Ortskurven besonderer Punkte

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1 Ortskurven besonderer Punkte 1. Wir betrchten die Funktionenschr f mit f (x = x+ e x, D f =R und R\{0}. ( Bestimme in Anhängigkeit des Schrprmeters die Nullstellen von f und ds Verhlten von f für x ±. (b Zeige, dss lle Grfen der Funktionenschr genu einen Punkt gemeinsm hben und gib seine Koordinten n. (c Bestimme die Koordinten der loklen Extrem und der Wendepunkte der Funktionenschr in Abhängigkeit von. (d Zeichne die Grfen der Funktionen f 0,5, f, f 0 und f 4 in ein geeignetes Koordintensystem. Stelle vorher die Nullstellen und die Koordinten der Extremwerte und Wendepunkte in einer Tbelle zusmmen. (e Unter welchem spitzen Winkel α schneiden sich die Grfen der beiden Funktionen f 0,5 und f 0? (f Auf welcher Kurve y = g(x liegen die Extremwerte der Schrfunktionen? Zeichne sie in ds schon bestehende Koordintensystem ein. (g Auf welcher Kurve y = h(x liegen die Wendepunkte der Schrfunktionen? Zeichne sie in ds schon bestehende Koordintensystem ein. Lösung: ( Nullstellen: x 0 = ( sgn( lim f(x = x 0 + = sgn( ( ( sgn( lim f(x = = lim x + + x + e x = = 0 ± + (b f (x = f b (x = x = bx = ( bx = 0 = x = 0 ( b Der gemeinsme Punkt ller Grfen ist lso (0 1. (c f x+ (x = e x, f x + (x = e x, f x+ (x = e x f (x = 0 = x 1 = = 1, f (x 1 = e, f (x 1 = e ( > 0 = f (x 1 < 0 = Hochpunkt bei H e < 0 = f (x 1 > 0 = Tiefpunkt bei H (d f (x = 0 = x = Wendepunkt bei W( e ( e =, f (x = e 0 = 1

2 0,5 0 4 x ,1 0,5 x 1 0 0,9 1,5 e f(x 1 4 5, ,07 0,446 e0,9 e1,5 x 1 1,9,5 f(x e,69 e 0,74 0 4,99 0,8 e1,9 e,5 h y 6 5 f 4 4 f1 g f x 1 f g h (e f 0,5 (0 = 0,75 = tnα = α = 6,87 f 0 (0 = 9 = tnβ = β = 8,66 Schnittwinkel: ϕ = 180 (β + α = 59,47 (f x 1 = 1 = = 1 1 x 1 = y 1 = e = e x 1 1 x 1 = g(x = e x 1 x (g f (x = 0 = x =, y = f(x = e = e x x h(x = e x x. Gegeben ist ein Dreieck mit den Ecken A(0 0, B(1 0 und C(c 1.

3 ( Zeichnen Sie für c = 0,; 0; 0,; 0,5; 0,7; 1; 1, in verschiedenen Frben ds Dreieck und trgen Sie jeweils den Höhenschnittpunkt rot ein (1 = 5cm. Auf welcher Kurve könnten die Schnittpunkte der Höhen liegen? (b Geben Sie die Gleichungen der Gerden n, uf denen die Höhen h und h c liegen. (c Berechnen Sie die Koordinten des Höhenschnittpunkts H. (d Beweisen Sie, dss sich der Höhenschnittpunkt für vribles c uf einer Prbel bewegt. (e Geben Sie die Lge des Scheitels der Prbel n und vergleichen Sie ds Ergebnis mit Teilufgbe (. Lösung: ( Höhenschnittpunkt liegt uf einer Prbel. (b h c : x = c und h : x (1 c x (c H liegt uf h c ( x = c und uf h ( y = (1 c x. Also H(c c c (d y H = (1 c x H = (1 x H x H = x H x H (e S( ; Ergebnis stimmt mit Teilufgbe ( überein. Gegeben ist die Funktion f(x = x +bx (D =R, 0, b 0. ( Bestimmen Sie llgemein die Nullstellen der Funktion. (b Bestimmen Sie llgemein die Koordinten der Extrem. (c Zeichnen Sie die Funktion für = 1 und b =. (d Zeichnen Sie für b = und für zehn verschiedene Werte von die Extrem in ein Koordintensystem ein. Ws fällt uf? (e Beweisen Sie, dss für festes b und vribles die Extrem uf einer Prbel liegen. Lösung: ( N 1 (0 0, N ( b 0 (b f (x = x(x+b = 0 x 1 = 0 oder x = b f (x = 6x+b 0 für x 1 und x ( und b 0!. Also Extrem bei (0 0 und ( b 4b 7 (c (d Extrem liegen uf einer Prbel. (e f(x = 4b 7 = b ( b = b x 4. Gegeben ist die Funktion f(x = x +bx (D =R, 0, b 0. ( Bestimmen Sie llgemein die Nullstellen der Funktion. (b Bestimmen Sie llgemein die Koordinten der Extrem. (c Zeichnen Sie die Funktion für = 1 und b = 1.

