2.4 Elementare Substitution

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1 .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe 4.6 (S.6) Substitution zur Elimintion der Ableitung (EdA): Aufgben 4.7 (S.6), 4.8 (S.8).4. Linere Substitution (LSub) Die einfchste Integrtionstechnik nch der Berechnung von Grundintegrlen ist die sogennnte Integrtion durch linere Substitution. Sie kommt immer dnn zum Einstz, wenn wir eine Stmmfunktion einer gegebenen Funktion f leicht bestimmen können (beispielsweise weil es sich bei f(x) um ein Grundintegrl us Tbelle., S. hndelt) und ds Integrl f(x + b) mit, b R lösen möchten. Wir demonstrieren die Vorgehensweise direkt n Beispielen. Beispiel.7 Berechnen Sie ds Integrl cos( 3x + ). Lösung: Wir wenden die im rechten Ksten durchgeführte Substitution n. Ersetzen von 3x + durch t (d.h. t = 3x + ) und durch 3 (d.h. = 3 ) liefert cos( 3x + ) = cos t ( /3) = 3 cos t = 3 sin t + C Die Rücksubstitution t = 3x + ergibt 3 sin t + C = sin( 3x + ) + C. 3 Substituiere t = 3x + Dnn knn mn t ls Funktion, die von x bhängt, interpretieren: t = t(x) = 3x + Für die Ableitung gilt: t (x) = 3 In der Mthemtik verwendet mn noch eine ndere Drstellung für die Ableitung t (x). Mn schreibt dfür uch (in Worten nch und meint dmit, dss die Funktion t nch x bgeleitet wird. Es ist lso t (x) = ). Wir verwenden diese Drstellung der Ableitung und lösen nch uf: = 3 = 3 Endergebnis: cos( 3x + ) = sin( 3x + ) + C 3 Hinweis zum Verständnis D die richtige Vorgehensweise bei der Substitution sehr wichtig ist, wiederholen wir sie noch einml in Einzelschritten.. Substituiere die (ffin) linere Funktion im Argument: t = t(x) = 3x +.. Leite t(x) b und benutze die Kurzschreibweise : t (x) = = Löse nch uf: = 3 = 3 = 3 Nun können lle von x bhängigen Terme der zu integrierenden Funktion ersetzt werden durch Ausdrücke, die die neue Integrtionsvrible t enthlten.

2 8 Integrlrechnung Beispiel.8 Berechnen Sie ds Integrl /5 e 5x+. Lösung: Wir wenden die im Ksten ngegebene Substitution n. /5 e 5x+ = 3 e t 5 = [ ] 5 e t 3 = [ 5 e e 3] = e 3 5. Zur Vernschulichung skizzieren wir den Funktionsgrphen. Wir hben den Flächeninhlt des gruen Bereiches berechnet: Substituiere t = 5x + Dnn ist = 5 = 5. Substitution der Integrtionsgrenzen: Untere Integrtionsgrenze bzgl. x: x = = Untere Integrtionsgrenze bzgl. t: t = 5 ( ) + = 3. Obere Integrtionsgrenze bzgl. x: x = 5 = Obere Integrtionsgrenze bzgl. t: t = 5 ( 5) + =. Hinweise zum Verständnis Achten Sie druf, die Integrtionsgrenzen korrekt zu behndeln. Eine häufig gestellte Frge ist, wie mn die neuen Integrtionsgrenzen bzgl. der Vriblen t bestimmt. Wir hben ds im Ksten oben bereits demonstriert und wiederholen es noch einml: Wenn ds Integrtionsintervll bzgl. der Vriblen x llgemein ds Intervll [, b] ist (, b R), dnn lutet ds Integrtionsintervll bzgl. t immer [t(), t(b)]. In obigem Beispiel ist = und b = 5. Wir hben t = t(x) = 5x + substituiert, worus t() = t( ) = 5+ = 3 und t(b) = 5 ( 5) + = folgt. Ds neue Integrtionsintervll bzgl. t lutet dmit [t(), t(b)] = [ 3, ], d.h. 3 ist neue untere Integrtionsgrenze und ist neue obere Integrtionsgrenze. Forml führen wir bei Anwendung einer Substitution immer eine Koordintentrnsformtion durch, mit dem Ziel, eine leichter zu integrierende Funktion zu erhlten. In obigem Beispiel ht sich ergeben, dss /5 e 5x+ = d.h. nschulich gilt: 3 e t. 5

