10 Integrationstechniken

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1 Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion Sei I R ein beliebiges, ber von nun n festes Intervll, und sei [F ] := {F + c c C} die Äquivlenzklsse von F : I C, wie in Kpitel 9.3. Wir definieren [F ] + [G] := [F + G] () λ[f ] := [λf ] () [F ] := F (b) F (). () b Diese Opertionen sind wohldefiniert, d.h. unbhängig von der Whl der Repräsentnten. Lemm... Die unbestimmte Integrtion : C(I) C (I)/

2 und die Evlution sind liner. b : C (I)/ C Auf Grund der Definitionen (), (), () und Lemm.. drf mn beim Integrieren ohne Gefhr mit Repräsentnten F sttt mit Klssen [F ] rechnen, solnge mn sich bewusst bleibt, dss = nur Gleichheit modulo eine Konstnte bedeutet..3 Prtielle Integrtion Theorem.3.. Sind f, g C (I), I R ein Intervll, dnn gilt fg d = fg f g d, und für, b I Beispiele. b fg d = fg b b. Für jedes λ C\{} gilt e e λ λ d = eλ λ λ f g d. d = eλ λ eλ λ, wobei die Pfeile und nzeigen welcher Fktor differenziert und welcher integriert wird.. log d = 3. Sei n N, n. Dnn (cos ) n d = log d = log (cos ) n cos d d = log. = (cos ) n sin + (n )(cos ) n (sin ) d. Wegen sin = cos tritt rechts wieder ds gesuchte Integrl (cos ) n d uf, ber nun mit dem Vorfktor n. Wir können nch (cos ) n d uflösen und erhlten (cos ) n d = n (cos )n sin + n (cos ) n d. n Insbesondere gilt für, b (π/)z, b (cos ) n d = n n b (cos ) n d. (3)

3 3 Als Anwendung von (3) bekommt mn die Wllis sche Produktdrstellung von π, π = lim 4 4 (n)(n) n (n )(n + ), (4) welche wir zum Beweis der Stirlingschen Formel und bei der Untersuchung der Gmmfunktion verwenden werden. Einen Beweis von (4) findet mn z.b. in Forster, Anlysis. Theorem.3. (Tylorsche Formel mit Integrlrestglied). Sei f C n+ ([, b], C). Dnn gilt n f (k) () f(b) = (b ) k + b (b ) n f (n+) () d. k! n! k=.4 Substitution Theorem.4.. Sei f : I C stetig und ϕ : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn gilt f(ϕ())ϕ () d = f(u) du und b f(ϕ())ϕ () d = ϕ(b) ϕ() u=ϕ() f(u) du. Diese Substitutionsregeln lssen sich in beide Richtungen lesen, von links nch rechts und von rechts nch links. Als Merkregel zur unbestimmten Integrtion nch Theorem.4., gelesen von links nch rechts (bzw. von rechts nch links), notieren wir die Schritte:. Substituiere forml u = ϕ() und du = ϕ ()d.. Integriere unbestimmt nch u (bzw. nch ). 3. Drücke u durch us (bzw. durch u). Zur bestimmten Integrtion verfhren wir nch:. Substituiere forml u = ϕ() und du = ϕ ()d.. Ersetze die Integrtionsgrenzen ϕ() und b ϕ(b) (bzw umgekehrt). 3. Integriere bestimmt. Beispiele.. Zur Berechnung von (log ) d substituieren wir u = log, du = d und erhlten (log ) d = u du = u=log u = u=log log.

4 4. Zur Berechnung von u du mchen wir die Substitution u = sin, du = (cos )d (Substitutionsregel von rechts nch links lesen), und erhlten π/ u du = (sin ) (cos )d = π/ π/ (cos ) d = d = π 4, wobei wir noch (3) benutzt hben. Die neuen Integrtionsgrenzen sind so zu bestimmen, dss sie durch sin uf die lten Grenzen und bgebildet werden. Die Whl von und π/ ht den Vorteil, dss (sin ) = cos = cos uf [, π/]..5 Prtilbruchzerlegung Ein Polynom p() = n n + n n heißt normiert, wenn n =. Ds konstnte Polynom p() = mit = heißt Nullpolynom. Den Grd eine Polynoms p werden wir mit Grd(p) bezeichnen. Stz.5.. Sei p ein normiertes Polynom vom Grd n. Dnn gibt es n bis uf Nummerierung eindeutig bestimmte komplee Zhlen ξ,..., ξ n, so dss p() = n ( ξ k ). k= Lemm.5.. Für jedes Pr von Polynomen p, q, beide verschieden vom Nullpolynom, gilt Grd(pq) = Grd(p) + Grd(q). Vielfchheit einer Nullstelle. Tritt der Linerfktor ( ξ) in der Zerlegung p() = n ( ξ k ) genu m ml uf, so nennt mn ξ eine m-fche Nullstelle von p. k= Stz.5.3. Ist q ein reelles Polynom und ξ C eine m-fche Nullstelle von q, dnn ist uch ξ eine m-fche Nullstelle von q.

5 5 Stz.5.4. Jedes normierte reelle Polynom q besitzt eine, bis uf die Reihenfolge der Fktoren eindeutige Drstellung wobei k q() = ( α k ) m k k= j j= ( β j + γ j ) n j, () α k R, k =,..., k, prweise verschieden sind, (b) prweise verschiedene Fktoren ( β j + γ j ) keine gemeinsmen Nullstellen hben, (c) die Diskriminnten β j γ j negtiv sind. Theorem.5.5. Sei p/q eine reelle rtionle Funktion mit normiertem Nennerpolynom q, und sei Grd(p) < Grd(q). Dnn gibt es eine eindeutige Drstellung von p/q ls Summe von Prtilbrüchen bestehend us folgenden Summnden: Für jeden Fktor ( α) m der Zerlegung von q nch Stz.5.4 gibt es m Summnden A ( α) + A ( α) A m ( α) m, und für jeden Fktor ( β + γ) n gibt es n Summnden B + C ( β + γ) + B + C ( β + γ) B n + C n ( β + γ) n. Wenn Grd(p) Grd(q), entgegen den Vorussetzungen von Theorem.5.5, dnn muss zuerst eine Division mit Rest durchgeführt werden. Stz.5.6. Seien p, q zwei Polynome wobei q. Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Drstellung p = bq + r mit Polynomen b und r, wobei Grd(r) < Grd(q). Stz.5.7. Sei p/q eine rtionle Funktion und sei α R eine einfche Nullstelle von q, d.h., p q = p ( α)q, q (α). Dnn ist der Koeffizient A des Prtilbruchs A/( α) gegeben durch A = p(α) q (α).

6 6.6 Integrtion von Prtilbrüchen Nch Kpitel. gilt A ( α) d = m Zur Integrtion von schreiben wir diese Funktion ls Summe B A log α m = A m >. m ( α) m B + C ( β + γ) m β ( β + γ) m + (C + Bβ) ( β + γ) m. Erster Summnd: Die Substitution u = β + γ, du = ( β)d liefert log( β ( β + γ) d = m u du β + γ) m = m = u= β+γ m >. m ( β + γ) m Zweiter Summnd: Es gilt β + γ = ( β) + λ, wobei λ = γ β > nch Stz.5.4 (c). Also wobei und llgemein, für m, ( β + γ) = m I = I m+ = mλ (u + λ ) du }{{ m } I m u + λ du = λ rctn(u λ ) Zum Beweis dieser Formel integrieren wir prtiell I m = du = (u + λ ) m Nun muss mn nur noch nch I m+ uflösen. ( = u= β ) u (u + λ ) + (m )I m m u (u + λ ) m + m u u (u + λ ) u (u + λ ) m + m(i m λ I m+ ). m+ du

7 7.7 Weitere elementr integrierbre Funktionen R(u) bezeichne eine rtionle Funktion einer Vriblen, R(u, v) eine rtionle Funktion von zwei Vriblen. Die folgenden Beispiele hndeln von unbestimmten Integrlen, welche nch einer geeigneten Substitution zu Integrlen einer rtionlen Funktion werden. Zur Berechnung von R(e )d mchen wir die Substitution u = e, bzw. = log u, d = u du. Es folgt R(e )d = R(u) u u=e du. Anlog gilt R(cosh, sinh )d = ( R (u + u ), ) (u u ) u du u=e. Wegen folgt Zur Berechnung von R(cos, sin )d mchen wir die Substitution sin = u = tn(/). u u, cos = + u + u, d = + u du, R(cos, sin )d = ( ) u R + u, u + u + u du. Allerdings lssen sich die wichtigen Spezilfälle (cos ) m (sin ) n d, m, n Z, wo m oder n ungerde ist, leichter wie folgt integrieren: Ist z.b. m = k +, dnn gilt (cos ) m = ( sin ) k cos. Also führt u = sin, du = (cos )d uf (cos ) m (sin ) n d = ( u ) k u n du. u=sin

