von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung

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1 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. () Entscheiden ie begründet mit Hilfe einer Zeichnung in der, ob die Gerde g mit g : y = x + eine Tngente m Grphen P ist. von f im Punkt ( ) Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Nullstellen: f x x x x x ( x x ) Also x = 0. Zusätzlich: ( ) = 0 + = 0 + = 0 x x x, sind x = 0, x = und x = +. () Einzeichnen der Gerden g (siehe rechts). Mn sieht deutlich, dss g den Grphen von f im Punkt P ( ) nicht berührt, sondern schneidet. Dher knn g keine Tngente m Grphen von f im Punkt P sein. + = 0 = ± +. Die drei Nullstellen Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

2 Hilfsmittelfreier Teil. Anlysis Beispielufgbe zur Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x. Die Koordinten des loklen Hochpunktes und des loklen Tiefpunktes sind gnzzhlig. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Entscheiden ie begründet, ob der Grph der Ableitungsfunktion f ' eine nch oben oder nch unten geöffnete Prbel ist. () Geben ie lle erte für den Prmeter c n, so dss die Funktion g c mit der Gleichung g ( x ) = f ( x ) + c genu zwei c Nullstellen besitzt. Begründen ie Ihre Angbe. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Es gilt: f '( x ) = x + 6 x. Ds Vorzeichen des Koeffizienten vor x entscheidet, ob die Prbel nch oben oder nch unten geöffnet ist. eil > 0 gilt, ist die Prbel nch oben geöffnet. Oder: Die Prbel von f ' besitzt die Nullstellen x = und x = 0, denn sie sind die loklen Extremstellen von f. Nur dzwischen fällt der Grph von f, lso liegt die Prbel von f ' für < x < 0 unterhlb der x-achse. Die Prbel muss lso nch oben geöffnet sein. () c = oder c =. Dmit es genu zwei Nullstellen gibt, muss der Grph von f die x- Achse im Hochpunkt oder im Tiefpunkt berühren. omit muss entweder der Hochpunkt um drei Einheiten nch unten oder der Tiefpunkt um eine Einheit nch oben verschoben werden. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

3 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x x. Der Grph ist in der drgestellt. () eisen ie rechnerisch nch, dss die in der Zeichnung erkennbre Nullstelle ttsächlich eine Nullstelle ist. () Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g ( x ) = f ( x + ). Geben ie n, wie sich der Grph von g verändert, wenn mn für immer größere Zhlen einsetzt. Geben ie ußerdem einen ert für n, so dss die Funktion g die Nullstelle x = besitzt. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur z Anlysis () Am Grphen ist erkennbr, dss x = die vermutliche Nullstelle ist. Zum rechnerischen Nchweis: etze x = in f ( x ) ein. 8 egen f () = = = = 0 ist x = eine Nullstelle von f. () Je größer wird, desto weiter wird der entsprechende Grph der Funktion g nch links verschoben. Dmit x = eine Nullstelle wird, muss der Grph von f um drei Einheiten nch links verschoben werden, lso muss = gelten. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

4 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Die Funktion f mit der Gleichung f ( t ) = t t + 9 t beschreibt näherungsweise die chstumsgeschwindigkeit cm einer Pflnze in der Einheit oche. Dbei gibt t die Zeit in ochen seit Beobchtungsbeginn n, es gilt: 0 t 6. Der Grph der Funktion f ist in der drgestellt. () Berechnen ie die chstumsgeschwindigkeit der Pflnze nch zwei ochen. () Nehmen ie n, die Pflnze hätte nch vier ochen eine Höhe von 70 cm. Entscheiden ie, welche der drei nchfolgenden Aussgen stimmt. Kreuzen ie dzu uf dem Arbeitsbltt n. Nch fünf ochen ist die Pflnze O O O kleiner ls 7 cm oder gleich 7 cm oder größer ls 7 cm. Begründen ie Ihre Entscheidung. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () 8 f () = + 9 = + 8 = 8. Die chstumsgeschwindigkeit betrug zwei ochen nch Beobchtungsbeginn cht Zentimeter pro oche. () Aus dem Grphen knn mn blesen, dss die chstumsgeschwindigkeit nch vier ochen cm pro oche betrug und dnch nur noch fällt. Also ist die Pflnze nch fünf ochen kleiner ls 7 cm. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

5 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Die folgende zeigt den Grphen der Funktion f mit der Gleichung 6 f ( x ) = x x +. () Bestimmen ie eine Gleichung der Tngente t n den Grphen von f im Punkt P ( 0). () kizzieren ie den Grphen von f ' in die. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Gesucht ist die Gleichung zu t mit t ( x ) = m x + b. Mit f '( x ) = x x gilt für die teigung von t : m = f '() = =. Einsetzen von m = und den Koordinten von ( 0) P ergibt: 0 = + b b = 8. Also lutet die Tngentengleichung: t ( x ) = x + 8. () Eine kizze der Prbel von f ' ist rechts bgebildet. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der sein. chlich richtige Alterntiven werden mit entsprechender Punktzhl bewertet.