3 4 Integrlrechnung.4.3 Substitution zur Elimintion der Ableitung (EdA) - Teil Die Substitution zur Elimintion der Ableitung kommt uch in folgenden beiden Fällen zum Einstz, die eine Verllgemeinerung von Vrinte und Vrinte us Abschnitt.4. (S.) drstellen: Vrinte 3 Der Integrnd (= die zu integrierende Funktion) ist ein Produkt zweier Funktionen und der eine Fktor ist (ggf. bis uf einen konstnten Vorfktor) die Ableitung des nderen Fktors oder eines Teils des nderen Fktors. Forml ist ds zu lösende Integrl lso von folgender Form: g (x) f ( g(x) ). Fktor. Fktor In diesem Fll substituiere bzw. b g (x) f ( g(x) ) t = g(x) = = g (x) = g (x) In den Beispielen werden wir sehen, dss sich die Ableitung g (x) durch diese Substitution wie in den ersten beiden Fällen kürzen, d.h. eliminieren lässt, womit sich der Nme dieser Substitutionstechnik erklärt. Vrinte 4 Der Integrnd ist ein Quotient zweier Funktionen und im Zähler steht (ggf. bis uf einen konstnten Vorfktor) die Ableitung des Nenners oder eines Teils des Nenners. Forml: Zähler {}}{ g (x) f ( g(x) ) Nenner bzw. b g (x) f ( g(x) ) In diesem Fll substituiere wie bei Vrinte 3 t = g(x) = = g (x) = g (x) Auch hier wird die Ableitung g (x) durch diese Substitution eliminiert, ws in der Regel zu einem einfcher zu lösenden Integrl führt. Wir behndeln direkt klusurtypische Beispiele. Beispiel.6 Berechnen Sie folgende Integrle. ) c) e) g) π cos 4 x sin x = b) cos(x) = sin(x) d) x cos ( x = 4) f) cosh( x + 3) = x + 3 h) π x sin(4x ) = x 3 x 4 = e cos(3x) sin(3x) = x x 4 =

4 .4 Elementre Substitution 5 Lösung: ) π cos 4 x sin x Es liegt Vrinte 3 vor: Der Integrnd ist ein Produkt zweier Funktionen und sin x ist (bis uf den konstnten Fktor ) die Ableitung von cos x. Dher substituieren wir wie im Ksten rechts ngegeben t = cos x, so dss die Ableitung (genuer der sin x-term) eliminiert wird. π cos 4 x sin x = t 4 = 5 t5 = [( ) 5 5 5] = 5 Substituiere t = cos x Dnn ist = sin x = sin x. Substitution der Integrtionsgrenzen: Untere Integrtionsgrenze bzgl. x: x = = Untere Integrtionsgrenze bzgl. t: t = cos =. Obere Integrtionsgrenze bzgl. x: x = π = Obere Integrtionsgrenze bzgl. t: t = cos π =. b) x sin(4x ) Es liegt Vrinte 3 vor. Hier ist die zu integrierende Funktion ebenflls ein Produkt zweier Funktionen, wobei der erste Fktor (x) bis uf einen konstnten Fktor die Ableitung eines Teils des zweiten Fktors (nämlich von 4x ) ist. Die Ableitung von 4x ist 8x. Dbei ist 8 der ngesprochene konstnte Fktor, der sich uf die Integrtion nicht uswirkt, weil er vor ds Integrl gezogen werden knn, während der x-term wie gewünscht eliminiert wird. x sin(4x ) = x sin t 8x = 8 sin t = 8 cos t + C = 8 cos ( 4x ) + C Substituiere t = 4x Dnn ist = 8x = 8x. c) cos(x) sin(x) Es liegt Vrinte 4 vor, denn der Integrnd besteht us einem Quotienten, dessen Zähler (cos(x)) bis uf einen konstnten Fktor die Ableitung des Nenners sin x ist. Dher substituieren wir t = sin x. cos(x) sin(x) = cos(x) t cos(x) Substituiere t = sin(x). Dnn ist = cos(x) = cos(x). = t = ln t + C = ln sin(x) + C