4 (d Zeichnen Sie für b = 1 und für = 0,1, 0,,... 0,9 die Extrem in ein Koordintensystem ein. Ws fällt uf? (e Beweisen Sie, dss für festes b und vribles die Extrem uf einer Ursprungsgerden liegen. Lösung: ( N 1 (0 0, N ( b 0 (b f (x = x +b = 0 x = b f (x = 6x f ( b 0. (c Also Extrem bei ( b b b (d Extrem liegen uf einer Gerden. (e f(x Mx = b ( b +b = b x Mx. 5. Gegeben ist die Funktion f(x = x 4 +bx (D =R, 0,b 0. ( Zeigen Sie, dss der Grph der Funktion chsensymmetrisch ist. (b Bestimmen Sie llgemein die Lge der Extrem. Welche Bedingung muss für die Vriblen und b gelten, dmit der Grph der Funktion drei Extrem ht? (c Zeichnen Sie den Grphen der Funktion für i. = 1 und b = 4. ii. = 1 und b = 4. (d Zeichnen Sie für = 1 und b = 1, 4, 9, 16, 5 die Extrem in ein Koordintensystem. Auf welcher Kurve könnten die Extrem mit x 0 liegen? (e Berechnen Sie die Ortskurve der Extrem für festes und vribles b. Lösung: (b E 1 (0 0, E ( b b 4 (, E b b 4 Drei Extrem genu dnn, wenn und b verschiedene Vorzeichen hben. (d Vermutung: Extrem liegen uf einer nch oben geöffneten Prbel. (e e(x = b x 6. Gegeben ist die Funktion f(x = x 4 +bx (D =R, 0,b 0. ( Bestimmen Sie llgemein die Lge der Extrem. Welche Bedingung muss für die Vriblen und b gelten, dmit der Grph der Funktion drei Extrem ht. (b Zeichnen Sie für = und b = 1, 1 4, 1, 1, 1 die Extrem in ein Koordintensystem. Auf welcher Kurve könnten die Extrem mit x 0 liegen? 4

5 (c Berechnen Sie die Ortskurve der Extrem für festes b und vribles. Lösung: ( E 1 (0 0, E ( b b 4 (, E b b 4 Drei Extrem genu dnn, wenn und b verschiedene Vorzeichen hben. (b Vermutung: Extrem liegen uf einer nch oben geöffneten Prbel. (c e(x = b x 7. Berechnen Sie für folgende Funktionen die Ortskurve der Extrem. ( f(x = x +x +kx (b f(x = x +kx +x (c f(x = kx +x +x Lösung: ( Extrem bei x E = 1± 1 k k = x x f(x E = x +x +( x x x = x x (b Extrem bei x E = k± k k = 1 x x f(x E = x +( 1 x x x +x = 1 (x x (c Extrem bei x E = 1 k (1± 1 k k = x+1 f(x x E = ( x+1 x +x +x = 1 x x + x 8. Berechnen Sie für folgende Funktionen die Ortskurve der Wendepunkte. ( f(x = x +x +kx (b f(x = x +kx +x (c f(x = kx +x +x Lösung: ( Wendepunkte bei x W = 1 (b Wendepunkte bei x W = k k = x f(x W = x x x+x = x +x (c Wendepunkte bei x W = 1 k k = 1 k f(x W = 1 k x +x +x = x +x 9. Wir betrchten die Funktionenschr f (x = x + x. P sei ein Punkt uf G f mit wgrechter Tngente. Berechnen Sie die Koordinten von P! Auf welcher Kurve liegen lle Punkte P mit R? Lösung: f (x = x x, f (x = 0 = x 1 = P (x 1 y 1 mit y 1 = ( 1 (, Kurve der Minim: y = x 5

