung m und y- Achsenschnittpunkt (0/t). Berechnung der Steigung us den Koordinten zweier y y Punkte: m Je größer m ist, desto steiler ist die Gerde. Für m<0 fällt, für m>0 steigt die Gerde; für m0 verläuft sie prllel zur -Achse Alle Gerden mit gleicher Steigung m sind prllel. Besondere Gerden: y Ursprungsgerde y Prllele zur -Achse durch (0 ) Linere Ungleichungen Ungleichungen können mit Hilfe denselben Äquivlenzumformungen gelöst werden wie Gleichungen - mit einer Ausnhme: Bei der Multipliktion oder Division mit einer negtiven Zhl uf beiden Seiten der Ungleichung muss ds Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. f() besitzt die mimle Definitionsmenge D m Q\{} f () - P ( /5) liegt uf G von f mit Denn: 5. ist whr Nullstelle: 0 -,5 bzw (,5/0) S y : f(0) 0- - S y (0/-) f : + ; g : ) S ( Gerdengleichung us Punkten ufstellen: z.b.: Gerde g soll durch A( 5) und B(- ) verlufen: Steigung: 5 m, lso: ( ) g : y + t Nun Koordinten von A einsetzen: t und dmit t ; lso: y + (-) > > > > : > L ]- ; [

3 Linere Gleichungen mit zwei Vriblen: Für linere Gleichungen der Form + b y c (bei der nicht gleichzeitig 0 und b 0 sind) mit den Vriblen und y gilt:. Jede Lösung besteht us einem Zhlenpr.. Es gibt unendlich viele Lösungen.. Die den Lösungen entsprechenden Punkte liegen uf einer Gerden. Linere Gleichungssysteme mit zwei Vriblen Ein Zhlenpr heißt Lösung eines lineren Gleichungssystems, flls ds Pr jede Gleichung des Systems erfüllt. Zeichnerisches Lösen eines LGS mit zwei Vriblen Zunächst zeichnet mn die zu den beiden Gleichungen gehörenden Gerden (Auflösen nch y). Die gemeinsmen Punkte (Schnittpunkt oder gesmte Gerde) bilden die Lösung des lineren Gleichungssystems. Zwei Rechenverfhren zum Lösen eines LGS l. Beim Einsetzungsverfhren wird eine der beiden Gleichungen nch einer Vriblen ufgelöst. Der Term, den mn für diese Vrible erhält, wird dnn in die ndere Gleichung eingesetzt.. Beim Additionsverfhren werden die beiden Gleichungen so ddiert, dss dbei eine Vrible wegfällt". Dzu muss häufig zunächst eine (oder beide) Gleichung(en) mit einer geeigneten Zhl multipliziert werden. Die Lösung der durch. oder. entstndenen Gleichung wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und so der Wert der nderen Vriblen bestimmt. Whrscheinlichkeitsrechnung Zufllseperimente: Eperimente mit unvorhersehbrem, nur von Zufll bhängigen Ausgng. Ergebnisrum: Die Zusmmenfssung ller möglichen Ergebnisse eines Zufllseperiments zu einer Menge. Zufllseperimente lssen sich häufig durch Bumdigrmme übersichtlich drstellen: Ds Zählprinzip verwendet mn m einfchsten im Zusmmenhng mit einem Bumdigrmm. Ht die erste Verzeigung n Äste und die zweite m Äste, so gibt es n m Möglichkeiten Beispiel: y y + y + : y,5 + (Lösungsgerde) Beispiel : (I) +y8 (II) 5-y Zu. (II ) 5- y (II ) in (I): +(5- )8... Einsetzen in (II ) liefert y Zu. (II) 5-y (II ) 0-y6 (II ) + (I): : Einsetzen in (II) liefert y Münzwurf Ω { Z, K } Würfeln Ω {,,,, 5, 6} Beispiel: zweifcher Münzwurf: K K Z Z K Z Im obigen Beispiel Möglichkeiten Beim zweimligen Würfeln ergeben sich so Möglichkeiten

4 Lplce-Eperiment Bei mnchen Zufllseperimenten knn mn us Symmetrie-Gründen lle Ergebnisse ls gleichberechtigt nsehen. Mn knn sich dnn keinen Grund denken, wrum bei häufiger Durchführung des Zufllseperi-mentes ein Ergebnis bevorzugt uftritt. Mn spricht in diesem Fll von einem Lplce- Eperiment Für Lplce-Eperiment gilt: P ( A) A Ω dh. Anzhl der günstigen Ergebnisse durch Anzhl der möglichen Ergebnisse Kürzen von Bruchtermen Zähler und Nenner durch denselben Term dividieren(gegebenflls erst usklmmern). Achtung! Nicht us Summen und Differenzen kürzen Lplce-Eperimente und zugehörige Ergebnisräume: Würfel: Ω {,..., 6}, G{,, 6} Augenzhl gerde G P ( G) Ω 6 Aber nicht Glücksrd mit unterschiedlich großen Sektoren (60 ;0 ;80 ) Augensumme beim zweimligen Würfeln: Lplce - Ergebnisrum: Ω { (;), (;),..., (6;6)} Für Ω {,,..., } trifft die Lplce - Annhme nicht zu ( ) + 5 ( + ) ( + ) ( + ) Addieren und Subtrhieren von Bruchtermen Brüche mit gleichem Nenner werden ddiert bzw. subtrhiert, indem mn die Zähler ddiert bzw subtrhiert und den Nenner beibehält. ( + ) ( + ) Multiplizieren von Bruchtermen Bruchterme multipliziert mn, indem mn jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert und gegebenenflls kürzt Dividieren von Bruchtermen Ansttt durch einen Bruchterme zu dividieren, multipliziert mn mit seinem Kehrbruch ( ) : 5 ( ) 5 5 Lösen von Bruchgleichungen Definitionsbereich: (Ausschließen der Nennernullstellen!) Huptnenner: beide Seiten mit HN multiplizieren: Kürzen: Ausrechnen: Prüfe: D? Flls j, dnn Erbebnis in L ufnehmen (sonst L{}) - ; - D Q\{0;} Huptnenner: ( - ) - ; (-) (-) (-) - ( ) ( ) ;... L {}

5 5 Gebrochenrtionle Funktionen Besitzen häufig hyperbelähnliche Grphen. Die senkrechten Asymptoten können sich nur bei den Nennernullstellen ergeben (Für welche Werte wird der Nenner fst 0 und dmit, flls Zähler nicht uch Null wird, der Wert des Bruches sehr groß). Die wgrechten Asymptoten ergeben sich wenn mn für sehr große/kleine Werte einsetzt. Potenzen: Für n IN n und... n Fktoren und 0 gilt: und y + y 0 und n für 0 n Strhlenstz Vorussetzung: Zwei sich schneidende Gerden (g, g ) werden von zwei zueinnder prllelen Gerden geschnitten. Je zwei Abschnitte uf g verhlten sich wie die entsprechenden Abschnitte uf g. Die Abschnitte uf den Prllelen verhlten sich wie die von Z us gemessenen entsprechenden Abschnitte uf g bzw. g. y y : Ähnlichkeit Eigenschften: Wenn zwei Figuren ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. z.b. f ( ) + hier: Asymptoten : - und y - Beispiele 8 0, k, ( ) s 9 7,6 9 +, u, 7 8,9 r, 8,9, 0 Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des ndern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen.