Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2016/2017 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: b h

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1 Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: (i) β = 57, c = 4cm (ii) α = 24, = 27cm (iii) = 0, cm, c = 0, 35cm (iv) α = 38, c = 80cm γ b h α c β (b) Gegeben sei ein Dreieck ABC mit c = 6cm, α = 70, γ = 50. Welches ist die längste Seite? (c) Vom Dreieck ABC seien = 45cm und b = 50cm beknnt. Weiter soll der Winkel β um 0 größer ls der Winkel α sein. Wie groß ist c? (d) In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Summe der Cosinus der Winkel gleich 5 4. Wie groß sind die Winkel? (e) Bitte vereinfchen Sie folgende Terme: (i) sin 4 (α) + 2 sin2 (2α) + cos 4 (α) (ii) +tn 2 (α) +sin(α) (iii) ( ) sin(α) (iv) +tn 2 (α) + +cot 2 (α) (v) sin(α) + cos(α) tn(α) (vi) cos(2α) (f) Wie groß sind die Koordintenmße x und y für die drei Bohrungen in der Grundpltte?

2 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/ x P 3 P 2 7 P y 36 Lösung: () (i) β = 57, c = 4cm gegeben. Es folgen α = 90 β = 33, = cos(β)c = 2, 7cm, b = sin(β)c = 3, 35cm (ii) α = 24, = 27cm gegeben. Es folgen β = 90 α = 66, cos(β) = c = c = 60, 64cm tn(α) = 66, 38cm, tn(α) = b = cos(β) b (iii) = 0, cm, c = 0, 35cm gegeben. Es folgen b 2 = c 2 2 b = 0, 335cm, sin(α) = c α = 6, 6, cos(β) = c β = 73, 4 (iv) α = 38, c = 80cm gegeben. Es folgen β = 90 α = 52, cos(β) = c = cos(β)c = 49, 25cm, sin(β) = b c b sin(β)c = 63, 04cm, (b) Gegeben sei ein Dreieck ABC mit c = 6cm, α = 70, γ = 50. D wir in diesem Fll ein llgemeines und kein rechtwinkliges Dreieck vorliegen hbe, müssen wir mit dem Sinusstz (bzw. Kosinusstz) rbeiten: sin (α) = b sin (β) = c sin (γ) () Dmit folgt für : = c sin (α) sin (γ) = 7.36cm und für b: b = c sin (β) sin (γ) = 6.78cm Somit ist die Seite, die dem größten Winkel gegenüber liegt, lso, die längste Seite. Dies ist immer der Fll, wie mn sich leicht überlegen knn. Der Sinus des größten Winkels ist ebenflls m größten (der Sinus ht sein Mximum bei 90 ). Dies gilt, weil: sin (α) = sin (80 α) Und wenn mn nun von den 80 den größten Winkel bzieht, bleiben zwei Winkel übrig, die dnn jeweils den Wert von sin (80 α) nicht erreichen. Also ht der größte Winkel

3 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 im Dreieck den größten Sinuswert und d der Sinusstz (siehe Formel ()) gilt, muss dementsprechend der Zähler vom größten Sinus m größten sein. Es gilt: Für c gilt es entsprechend. sin (α) > sin (β) sin (α) sin (β) = b > > b (c) Wie im zweiten Aufgbenteil, so können uch hier die Beziehungen eines rechtwinkligen Dreiecks nicht genutzt werden. Wir rbeiten deswegen hier mit dem Sinusstz (). Weil nun und b beknnt sind, nutzen wir den ersten Teil von Gleichung (), um α zu berechnen. Dzu bruchen wir llerdings β, welches sich wie folgt ergibt: Dmit erhlten wir: β = α + 0 sin (α + 0 ) sin (α) Unter Verwendung des Additionstheorems der Summe zweier Winkel folgt weiter: = b sin (α) cos (0 ) + cos (α) sin (0 ) = b sin (α) cos (0 sin (0 ) ) + tn (α) = b tn (α) = b cos sin (0 ) (0 ) α = D wir nun die einzige Vrible in unserem Dreieck bestimmt hben (durch α ergibt sich lles ndere), können wir über () gnz einfch c ermitteln: c = sin ( ) sin (53.97 ) = 49.6 cm (d) Die Summe der Cosinus ergibt sich, weil γ = α wie folgt: 2 cos (α) + cos (β) = 5 4 (2) Die vorliegende Gleichung ht zwei Vriblen. D ber α und β über die Summe der Innenwinkel zusmmenhängen, ist die Gleichung (2) nur noch von α bhängig. Ddurch ergibt sich weiterhin: 2 cos (α) + cos (80 2α) = 5 4 Der zweite Term wird wieder mit dem Summe-zweier-Winkel-Additionstheorem umgewndelt (Vorzeichen!): 2 cos (α) + cos (80 ) cos (2α) + sin (80 ) sin (2α) = 5 4

