- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

Transkript

1 - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit einer zweiwertigen Mtrix Noch ml zum Üben mit einer -wertigen Mtrix..... Ds Verfhren mit der djunkten Beispiel: Wichtiger Tipp! Ds djunktenverfhren mit der -wertigen Mtrix...9

2 - - VB Die Inverse einer Mtrix Die Inverse Mtrix zu einer gegeben Mtrix nennt mn. Betrchtet mn eine reelle Zhl, so ist die inverse Zhl zu einer gegebenen Zhl der Kehrwert. lso die Zhl, mit der mn multiplizieren muss, um ls Ergebnis zu erhlten. Beispiel: Gegeben ist: Kerwert ist: -, Weil, Übertrgen uf eine Mtrix bedeutet ds, mn müsste die Mtrix mit der Inversen Mtrix multiplizieren um ls Ergebnis die Einheitsmtrix zu bekommen. Definieren wir lso zuerst ml, ws der Zhl in der Mtrixwelt entspricht.. Definition der Einheitsmtrix ls Einheitsmtrix E beichnet mn eine Mtrix, die in ihrer Huptdigonlen us Einsen besteht und sonst nur Nullen ht. E E. Bedingung für die inverse Mtrix llerdings ht nicht jede Mtrix eine Inverse. Zu Mtrizen in denen Zeilen oder Splten liner bhängig sind, lso deren Determinnte beträgt, gibt es keine inverse Mtrix. Ds würde uch keinen Sinn mchen, wie wir später noch sehen.

3 - - VB. Berechnung der Inversen Mtrix.. Ds Verfhren nch Guß mit einer zweiwertigen Mtrix Sehen wir uns eine einfche Mtrix mit zwei Zeilen und zwei Splten n und übertrgen den Schverhlt der Reellenzhlen uf sie. Entspricht der usgngsmtrix und wir suchen die inverse Mtrix dzu. Dzu prüfen wir zuerst, ob die Determinnte ist det Die Vorussetzung ist lso erfüllt. Und per Definition gilt: E lso Mtrix ml Inverse Einheitsmtrix. Wenn wir umstellen ergibt ds: E Mn müsste lso die Einheitsmtrix durch die usgngsmtrix Teilen. D die Division für Mtrizen ber nicht definiert ist, müssen wir einen nderen Weg gehen. Und der geht so:.wir schreiben die Mtrix und die Einheitsmtrix direkt nebeneinnder..wir formen die Mtrix mit den und beknnten Mitteln so um, dss die Einheitsmtrix links steht. Erste Zeile

4 - - VB Zeile zweite, ml,, Jetzt hben wir uf der linken Seite die Einheitsmtrix und uf der rechten Seite steht genu die Inverse Mtrix zu,, Wenn wir jetzt die Probe mchen wollen, müssen wir nur die beiden Mtrizen miteinnder Multiplizieren und müssten die Einheitsmtrix bekommen. E,,,, Zur Erinnerung: ) ) ) ) ) ),,,, Die Multipliktion sollte, wenn nicht mehr beknnt, hier nchgelesen werden Wir hben unsere erste inverse Mtrix berechnet. Zum Üben mchen wir uns jetzt noch n die Berechnung einer größeren Mtrix.

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6 - - VB... Noch ml zum Üben mit einer -wertigen Mtrix Gegeben ist die Mtrix B Zuerst suchen wir wieder die Determinnte. Wir entwickeln nch der. Zeile und ziehen den Fktor us der. Zeile vor die Mtrix. ) 9 det B Die Determinnte ist ungleich Null, lso existiert die Inverse. Wir schreiben wieder die Mtrix und die Einheitsmtrix zusmmen und formen um: erste erste,) zweite zweite,, 9,,,,,,,,

7 - 7 - VB Die Inverse Mtrix von B ist lso,,,, B Mchen wir wieder die Probe:,,,, Zeile Zeile,),),,),),,,) Zeile,),),,) Die Kontrolle stimmt lso, d sich wieder die Einheitsmtrix ergibt.

8 - 8 - VB.. Ds Verfhren mit der djunkten Wie mn Determinnten und Unterdeterminnten berechnet, könnt ihr us dem Script Determinnten entnehmen. Mit deren Hilfe werden wir jetzt die zweite Methode zur Berechnung der inversen Mtrix errbeiten. Es gilt der Stz: ij ) i j det ji und det ist dbei die djunkte der Mtrix und ij sind die Glieder der djunkte det ist die Determinnte der Ursprungsmtrix ist die Inverse der Ursprungsmtrix Um diesen Stz besser zu verstehen mchen wir ein... Beispiel: Dzu nehmen wir wieder die Mtrix von oben. Jetzt berechnen wir die Glieder der djunkten mit dem Stz: ij ) i j det ji ) det Det ist dbei wieder die Determinnte der Mtrix ohne die Zeile und die Splte. ) det ) det

9 - 9 - VB ) det Wir erhlten dnn die djunkte Die Inverse der Mtrix ist dnn det Und die Determinnte von wr j. lso Teilen wir jedes Glied der djunkten durch und erhlten die Inverse Mtrix von. det,,... Wichtiger Tipp! Ws gerne flsch gemcht wird, ist die Ttsche, dss die Indices i und j im oben gennnten Stz beim djunktenglied und bei der Unterdeterminnten genu vertuscht sind. Mcht mn ds Flsch, ist ntürlich ds gnze Ergebnis Flsch!... Ds djunktenverfhren mit der -wertigen Mtrix Nehmen wir wieder die Mtrix von oben us... B Die Determinnte htten wir oben berechnet. det B -

10 - - VB Die djunktenglieder berechnen sich wie folgt: ) det B ) ) det B ) 8 ) det B ) ) det B ) ) det B ) ) det B ) ) det B ) det B ) det B ) ) ) Die djunkte ist lso B 8 Dnn ist: B B det B 8,,,, Wir erhlten wieder ds gleiche Ergebnis wie beim Gusverfhren!

11 - - VB