Kurven-, Längen- und Flächenmessung

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1 Inhltsverzeichnis 6 Integrlrechnung 6. Einführung Unbestimmte Integrle Unbestimmte Integrle der Grundfunktionen Elementre Rechenregeln Prtielle Integrtion Integrtion durch Substitution Stmmfunktionen rtionler Funktionen Prtilbruchzerlegung Integrtion rtionler Funktionen Integrtion der Prtilbrüche Stmmfunktionen rtionler Ausdrücke Bestimmtes Integrl Eigenschften des bestimmten Integrls Substitution bei bestimmten Integrlen Uneigentliche Integrle Weitere uneigentliche Integrle Grenzen der Integrlrechnung Kurven-, Längen- und Flächenmessung 4 7. Prmeterdrstellung von Kurven im R Kurven in der Ebene in Polrdrstellung Tngente und Normle Berechnung der Länge einer ebenen Kurve Krümmung ebener Kurven Flächeninhlte Volumen und Mntelfläche von Rottionskörpern

2 Kpitel 7 Kurven-, Längen- und Flächenmessung Viele Aufgbenstellungen us der Kurven-, Längen- und Flächenmessung lssen sich mit Methoden der Differentil- und Integrlrechnung lösen. Bevor wir konkrete Aufgben behndeln, beschäftigen wir uns mit einer llgemeinen Möglichkeit zur Beschreibung ebener Kurven, d.h. Kurven im R. Beispiele: Kreis Ellipse Archimedische Spirle 7. Prmeterdrstellung von Kurven im R. Ist f : [, b] R eine Funktion, dnn ist G = {(x, f(x : x b} der Grph von f, d.h. die Menge ller Punkte (x, y R mit y = f(x. Problem: Schon eine einfcher Kreis ist kein Funktionsgrph. Anschuliche Vorstellung: Eine Kurve in der Ebene beschreibt die Bhn eines Mssenpunktes, der zum Zeitpunkt t den Ortsvektor ( x(t x(t = y(t besitzt. 7.. Definition (Prmeterdrstellung Die vektorwertige Funktion x(t = ( x(t, t b, y(t (bzw. die beiden Gleichungen x = x(t, y = y(t, t b heißt eine Prmeterdrstellung der Kurve K K = {(x(t, y(t : t [, b]}. 4

3 t heißt Prmeter, [, b] Prmeterintervll. 7.. Beispiel Die Gerde durch die Punkte (x, y, (x, y besitzt die Prmeterdrstellung bzw. (Vergleiche Kpitel linere Algebr x(t = x + t(x x, y(t = y + t(y y, t R x(t = ( x y + t ( x x y y, t R Beispiel Ist speziell f : [, b] R eine Funktion, so ht der Grph G die Prmeterdrstellung x(t = t, y(t = f(t, t [, b] Beispiel (Kreise Ein Kreis um (, mit Rdius r wird durch die Gleichung beschrieben. Eine mögliche Prmeterdrstellung ist Die Kurve beschreibt einen Kreis um (, mit Rdius r, d Eine ndere mögliche Prmeterdrstellung ist Die Kurve x + y = r x(t = r cos t, y(t = r sin t, t [, π]. K = {(x(t, y(t : x = r cos t, y = r sin t, t [, π]} (x(t + (y(t = r cos t + r sin t = r. x(t = r cos t, y(t = r sin t, t [, 4π ]. K = {(x(t, y(t : x = r cos t, y = r sin t, t [, 4π ]} beschreibt ebenflls einen Kreis um (, mit Rdius r, d (x(t + (y(t = r cos t + r sin t = r. Unterschied: Für gleiche Werte (gleiche Zeitpunkte t befindet sich der Mssenpunkt n verschiedenen Stellen des Kreises. Kurvenpunkte fuer Prmeterwerte: t =, π/, 4π/, 6π/,...π/. x = cos(t y = sin(t x = cos(t / y = sin(t / 4