6 10. g sei die Menge ller Scheitelpunkte von nch unten geöffneten und verschobenen Normlprbeln f (x = x +bx+c, die die Normlprbel n(x = x im Punkt P ( berühren. Berechnen Sie zuerst die Koeffizienten b und c in f (x und stellen Sie dnn die Funktionsgleichung von g uf. Lösung: f ( = n ( und f ( = n( = b = 4 und c = f (x = x +4x, Scheitel von f : S ( Kurve der Scheitelpunkte: g(x = x 11. Durch die Funktionenschr f (x = x +bx+c wird die Menge ller verschobenen Normlprbeln ( beschrieben, die den Grphen der Funktion h(x = 1 im Punkt x P 1 berühren. ( Stellen Sie die Gleichung der Schr f uf, d.h. drücken Sie b und c durch us! (b Beweisen Sie, dß der Scheitel des Grphen von f durch gegeben ist! S(x S y S mit x S = +1 und y S = (c Zeichnen Sie die Grphen von h und f für { 5; 1; 0,5; 0,5; 1; 5} in ein Koordintensystem! (d g sei die Menge ller Scheitelpunkte der Prbeln f. Füllen Sie folgende Wertetbelle us und zeichen Sie dnn den Grphen von g! -5,0 -,0-1,0-0,5-0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5,0 4,0 x S y S Ist g eine Funktion? Die Drstellung von g durch die beiden Funktionen x S ( und y S ( nennt mn Prmeterdrstellung von g mit dem Prmeter. Lösung: ( f ( = h ( und f ( = h( = b = 1 und c = + f (x = x + ( 1 x+ + (d -5,0 -,0-1,0-0,5-0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5,0 4,0 x S -4,98-1,88-0,5 1,5,7,5,5 1,7 1,5 1,7,1 4,0 y S -0,0-0,5-1,5-6,00-1, -7,7 -,00 0,9 0,75 0,6 0,48 0,5 g ist keine Funktion. 1. Gegeben ist die Funktionenschr f(x = x 4 +bx,,b 0, D =R. 6

7 ( Für welche Werte von und b ht der Grph der Funkion Extrem? (b Berechnen sie die Ortskurve der Extrem für festes und vribles b. (c Für welche Werte von und b ht der Grph der Funkion Wendepunkte? (d ZeichnensiedieGrphenderFunktionenfür = 1 undb = 4, 1,1,4.Achten sie druf, dss die Lge der Extrem (soweit vorhnden richtig eingetrgen ist. Trgen sie die Ortskurve der Extrem in ds Digrmm ein. (e Betrchten sie nun für = 1 und b = 4 den Grph der Funktion. Die y-achse zerlegt ds von der Verbindungsstrecke der Extrem (nicht (0 0 und dem Grph der Funktion eingeschlossene Flächenstück in zwei Teile. Vergleichen sie die beiden Teilflächen. Begründen sie ihre Antwort. Lösung: ( x 1 = 0, Mximum für b < 0, Minimum für b > 0 Flls und b verschiedene Vorzeichen hben gibt es weitere Extrem: x, = ± Mximum für b > 0, Minimum für b < 0 (b o(x = x 4 b (c Flls und b verschiedene Vorzeichen hben, gibt es Wendepunkte: x 4,5 = ± (d b 6 (e Die Flächen hben gleichen Flächeninhlt, d sie wie der Funktionsgrph chsensymmetrisch zur y-achse sind. 1. GegebenistdieFunktionf(x = x.g t seidietngenteng f impunkta( f( und G h die Tngente n G f im Punkt B ( f ( 5 5. ( Stellen Sie die Funktionsgleichungen von t und h uf und berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktionen. (b Berechnen Sie die Koordinten x und y des Schnittpunktes S von G t und G h. (c Zeichnen Sie den Grphen von f und ermitteln Sie zeichnerisch sowie rechnerisch den Punkt S,5. (d DieMenge ller Punkte S mit Rist der Grpheiner Funktion g.ermitteln Sie die Gleichung von g. Lösung: ( t(x = x, h(x = 5 x 5 t(x = 0 bei x =, h(x = 0 bei x = 10 (b x = 5, y = 5 (c x = 1, y = 1,5 (d g(x = 5 4 x 7

8 14. Gegeben ist die Funktion f(x = x. G g sei die Tngente n G f im Punkt A(b f(b und G h die Tngente n G f im Punkt B ( b 7 f ( b 7. ( Stellen Sie die Funktionsgleichungen von g und h uf und berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktionen. (b Berechnen Sie die Koordinten x b und y b des Schnittpunktes S b von G g und G h. (c Zeichnen Sie den Grphen von f und ermitteln Sie zeichnerisch sowie rechnerisch den Punkt S,5. (d Die Menge ller Punkte S b mit b Rist der Grph einer Funktion k. Ermitteln Sie die Gleichung von k. Lösung: ( g(x = bx b, h(x = b 7 x b 49 g(x = 0 bei x = b b, h(x = 0 bei x = 14 (b x b = b 7, y b = b 7 (c x b = 1,5, y b = 1,75 (d k(x = 7 9 x 8