8 8 Approimtive Integrtion Lässt sich die Stmmfunktion einer integrierbren Funktion f nicht elementr berechnen, wie z.b. im Fll f() = e, dnn knn mn zur Berechnung bestimmter Integrle uf pproimtive Methoden usweichen. Wir behndeln die Trpez- und die Simpsonsche Regel. Die Trpezregel findet uch im Beweis der Stirlingschen Formel Anwendung.. Trpezregel Sei f : [, b] R stetig und sei {,..., n } die Stndrdprtition k := + kh, h := b, k =,..., n. n Wir pproimieren b f()d durch eine Summe von Trpezflächen n T n (f) = = h k= h( f(k ) + f( k ) ) ( f() n + k= ) f( k ) + f(b). T n (f) ist ds Integrl der Funktion deren Grph der Streckenzug durch die Punkte (, f()), (, f( ))... (b, f(b)) ist. Um die Genuigkeit dieser Approimtion zu beurteilen benötigen wir ds folgende Lemm. Lemm... Sei f : [, ] R zwei ml stetig differenzierbr. Dnn gilt f() d = f() + f() ( )f () d, wobei ( )f () d sup f (). Stz.. (Trpezregel). Sei f : [, b] R zwei ml stetig differenzierbr. Dnn gilt b f() d T n (f) (b )3 sup f (). n Bemerkung. Verdoppelung von n verkleinert die Fehlerschrnke um den Fktor 4.. Simpsonsche Regel Wir teilen [, b] nun in eine gerde Zhl n von Teilintervllen [ k, k ], wobei k := + kh, h := b, k =,..., n, n

9 9 wie im letzten Kpitel, und wir pproimieren f uf den Doppelintervllen [, ], [, 4 ],... durch Polynome p k zweiten Grdes, welche durch p k ( l ) = f( l ), für l = k, k, k +, bestimmt sind. Auf diese Weise bekommen wir k+ p k ()d = h ( ) f( k ) + 4f( k ) + f( k+ ) k 3 ls Approimtion für k+ k n S n (f) := k=,ung. f()d. Wir setzten dher h( f(k ) + 4f( k ) + f( k+ ) ) 3 = h 3 ( f( ) + 4f( ) + f( ) + 4f( 3 ) f( n ) ). Um die Genuigkeit der Approimtion S n (f) für b fd zu beurteilen benötigen wir: Lemm... Sei f : [, ] R vier ml stetig differenzierbr. Dnn gilt f()d = ( ) f( ) + 4f() + f() + f (4) ()ψ()d, 3 wobei ψ() = ( 4 )4 + ( 8 )3 und f (4) ()ψ()d 9 sup f (4) (). Theorem.. (Simpsonsche Regel). Sei f : [, b] R vier ml stetig differenzierbr und sei n eine gerde ntürliche Zhl. Dnn gilt b f()d S n (f) (b )5 sup f (4) (). 8n 4 Bemerkung. Verdoppelung von n verkleinert die Fehlerschrnke um den Fktor 6. Beispiel. Wir benutzen log = d und die Simpsonsche Regel um eine numerische Approimtion für log zu bekommen. Mit f() = / und n = 4 wird S 4 = = ( f() + 4f(5/4) + f(6/4) + 4f(7/4) + f() ) ( ) Wegen f (4) () = 4/ 5 ist sup [,] f (4) () = 4. Also gilt nch Theorem.. log S = 9.

10 .3 Stirlingsche Formel Theorem.3.. Für lle n gilt ( n ) n ( n ) n πn < n! πn e /n. e e Nch diesem Theorem gilt n! ( n ) n πn e mit einen reltiven Fehler der kleiner ls e /n /n ist. Dieses Resultt gibt eine gute Vorstellung dvon wie sich n! für große n verhält und findet Anwendung z.b. in der sttistischen Mechnik. Die Schrnken us Theorem.3. gelten ber für lle n, und die obere Schrnke ist für kleine n verblüffend nhe n n!: n n! πn (n/e) n e /n