4 b Ein Kreis um (x, y mit Rdius r wird durch die Gleichung (x x + (y y = r beschrieben. Eine mögliche Prmeterdrstellung ist 7..5 Beispiel (Ellipsen Eine Ursprungsellipse wird durch die Gleichung x(t = x + r cos t, y(t = y + r sin t, t [, π]. beschrieben. Eine mögliche Prmeterdrstellung ist x + y b = denn x(t = cos t, y(t = b sin t, t [, π], (x(t 7..6 Beispiel (Archimedische Spirle Gegeben ist die Prmeterdrstellung Die Kurve x(t = + (y(t b = cos t + sin t =. ( t cos t, t [, 6π]. t sin t K = {(x(t, y(t : x = t cos t, y = t sin t, t [, 6π]} beschreibt ein Stück der sogennnten Archimedischen Spirle Beispiel (Zykloide, Epizykloide Abrollen eines Kreises mit Rdius r uf der x Achse, ohne zu gleiten. Ein mit dem Kreis fest verbundener Punkt mit Abstnd vom Kreismittelpunkt beschreibt dbei eine sogennnte Zykolide (Rdkurve. Für diese gilt die Prmeterdrstellung x(t = rt sin t, y(t = r cos t, t <. b Abrollen eines Kreises ußen uf dem Rnd eines nderen Kreises mit Rdius R. Ein mit dem rollenden Kreis fest verbundener Punkt mit Abstnd vom Kreismittelpunkt beschreibt dbei eine sogennnte Epizykloide. Für diese gilt die Prmeterdrstellung ( ( R + r R + r x(t = (R + r sin t sin t, y(t = (R + r cos t cos t, t [, π]. r r Ist speziell = r = R, so erhält mn die Crdioide (Herzlinie. Zykloide (r =, = Crdioide 43

5 7. Kurven in der Ebene in Polrdrstellung P x y r ϕ Die Lge eines Punktes in der Ebene lässt sich uch durch den Abstnd r vom Ursprung und den mit der positiven x-achse eingeschlossenen Winkel ϕ, d.h. durch Angbe der Polrkoordinten (r, ϕ beschreiben. Der Winkel ϕ ist nicht eindeutig. Für jedes k Z beschreibt (r, ϕ + kπ denselben Punkt in der Ebene. Ist ϕ ] π, π], so spricht mn vom Huptwert des Winkels. Für den Ursprung ist r = und ϕ beliebig. 7.. Bemerkung Die Umrechnung von Polrkoordinten in krtesische Koordinten erfolgt über die Gleichungen x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Für die Umrechnung von krtesischen Koordinten in Polrkoordinten gilt: r = x + y (Pythgors, tn ϕ = sin ϕ cos ϕ = y, für x. x Die Winkelbestimmung ist bhängig vom Qudrnten rctn y x flls x > π ϕ = flls x =, y > π + rctn y x flls x < π flls x =, y < 7.. Definition Die Spitze eines um den Ursprung (, rotierenden Zeigers, der in Abhängigkeit vom Winkel ϕ seine Länge verändert, beschreibt eine Kurve K. Die Polrkoordinten der Kurvenpunkte sind r = r(ϕ heißt Polrdrstellung der Kurve. (ϕ, r(ϕ, α ϕ β Bemerkung Eine Prmeterdrstellung r = r(ϕ, α ϕ β der Kurve K ist x(ϕ = r(ϕ cos ϕ, y(ϕ = r(ϕ sin ϕ mit dem Prmeter ϕ, α ϕ β Beispiel (Kreis r(ϕ = R mit einer Konstnten R > beschreibt einen Kreis um (, mit Rdius R Beispiel (Ellipse Die Ellipse x(t = cos t, y(t = b sin t besitzt in Polrkoordinten die Drstellung (flls b r(ϕ = / ( b b sin ϕ 44

6 Hier gilt nämlich: Verwende: tn ϕ = y(t x(t = b tn t, r(t = cos t + b sin t tn ϕ = sin t = ( b tn t = ( b sin t sin t tn ϕ b + tn ϕ = sin ϕ b cos ϕ + sin ϕ. Eingesetzt in r(t ergibt sich mit cos t = sin t: r(ϕ = = = + (b 7..6 Beispiel (Archimedische Spirle r(ϕ = ϕ. Eine zugehörige Prmeterdrstellung ist sin ϕ b + ( b sin ϕ sin ϕ sin ϕ b /(b ( / b b sin ϕ x(ϕ = ϕ cos ϕ, y(ϕ = ϕ sin ϕ, d.h. r(ϕ = ϕ ist die Polrdrstellung der Archimedischen Spirle. 7.3 Tngente und Normle Grenzwerte und Ableitungen vektorwertiger Funktionen werden komponentenweise erklärt, d.h. ist x(t = ( x(t y(t Prmeterdrstellung einer ebenen Kurve, so ist ( lim x(t lim x(t = t t t t lim y(t t t und x(t = d (ẋ(t dt x(t = ẏ(t 7.3. Bemerkung Ableitungen nch dem Kurvenprmeter t werden immer durch einen Punkt bezeichnet, lso ẋ(t = dx dt etc. Anschulich: Beschreibt x(t die Bhnkurve eines Mssenpunktes in Abhängigkeit von der Zeit t, so ist x(t die Geschwindigkeit zur Zeit t, die zweite Ableitung x die Beschleunigung zur Zeit t Beispiel (Ellipse Für einen Mssenpunkt, der sich zur Zeit t uf einer Ellipsenbhn x(t = ( cos t, t < π, b sin t 45

7 befindet, beträgt die Geschwindigkeit Der Betrg der Geschwindigkeit ist ( sin t x(t =. b cos t x(t = ẋ(t + ẏ(t = sin t + b cos t und die Beschleunigung ( cos t x(t = b sin t Geschwindigkeitsvektoren sind Tngentilvektoren ( hier: Ellipse Die Gerde durch die Kurvenpunkte (x(t, y(t, (x(t + h, y(t + h besitzt die Drstellung (s. Beispiel 7.. ( ( x(t x(t + h x(t x(λ = + λ, λ R, y(t y(t + h y(t oder, äquivlent, x(λ = Für h ergibt sich die Tngente: ( x(t + λ y(t ( x(t+h x(t h y(t +h y(t h, λ R Bemerkung Die Prmeterdrstellung für die Tngente n die Kurve im Punkt (x(t, y(t lutet T t (λ = x(t + λ x(t = ( x(t + λẋ(t, y(t + λẏ(t die Prmeterdrstellung der Normlen der Kurve im Punkt (x(t, y(t ( ( ẏ(t x(t λẏ(t N t (λ = x(t + λ =, ẋ(t y(t + λẋ(t mit dem Gerdenprmeter λ R Definition Für x(t ist T (t = x(t x(t = x(t (ẋ(t ẏ(t 46

8 der Tngenteneinheitsvektor (in positiver Richtung im Kurvenpunkt (x(t, y(t, N(t = ( ẏ(t x(t ( T ẋ(t (t der zugehörige Normleneinheitsvektor. Er steht senkrecht uf dem Tngentenvektor Definition Eine Prmeterdrstellung x(t, y(t, t b einer Kurve heißt regulär, wenn Beispiel (Ellipse Für x(t = ( cos t b sin t, t < π ist die Gleichung der Tngenten und x(t für lle t [, b]. ( ( cos t sin t T t (λ = + λ b sin t b cos t ( ( cos t b cos t N t (λ = + λ b sin t sin t die Gleichung der Normlen im Ellipsenpunkt (x(t, y(t. Z.B. für t =, d.h. m Kurvenpunkt (x(, y( = (, : ( ( T (λ = + λ, N (λ = b Weiter existiert x(t und es gilt x(t für lle t, lso hndelt es sich um eine reguläre Prmetrisierung. ( + λ Bemerkung Zum Umschreiben der Prmeterdrstellung der Tngentengleichung in die Normlform nehmen wir uf beiden Seiten von ( ( (ẋ(t x x(t = + λ y y(t ẏ(t ( ẏ(t ds innere Produkt mit dem Normlenvektor. Dies ergibt ẋ(t Für ẋ(t folgt ( b x ẏ(t + y ẋ(t = x(t ẏ(t + y(t ẋ(t. y = ẏ(t ẋ(t x + y(t x(t ẏ(t ẋ(t Die Steigung der Tngenten beträgt somit y (t = ẏ(t ẋ(t Beispiel (Steigung der Tngente n die Ellipse Mit x(t = cos t, y(t = b sin t folgt für die Tngentensteigung y (t im Ellipsenpunkt (x(t, y(t : Umrechnung in krtesische Koordinten ergibt y (t = ẏ(t ẋ(t = b cos t sin t, t kπ y = b x/ y/b = b x y, y. 47