5 .7 Prtielle Integrtion 4.7 Prtielle Integrtion Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Aufgbe 4. (S.3) Die prtielle Integrtion ist die Umkehrung der Produktregel. Es gilt: Stz.7: (Prtielle Integrtion - Formeln für bestimmte und unbestimmte Integrle) Prtielle Integrtion bei unbestimmten Integrlen: f(x) g (x) = f(x) g(x) f (x) g(x) (.5) Prtielle Integrtion bei bestimmten Integrlen: b f(x) g (x) = f(x) g(x) b b f (x) g(x) (.6) Im Rhmen der p.i. (prtiellen Integrtion) werden wir mit 4 Methoden rbeiten: Methode : Fktorelimintion Methode : Methode Phönix Methode 3: Versuch mcht klug Methode 4: Integrtion der Schem.8: (Die vier Methoden der prtiellen Integrtion) Methode Beschreibung Kurzbeispiel Ds folgende Schem gibt einen ersten Überblick über die Vorgehensweise bei den einzelnen Methoden. Fktorelimintion Ein Integrl, bei dem im Integrnden die n- te Potenz (n N) einer Funktion vorkommt, knn häufig vereinfcht werden, indem mn es durch prtielle Integrtion uf ein Integrl gleicher Struktur, jedoch mit kleinerem Exponenten zurückführt. Durch wiederholte Anwendung prtieller Integrtion bleibt schließlich ein Grundintegrl oder ein uf eine ndere, beknnte Weise lösbres Integrl übrig. In der Regel werden wir diese Methode bei Integrlen der Form x n h(x) nwenden und mit Hilfe (ein- oder mehrmliger) prtieller Integrtion den Exponenten von x n sukzessive verkleinern, bis ein leicht zu lösendes Integrl übrig bleibt. Im Rhmen der Fktorelimintion ist es wichtig, den zu eliminierenden Fktor gleich f zu setzen und den nderen Fktor gleich g. Dmit ist uch klr, dss diese Methode nur funktioniert, wenn sich der zweite Fktor (g ) leicht integrieren lässt, d wir uf der rechten Seite von (.5) die Stmmfunktion von g benötigen. Berechnen Sie x e 5x. Lösung: Der Exponent des ersten Fktors x lässt sich durch Ableiten reduzieren, so dss nch -mliger prtieller Integrtion (und dmit zweimligem Ableiten) ein konstnter Fktor übrig bleibt. Ferner ist e 5x mit Hilfe linerer Substitution leicht zu integrieren, so dss sich ls Integrtionstechnik prtielle Integrtion mit Fktorelimintion nbietet. Wir setzen dzu f(x) := x und g (x) = e 5x. Dmit gilt: p.i., LSub = = 5 e5x g e x e 5x =:f(x) x f p.i. = e5 5 [ 5 5 e5x g = e5 5 e =:g (x) x f x e 5x =:f =:g x =f e 5x 5 e5x g f = e5 5 e5 5 + e5 = 7e e5x g ]

6 .8 Integrtion rtionler Funktionen Prtilbruchzerlegung (PBZ) Schem.5: Schem zur Prtilbruchzerlegung einer rtionlen Funktion R(x) = P (x) Q(x) Fll : Flls der Grd des Zählerpolynoms P kleiner ls der Grd des Nennerpolynoms Q ist, gehe direkt zu Schritt. Schritt Schritt Fll : Flls der Grd des Zählerpolynoms P größer oder gleich dem Grd des Nennerpolynoms Q ist, führe zunächst eine Polynomdivision durch und erhlte die Drstellung R(x) = p(x) + P (x) Q(x), wobei p ein Polynom ist. Gehe zu Schritt mit R = P Q. Bestimme die Fktorisierung des Nennerpolynoms Q gemäß Stz.3 (S.47) und prllel dzu die Vielfchheit der reellen Nullstellen. Diesen Schritt hben wir usführlich in Abschnitt.8. (S.49) besprochen. Wähle den richtigen Anstz us der Tbelle.53 (S.66) zur Prtilbruchzerlegung in Abhängigkeit dvon, ob Q Schritt 3. einfche reelle Nullstellen und/oder. mehrfche reelle Nullstellen und/oder 3. einfche komplexe Nullstellen und/oder 4. mehrfche komplexe Nullstellen ht. Bestimme die Koeffizienten durch Schritt 4 Einsetzen der reellen Nullstellen bzw. beliebiger nderer Zhlen und/oder Koeffizientenvergleich. Bemerkung.5: In der nchfolgenden Tbelle wird die richtige Whl eines Anstzes für die PBZ einer rtionlen Funktion ngegeben. Die rtionle Funktion wird in Tbelle.53 ls R(x) = P (x) Q(x) bezeichnet. Flls jedoch bereits eine Polynomdivision gemäß Schem.5 (Schritt, Fll ) durchgeführt wurde, ist hiermit ntürlich ebenso die Funktion R(x) = P (x) Q(x) gemeint. Tbelle.5: Whl des Anstzes für die PBZ einer Funktion R(x) = P (x) Q(x) Fll Ds Nennerpolynom Q besitzt nur einfche reelle Nullstellen,,..., n R. Der Anstz ht dnn die Form: P (x) Q(x) = P (x) = A + B + + C, (x )(x )... (x n ) x x x }{{ n } Fktorisierung von Q Anstz mit den Konstnten A, B,..., C R. Beispiel: Für R(x) = 6x x + x 3 x die PBZ: R(x) = 6x x + x 3 x sind =, = und 3 = die Nullstellen des Nenners und dmit lutet der Anstz für = 6x x + x(x )(x + ) = A x + B x + C x +