6 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis Gegeben ist eine Funktion f. Die zeigt die Prbel ihrer Ableitungsfunktion f ' mit der Gleichung f '( x ) = x + x +. f '( x ) () Die Prbel von f ' besitzt die beiden Nullstellen x = und x = 6. Ermitteln ie unter Verwendung dieser Nullstellen rechnerisch die Koordinten des cheitelpunktes der Prbel. () Begründen ie, dss keine der beiden en und den Grphen der Funktion f zeigt. Führen ie jeweils mindestens ein Gegenrgument uf. h g Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis () Aus ymmetriegründen liegt die x-koordinte des cheitelpunktes in der Mitte der beiden Nullstellen und 6. Die Mitte ist. f '() = + + = + + =. Der cheitelpunkt besitzt somit die Koordinten ( ). () Der Grph der Funktion g in besitzt n der telle x = eine negtive teigung, während m Grphen von bzulesen ist: f '() = > 0. Der Grph der Funktion h in zeigt drei lokle Extremstellen. egen der notwendigen Bedingung für Extremstellen ht h ' mindestens drei Nullstellen, ber f ' ht nur zwei Nullstellen. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

7 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik Ein upermrkt verwendet für die Berbeitung zurückgegebener Pfndflschen eine Mschine. Diese soll einwndfreie Flschen von deformierten Flschen unterscheiden. Zurückgegebene Flschen werden entweder von der Mschine bgewiesen oder ngenommen. Dbei unterlufen dem Gerät uch Fehler: Es werden mnchml uch einwndfreie Flsche bgewiesen oder deformierte Flsche ngenommen. Eine Übersicht über hrscheinlichkeiten in diesem Zusmmenhng liefert die noch unvollständige Vierfeldertfel (Tbelle). Flsche ngenommen Flsche bgewiesen Flsche einwndfrei 0,90 0,009 0,9 Flsche deformiert 0,00 0,08 0,0 Tbelle () In den beiden doppelt umrndeten Kästchen der letzten Zeile fehlen zwei hrscheinlichkeiten in dem vorliegenden chzusmmenhng. Berechnen ie beide hrscheinlichkeiten und geben ie diese in den Kästchen n. () Geben ie die Bedeutung der beiden hrscheinlichkeiten us () in dem vorliegenden chzusmmenhng n. () Eine Flsche wird bgewiesen. Ermitteln ie einen Term, um die hrscheinlichkeit zu berechnen, dss die Flsche in Ordnung ist. Hinweis: Die konkrete Berechnung wird nicht verlngt. Hilfsmittelfreier r Teil. Beispielufgbe zur tochstik () 0,90 + 0, 00 = 0,9 und 0, , 08 = 0,08. Flsche ngenommen Flsche bgewiesen Flsche einwndfrei 0,90 0,009 0,9 Flsche deformiert 0,00 0,08 0,0 0,9 0,08 () Mit einer hrscheinlichkeit von 9, % wird eine Flsche von der Mschine ngenommen und mit einer hrscheinlichkeit von,8 % wird eine Flsche von der Mschine bgewiesen. () Mn teilt den Anteil der bgewiesenen einwndfreien Flschen durch den Anteil ller 0, 009 bgewiesenen Flschen. Ds ergibt:. 0, , 08 Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

8 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik In einer Urne befinden sich zu Beginn eines Zufllsexperiments drei schwrze Kugeln () und zwei weiße Kugeln (), siehe. Aus der Urne werden ncheinnder zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Zu dem Zufllsexperiment wurde ds Bumdigrmm us erstellt. () Berechnen ie die hrscheinlichkeit dfür, dss bei dem Zufllsexperiment mindestens eine schwrze Kugel gezogen wird. () Die Zufllsgröße X beschreibt die Anzhl der gezogenen schwrzen Kugeln. Berechnen ie den Erwrtungswert der Zufllsgröße X. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik () P( mindestens eine schwrze Kugel ) = - P( keine schwrze Kugel ) = 9 90%. 0 0 Die hrscheinlichkeit, mit der mindestens eine schwrze Kugel gezogen wird, beträgt 90%. () Anhnd der hrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X knn der Erwrtungswert berechnet werden: k 0 P( X k ) 0, 0,6 0, 0 0, 0,6 0,, Der Erwrtungswert der Zufllsgröße X beträgt,. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

9 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik In einer Urne befinden sich zu Beginn eines Zufllsexperiments drei schwrze Kugeln () und zwei weiße Kugeln (), siehe. Elen mcht folgendes Zufllsexperiment: ie zieht so lnge ohne Zurücklegen Kugeln us der Urne, bis sie zum ersten Ml eine weiße Kugel gezogen ht. Ein möglicher Versuchsusgng ist zum Beispiel s s w, hier gibt es drei Züge. () Zeichnen ie für Elens Zufllsexperiment ein vollständiges Bumdigrmm mit llen Pfdwhrscheinlichkeiten. () Die Zufllsgröße X beschreibt die Anzhl der Züge des Experimentes. Berechnen ie die hrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik () () k P ( X = k ) = 0 = = 0 Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der