9 7.4 Berechnung der Länge einer ebenen Kurve 7.4. Stz Die Länge eines Kurvenstücks mit regulärer Prmeterdrstellung x(t = ( x(t y(t, t b beträgt L = b b Ist f C [, b], so ht der Grph von f die Länge ẋ(t b + ẏ(t dt = x(t dt L = b + [f (x] dx c Die Länge eines Kurvenstücks in Polrkoordintendrstellung r(ϕ, α ϕ β, beträgt β ( dr(ϕ L = r(ϕ + α zu : Mn zerlegt ds Prmeterintevll [, b] in n äquidistnte Teilintervlle [t i, t i ], i =,,..., n mit = t < t <... < t n = b, t i t i = t. Die Länge einer Sehne beträgt s i = ( x i + ( y i mit x i = x(t i x(t i, y i = y(t i y(t i Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung existieren ξ i, η i [t i, t i ] mit x i = ẋ(ξ i t, y i = ẏ(η i t d.h. s i = ẋ(ξ i + ẏ(η i t Approximtion der Kurvenlänge durch die Summe über die Sehnenlängen liefert n ẋ(ξi L + ẏ(η i t Der Grenzübergng t liefert dnn die gewünschte Kurvenlänge L = i= b ẋ(t + ẏ(t dt zu b: folgt us, d x(t = t, y(t = f(t reguläre Prmetrisierung der Kurve y = f(x ist, und dnn ist ẋ(t =, ẏ(t = f (t. 48

10 zu c: folgt us, d die zugehörige Prmeterdrstellung durch x(ϕ = ( r(ϕ cos ϕ r(ϕ sin ϕ gegeben ist. Denn dnn ist lso 7.4. Beispiel Crdioide: Sei Dnn gilt und somit ẋ(ϕ = cos ϕ dr(ϕ r(ϕ sin ϕ, ẏ(ϕ = sin ϕdr(ϕ + r(ϕ cos ϕ ( dr(ϕ (ẋ(ϕ + (ẏ(ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ r(ϕ dr(ϕ + sin ϕ(r(ϕ ( dr(ϕ + sin ϕ + sin ϕ cos ϕ r(ϕ dr(ϕ + cos ϕ(r(ϕ ( dr(ϕ = (r(ϕ (sin ϕ + cos ϕ + (sin ϕ + cos ϕ ( dr(ϕ = (r(ϕ +. x(t = sin t sin (t, y(t = cos t cos (t, t π. ẋ(t = cos t cos(t, ẏ(t = sin t + sin(t (ẋ(t + (ẏ(t = 4 ( cos t cos t cos (t + cos (t + 4 ( sin t sin t sin(t + sin (t Somit ist die Bogenlänge = 8 8 cos t cos (t 8 sin t sin (t (Trig. Pythgors: sin α + cos α = = 8 8 cos t( sin t 8 sin t( sin t cos t (Additionstheoreme für sin (t, cos (t = 8 8 cos t = 6( cos (t/ (Additionstheorem: cos (t = cos (t/. L = = 4 = 4 = 4 π π π π ẋ(t + ẏ(t dt cos (t/ dt sin (t/ dt sin (t/ dt = 8 cos(t/ π = 6 b Der Bogen der Normlprbel y = x über dem Intervll [, x ], x >, ht die Länge L = x x + (x dx = + 4x dx 49

11 Berechnung der Stmmfunktion von + 4x. Nötige Substitutionen: t = x, x = t/, dt = dx v = rsinh t = ln (t + t +, t = sinh v, t + = cosh v dt = cosh vdv + 4x dx = + t dt = (cosh v dv = (e v + e v dv 4 = (e v + + e v dv 8 = 8 ( ev + v e v + C = 4 (ev + e v (e v e v + 4 v + C = 4 cosh v sinh v + 4 v + C = 4 t + t + 4 ln(t + t + + C = x + 4x + 4 ln (x + + 4x + C Dmit folgt L = x + 4x + ln (x + x + 4x = ( x + 4x + ln x + + 4x c Archimedische Spirle mit r(ϕ = ϕ, dr(ϕ =. Die Bogenlänge nch k Umläufen, d.h. ϕ k π beträgt L = k π ϕ Krümmung ebener Kurven = ϕ + ϕ + ln ( ϕ + + ϕ kπ = kπ + (kπ + ln ( kπ + + (kπ Anschulich: Fährt mn einen Weg entlng, so merkt mn m Einschlg des Lenkrds, ob eine Kurve stärker oder schwächer gekrümmt ist, und ob es sich um eine Links- oder Rechtskurve hndelt Definition Die Krümmung κ in einem Kurvenpunkt (x, y ist die Änderung des Neigungswinkels der Tngente bezogen uf die Bogenlänge des zugehörigen Kurvenstücks: κ = dα ds = lim α s s, 5

12 (wenn der Grenzwert existiert α 4 P α 3 s Q α Stz (Krümmung bei Prmeterdrstellung Für eine Kurve in Prmeterdrstellung gilt für die Krümmung im Punkt (x(t, y(t: Zum Beweis berechnen wir dα ds ls dα dt dt ds κ = κ(t = ẋ(tÿ(t ẏ(tẍ(t (ẋ(t + ẏ(t 3/. Dbei ist α = rctn(ẏ(t/ẋ(t, lso dα dt = ẋ(tÿ(t ẏ(tẍ(t ẋ(tÿ(t ẏ(tẍ(t + (ẏ(t/ẋ(t ẋ(t = ẋ(t + ẏ(t. Für die Bogenlänge ist s(t = t ẋ(u + ẏ(u du, lso nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ds dt = ẋ(t + ẏ(t = dt ds = ẋ(t + ẏ(t. Dmit ergibt sich die behuptete Formel für dα ds = dα dt dt ds Definition Punkte einer Kurve, in denen die Krümmung ein reltives Extremum ht, heißen Scheitel Beispiel (Ellipse Für die Prmetrisierung x(t = cos t, y(t = b sin t gilt ẋ(t = sin t, ẍ(t = cos t ẏ(t = b cos t ÿ(t = b sin t 5