7 .8 Integrtion rtionler Funktionen Lösen von Integrlen mit rtionlen Funktionen Wir betrchten ds Lösen von Integrlen mit rtionlen Funktionen direkt n klusurtypischen Beispielen. Weitere Aufgben dzu finden Sie im Übungsteil. Beispiel.56 Berechnen Sie folgende Integrle. ) c) e) g) 3 6x 3 x + x 3 x b) x 3 + 5x + 8x + x 4 6 d) ln e x + 7e x e x 6e x f) + 9 8x 3 + 8x x 4 + x x + Hinweis zu e): Substituieren Sie zunächst t = e x. x 3 + 3x x + x 4 x + 3 3x 3 x 3 x x + 7 x + 8 ( x ) 3 x + x Hinweis zu f): Substituieren Sie zunächst t = x bzw. t = x. Lösung: ) 3 6x 3 x + x 3 x Beim Integrnden hndelt es sich um eine rtionle Funktion gemäß Definition.44 (S.6). Dher ist zunächst eine Prtilbruchzerlegung durchzuführen, die wir in Beispiel.54 ) (S.67) bereits berechnet hben. Es ist 6x 3 x + x 3 x = 6 x + 3 x 3 x +. Dmit lässt sich die Berechnung des gesuchten Integrls reduzieren uf die Bestimmung der Integrle von Prtilbrüchen: 3 6x 3 x + x 3 x = = 3 3 ( 6 x + 3 x 3 6 =6x 3 =6 3 x + 3 ) x + 3 x 3 3 x + Tbelle. (S.) mit den Grundintegrlen bzw. den Integrtionsformeln für Prtilbrüche entnehmen wir: x x x + i8 = ln x 3 = ln 3 ln i8 = ln x 3 = ln ln = ln i8 = ln x + 3 = ln 4 ln 3

8 78 Integrlrechnung Endergebnis: 3 6x 3 x + x 3 x = 6 ( ln 3 ln ) + 3 ln 3 ( ln 4 ln 3 ) = 6 + ln ln 3 ln 4 b) x 3 + 3x x + x 4 x + Beim Integrnden hndelt es sich um eine rtionle Funktion. Dher ist zunächst eine Prtilbruchzerlegung durchzuführen, die wir in Beispiel.54 b) (S.67) bereits berechnet hben. Es ist x 3 + 3x x + x 4 x + = x + (x ) + (x + ). Die Berechnung des gesuchten Integrls reduziert sich uf die Bestimmung der Integrle von Prtilbrüchen: x 3 + 3x x + x 4 x = + x + (x ) + (x + ) Tbelle. (S.) mit den Grundintegrlen bzw. den Integrtionsformeln für Prtilbrüche entnehmen wir: i8 = ln x + C x i9 = (x ) x + C i9 = (x + ) x + + C x 3 + 3x x + Endergebnis: x 4 x = ln x + x x + + C c) x 3 + 5x + 8x + x 4 6 Der Integrnd ist eine rtionle Funktion, deren PBZ wir bereits in Beispiel.54 c) (S.67) berechnet hben. Es ist x 3 + 5x + 8x + x 4 6 = x + x + 4. Die Berechnung des gesuchten Integrls reduziert sich uf die Bestimmung der Integrle von Prtilbrüchen: x 3 + 5x + 8x + x 4 6 = Tbelle. (S.) entnehmen wir: i8 = ln x + C x i x = + 4 rctn x + C x 3 + 5x + 8x + Endergebnis: x 4 6 x + x + 4 = ln x + rctn x + C d) 3 3x 3 x 3 x x +

9 86 Integrlrechnung. Uneigentliche Integrle Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Aufgbe 4.4 (S.38) Definition.59: (Uneigentliches Integrl (n der oberen Grenze)) Es sei R, < b und f eine uf [, b) stetige Funktion. Dnn heißt b f(x) uneigentliches Integrl (n der oberen Grenze), flls ) b = b) oder lim x b f(x) =