4 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 Mit sin (80 ) = 0 und cos (80 ) = folgt weiter: 2 cos (α) cos (2α) = 5 4 (3) D cos (2α) = cos (α) sin (α) und der trigonometrische Pythgors vereinfchen Gleichung (3) weiter zu: 2 cos (α) ( sin 2 (α) ) = cos (α) = 5 4 cos (α) 2 = 5 8 cos (α) + 8 = 0 Diese Form ist eine qudr. Gleichung. Indem wir nun cos (α) mit x substituieren, erhlten wir: x 2 x + 8 = 0 Diese qudr. Gleichung knn über die pq-formel bzw. qudr. Ergänzung gelöst werden. Die Lösungen sind: x = cos (α ) = 0.85 x 2 = cos (α 2 ) = 0.5 α = 3.79 α 2 = 8.37 Demnch gibt es für diese Aufgbe zwei mögliche Lösungen: α = 3, 79 oder α = (e) (i) sin 4 (α) + 2 sin2 (2α) + cos 4 (α) = sin 4 (α) + 2 sin 2 (α) + cos 4 (α) = (sin 2 (α) + ) 2 = (ii) +tn 2 (α) = + sin2 (α) (iii) +sin(α) = +sin 2 (α) = cos2 (α) ( sin(α)) = + sin(α) sin(α) = sin 2 (α) = cos(α) (iv) +tn 2 (α) + +cot 2 (α) = +sin 2 (α) (v) sin(α) + cos(α) = sin(α) + cos2 (α) tn(α) sin(α) (vi) cos(2α) = cos2 (α) sin 2 (α) = tn 2 (α) + +sin 2 (α) sin 2 (α) = sin2 (α)+ sin(α) = sin(α) = cos2 (α) + sin2 (α) = (f) Anwendung des Kosinusstzes, wenn = 36, b = 7 und c = 92: Umformung nch cos (β) führt zu cos (β) = 2 + c 2 b 2 2c b 2 = 2 + c 2 2c cos (β) = und dmit ist β = Nun bilden wir ds Lot von P uf x und bekommen durch ds rechtwinklige Dreieck die Möglichkeit, die Winkelfunktion cos (β) = Ankthete zu Hypotenuse benutzen und dmit ergibt sich für x = 25, 64 und y = 25, 26

5 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 Aufgbe 2 : Äquivlenzumformungen () Für welche x R gilt:

6 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 (i) 2x + < 7 x (ii) x 2 > 4 (iii) x (x + ) < 2 (x + ) (iv) 2x 3x+ < (v) 2 x+ = 8 (vi) ln (x + ) = ln (2x) Lösung: () (i) 2x + < 7 x 3x < 6 x < 2 (ii) x 2 > 4 (x 2) (x + 2) > 0 x < 2 oder x > 2 (iii) x (x + ) < 2 (x + ) x 2 x 2 < 0 (x + ) (x 2) < 0 < x < 2 (iv) 2x 3x+ < 2x 3x+ < 0 x+2 3x+ > 0 x < 2 oder x > 3 (v) 2 x+ = 8 Anwendung von log 2 ( ) (Log zur Bsis 2), Umkehrfkt. der Funktion f (x) 2 x uf beiden Seiten ergibt x + = log 2 (8) Zur Berechnung der rechten Seite ist lso der Exponent gesucht, so dss 2 x = 8 gilt. Offensichtlich ist y = 3, dmit x+ = 3 x = 2 (vi) ln (x + ) = ln (2x), wobei ln ntürlicher Log zur Bsis e ist, Anwendung der Umkehrfunktion f (x) = e x = exp (x) des Log. zur Bsis e uf beiden Seiten ergibt x + = 2x x =