13 Dmit gilt für die Krümmung κ(t = = = ( sin t( b sin t b cos t( cos t ( sin t + b cos t 3/ b(sin t + cos t ( sin t + b cos t 3/ b ( sin t + b cos t 3/ Ist speziell = b = R (Kreis mit Rdius R, dnn ist κ(t = R (R sin t + R cos t 3/ = R. In einem Kreis ist die Krümmung lso in jedem Punkt gleich groß. Mit wchsendem Rdius wird die Krümmung kleiner. Beides entspricht der Anschuung. Wir berechnen noch die Scheitel der Ellipse: κ(t = 3b( b sin t cos t ( sin t + b cos t 5/ κ(t = 3b( b [ sin t( + 3 cos t b cos t( + 3 sin t] ( sin t + b cos t 7/ D κ(t = t = k π (, k Z und κ k π liegen die Scheitel bei t = k π, k Z. Die Krümmungen dort betrgen κ(kπ = ( π b κ + kπ = b, k Z Stz (Krümmung bei krtesischen Koordinten Sei y = f(x, f C [, b]. Dnn ist die Krümmung im Punkt (x, f(x des Grphen von f gegeben durch κ(x = y ( + (y 3/ Außerdem gilt: κ(x > f (x > -Linkskrümmung (zunehmende α Werte κ(x < f (x < -Rechtskrümmung (bnehmende α Werte Der Beweis ergibt sich us Stz 7.5. unter Verwendung der Prmeterdrstellung x = t, y = f(t für den Grphen von f Beispiel (Krümmung der Sinuskurve f(x = sin x, f (x = cos x, f (x = sin x sin x = κ(x = ( + cos x 3/ Für x ], π[ ist κ(x <, lso Rechtskrümmung, für x ]π, π[ ist κ(x >, lso Linkskrümmung. Scheitel: dκ dx = cos x( + sin x ( + cos x 3 5

14 Somit ist dκ(x dx = cos x = x = (k + π, k Z. D d κ(x d x ((k + π, hndelt es sich um reltive Extremlstellen von κ(x. Die Scheitel befinden sich lso n den Stellen x = (k + π, k Z Stz (Krümmung bei Polrdrstellung Für eine Kurve in Polrdrstellung r(ϕ gilt für die Krümmung im Kurvenpunkt (ϕ, r(ϕ: κ(ϕ = r(ϕ + ṙ(ϕ r(ϕ r(ϕ (ṙ(ϕ + r(ϕ 3/. Der Beweis geht wieder durch Rückführung uf Stz 7.5., diesml mit t = ϕ, x(t = r(t cos t, y(t = r(t sin t Beispiel (Archimedische Spirle Es sei r(ϕ = ϕ, ϕ, die Polrdrstellung der rchimedischen Spirle. Dnn gilt für die Krümmung Aus κ(ϕ = ϕ + ( + ϕ 3/ κ(ϕ = ϕ(4 + ϕ < flls ϕ >, ( + ϕ 5/ fogt, dss die Krümmung mit wchsendem Winkel bnimmt. Es gibt lso keine Scheitel. 7.6 Flächeninhlte 7.6. Stz (Fläche zwischen zwei Grphen Seien f, g C[, b]. Der Inhlt der von y = f(x, y = g(x, x = und x = b berndeten Fläche beträgt F = b f(x g(x dx Beispiel Die Fläche zwischen f(x = 4 x und g(x = x über dem Intervll [, 4] beträgt 4 F = 4 x x dx 4 = ( x 4 x dx = 4 3 x3/ = x Stz (Sektorflächen in Polrkoordinten Gegeben sei eine Kurve r(ϕ in Polrdrstellung mit r C[α, β], wobei jeder vom Ursprung usgehende Strhl in Richtung des rotierenden Zeigers die Kurve nur einml schneiden drf. Dnn ist der Inhlt der von der Kurve r(ϕ und ϕ = α, ϕ = β berndeten Sektorfläche F = β α r(ϕ 53

15 Beweis: Teile den Winkelbereich [α, β] in äquidistnte Teilintervlle [ϕ i, ϕ i ], i =,..., n mit α = ϕ < ϕ < < ϕ n = β, ϕ = ϕ i ϕ i. Näherungsweise entspricht der Flächeninhlt der Sektorfläche zwischen den Winkeln ϕ i und ϕ i dem Flächeninhlt eines Kreissektors mit Rdius r(ϕ i, d.h. ϕ π r(ϕ i π = r(ϕ i ϕ Summtion über lle Sektoren liefert ls Näherung für den Flächeninhlt F n r(ϕ i ϕ Mit dem Grenzübergng ϕ ergibt sich dnn die behuptete Formel Beispiel (Archimedische Spirle Sektorfläche nch einem Umluf, d.h. r(ϕ = ϕ, ϕ π. i= F = π = 6 ϕ3 π ϕ = 4 3 π3 b Sektorfläche nch zwei Umläufen, d. h. r(ϕ = ϕ, ϕ 4π

16 Hier ist nun Vorsicht geboten, d der vom Ursprung usgehende Strhl in Richtung des rotierenden Zeigers die Kurve nicht nur einml schneidet. Um die Formel verwenden zu können, muss mn hier den Winkelbereich π ϕ 4π betrchten und erhält F = 4π π = 6 ϕ3 4π = 8 3 π3 π ϕ Stz (Sektorflächen in Prmeterdrstellung Sei x(t, t b eine stückweise stetig differenzierbre Prmeterdrstellung eines ebenen Kurvenstücks, wobei jeder Strhl vom Ursprung ds Kurvenstück höchstens einml schneidet. Dnn beträgt der Inhlt der durch ds Kurvenstück begrenzten Sektorfläche F = b (x(tẏ(t y(tẋ(t dt Beweis: Sei α = ϕ(, β = ϕ(b.. Fll: α < β: Dnn ist nch Stz Mit der Substitution ϕ = rctn(x(t/y(t, F = β α r(ϕ. dt = ẋ(ty(t x(tẏ(t ẋ(ty(t x(tẏ(t + (x(t/y(t y(t = x(t + y(t erhält mn F = = b b (x(t + y(t (x(tẏ(t y(tẋ(t dt ẋ(ty(t x(tẏ(t x(t + y(t dt. Fll: α β: Mn erhält diesml F = b (x(tẏ(t y(tẋ(t dt. Beide Fälle zusmmengefsst ergibt die Formel mit dem Betrg Beispiel (Flächeninhlt der Ellipse Der Flächeninhlt einer Ellipse mit der Prmeterdrstellung x(t = ( cos t b sin t, t π,, b > beträgt F = π (b cos t + b sin t dt = π b dt = bπ 55

17 7.7 Volumen und Mntelfl che von Rottionsko rpern 7.7. Beispiel (zwei Rottionsko rper y= x y = cos(x Stz Sei f C[, b]. Ds Volumen des durch Rottion des Kurvenstu cks y = f (x, x [, b] um die x-achse entstehenden Ko rpers betr gt Z b V =π f (x dx Beweis: Zerlegt mn ds Intervll [, b] in quidistnte Teilintervlle [xi i, xi ], i =,..., n, der L nge x = xi xi, so ist die Summe u ber den Inhlt der Zylinder mit Rdius f (xi und Ho he x eine N herung fu r ds gesuchte Volumen des Rottionsko rpers. Es gilt lso n X V πf (xi x i= Der Grenzu bergng x liefert die behuptete Formel Beispiel (Volumen eines Kegelstumpfs Fu r R, R, h > sei f (x = R R x + R. Durch Rottion von y = f (x um die x-achse entsteht ein h Kegelstumpf

18 Für sein Volumen ergibt sich h ( R R V = π x + R dx h h = π ( 3 R R h x + R R R 3 h h = π R R 3 (R3 R Stz Sei f C [, b]. Die Mntelfläche des durch Rottion des Kurvenstücks y = f(x, x b enstehenden Körpers beträgt Beweis: M = π b f(x + f (x dx Mn nähert ds Kurvenstück durch einen rotierenden Sekntenzug n (den Rottionskörper lso durch eine Zusmmensetzung von Kegelstümpfen. Es gilt dnn für die zugehörige Mntelfläche M = = n π ( x + (f(x i f(x i ( f(x i + f(x i i= n π ( x + f (ξ i ( x ( f(x i + f(x i i= (Mittelwertstz der Differentilrechnung n π + f (ξ i ( f(x i + f(x i x i= Der Grenzübergng x liefert die behuptete Formel Beispiel (Mntelfläche eines Prboloids Sei f(x = x. Dnn ist f (x =. Die zugehörige Mntelfläche mit x beträgt x M = π = π x + 4x dx 4x + dx = π 4 3 (4x

19 = π 6 ( = 3 3 π