10 88 Integrlrechnung Beispiel.6 Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrle existieren und berechnen Sie gegebenenflls ihren Wert. ) x (x b) ) 3 cosh x c) x d) sin( /x) x Anleitung zu b): Ersetzen Sie cosh x durch seine Definition und verwenden Sie nschließend die Substitution t = e x. Lösung: ) x (x ) 3 x Der Integrnd ist n der oberen Grenze nicht definiert bzw. es gilt lim =. Dher x (x ) 3 c x untersuchen wir zunächst ds Integrl (x ) 3. Mit Hilfe der Elimintion der Ableitung (EdA) folgt Substituiere t = x c x (x ) 3 EdA V4 = Dmit erhlten wir t(c) t() t 3 = t t(c) t() Drus folgt = x. c = (x ) = (c ) + x (x = lim ) 3 c c und somit ist ds uneigentliche Integrl divergent. = x x (x = lim ) 3 c (c ) + = b) cosh x Wegen der oberen Grenze ist ds Integrl uneigentlich. Wir untersuchen zunächst ds c Integrl cosh x. Mit Hilfe der Definition cosh x = ( e x + e x) und der ngegebenen Substitution erhlten wir c cosh x = = c e x + e x t(c) t() t + t t Substituiere t = e x Drus folgt = t t(c) = t() t + = rctn t t(c) = t() rctn(ex ) c = ex = t. Dmit erhlten wir = (rctn e c rctn ) = rctn e c π cosh x = lim c c cosh x = lim c rctn ec π = π π = π

11 3 Rottionskörper Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Kpitel behndelten Themen: Aufgbe 4.5 bis Aufgbe 4.8 (b Seite 43) 3. Vorbereitung: Bestimmung der Funktionsvorschrift von Rndkurven eines Integrtionsgebietes Um die nchfolgenden, vorbereitenden Abschnitte 3.. bis 3..3 etws lebendiger zu gestlten, setzen wir uns folgendes Ziel: Am Ende jedes Abschnitts soll ds Volumen eines Rottionskörpers berechnet werden, der die in dem jeweiligen Abschnitt behndelte Funktion ls Rndkurve enthält. Dbei mchen wir uns folgende Aussge zu Nutze: Stz 3.: (Volumen eines Rottionskörpers bzgl. der x-achse) Für ds Volumen V eines Rottionskörper, der durch Rottion der Fläche, die durch den Grphen der Funktion f über dem Intervll [, b], die x-achse und die beiden Gerden x = und x = b berndet wird, um die x-achse entsteht, gilt b V =π ( f(x) ) (3.) 97

12 98 3 Rottionskörper Hinweis zum Verständnis Integrieren können wir doch schon! Wrum gibt es noch so viele vorbereitende Abschnitte, um Formel (3.) nzuwenden? Wenn in der Aufgbenstellung die Funktion f, deren Grph die Fläche nch oben berndet, vorgegeben ist, wären in der Tt keine vorbereitenden Abschnitte mehr nötig. Denn dnn müsste mn f, und b j nur noch in die Formel einsetzen und eine Integrtion durchführen. Für den in der Skizze drgestellten Rottionskörper ergibt sich dnn beispielsweise gnz einfch Beispiel 3. V = π Berechnen Sie mit Hilfe der Integrlrechnung ds Volumen des Körpers, der durch Rottion der skizzierten Fläche um die x-achse entsteht. Die Fläche wird nch oben durch die ngegebenen beiden Prbelstücke und nch unten durch die x-achse begrenzt. 9 ( ) 9 x = π x = 8 π. Wenn Sie in der Lge sind, ds nchfolgende klusurtypische Beispiel ebenso schnell zu lösen, dürfen Sie die Abschnitte 3.. bis 3..3 überspringen. Andernflls sollten Sie sich diese zu Gemüte führen. Lösung: Für die Volumenberechnung verwenden wir Formel (3.). Offensichtlich ist = 3 und b = 3. Bei der Angbe von f(x) hben wir llerdings ein Problem, denn die Funktionsvorschrift ist diesml nicht ngegeben. Wir müssen sie dem skizzierten Grph entnehmen. Wie ds geht, lernen wir in den folgenden Abschnitten. Hinweis: Wir lösen diese Aufgbe in Beispiel 3.8 uf Seite Gerden Im Folgenden wird für uns die Zwei-Punkte-Form einer Gerden sehr nützlich sein, die wir stets in die Huptform umwndeln, um die Funktionsvorschrift der gesuchten Rndfunktion zu erhlten. Wir wiederholen noch einml die beiden gennnten Drstellungsformen: