3 Uneigentliche Integrale

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1 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =, dss die rechts eingezeichnete sich über die gnze positive -Achse erstreckende Fläche, die endliche Gesmtfläche ht. Diese geometrische Betrchtungsweise ist in Anwendungen ber eher selten von Nutzen. Für die Aussge die Funktion f ist uneigentlich Riemn integrierbr sind noch einige ndere Umschreibungen üblich. Mn spricht oft uch dvon ds ds frgliche Riemn Integrl eistiert, oder ds es konvergiert. All dies sind nur lterntive Umschreibungen unserer Definition. Wir wollen noch ein weiteres Beispiel eines uneigentlichen Integrls besprechen, nämlich ds Integrl d α für beliebige Eponenten α R. Wir wollen wissen wnn dieses Integrl eistiert. Für jedes hben wir nun t = α α t α = ( ) α α für α und t = ln für α =. Ws nun heruskommt hängt vom Wert von α b. Ist α <, so hben wir α > und ( ) α ( = α ) =. α α Im Fll α = ist ln =. Ist schließlich α >, lso α >, so ist α = = = α -

2 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 und somit ( ) α = α α. Lssen wir wie bei Funktionsgrenzwerten uch ± ls Grenzwerte zu, so zeigt diese Rechnung { d =, α >, α α, α, und insbesondere konveriert ds uneigentliche Integrl genu dnn wenn α > ist. Ntürlich knn es uch pssieren, ds es überhupt keinen Grenzwert f() d gibt, etw bei cos d. Ds Integrl knn llerdings eistieren selbst wenn nicht f() = ist. Zum Beispiel eistiert ds sogennnte Fresnel Integrl sin( 2 ) d = π 2 2. Produkt und Substitutionsregel gelten entsprechend uch für uneigentliche Integrle, mn muss bei der Produktregel u ()v() d = u()v() u()v () d nur den ersten Summnden ls u()v() := u()v() u()v() lesen. Wir kommen nun zur zweiten Sorte uneigentlicher Integrle, bei denen zwr über ein beschränktes Intervll integriert wird, der Integrnd ber unbeschränkt und in einem der Rndpunkte des Intervlls gr nicht definiert ist. Definition 3.2: Seien, b R mit < b und sei f : [, b) R eine Funktion. Dnn heißt die Funktion f über [, b) uneigentlich Riemn integrierbr, wenn f für jedes < < b über [, ] integrierbr ist, und der Grenzwert f() d := b f(t) eistiert. Dieser wird dnn ls ds uneigentliche Riemn Integrl bezeichnet. Anlog wird f() d für Funktionen f : (, b] R definiert. Nehmen wir ls ein Beispiel wieder einml d α mit einem Eponenten α R. Ist dbei α, so ist einfch d = α d = α α α = α -2

3 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 ein gnz normles Riemn Integrl. Nun kommen wir zum Fll α >. Für jedes < < ist dnn t = α α t α = ( ) α α im Fll α und im Fll α =. Ist α <, so ist α ( α t = ln ) α = α = α. Im Fll α = ist ( ln ) = und für α > hben wir ( ) =. α α Dmit ist { d =, α <, α α, α. Wir wollen noch ein zweites, etws komplizierteres Beispiel rechnen, ds Integrl ln cos d. Wir htten in 2 ds unbestimmte Integrl ln cos d = ln sin Si() berechnet, wobei Si() der Integrlsinus ist. Dmit ist ln cos d = ln t cos t = Si(π) + Si() ln sin = Si(π) ( ln ) sin = Si(π), Wir hben bisher ds uneigentliche Riemn Integrl definiert, wenn einer der Rndpunkte des Integrtionsintervlls ± ist, oder der Integrnd in einem der Rndpunkte gr nicht mehr definiert ist. Bei der dritten Vrinte uneigentlicher Integrle ist der Integrnd in beiden Rndpunkten nicht definiert oder diese Rndpunkte sind ±. Um nicht zu viele Fälle unterscheiden zu müssen, erinnern wir uns n die im letzten Semester eingeführte Nottion R = R {, }. -3

4 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 Definition 3.3: Seien, b R mit < b. Wähle irgendein c R zwischen und b, d.h. < c < b. Dnn heißt eine Funktion f : (, b) R über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr wenn f über (, c] und über [c, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. In diesem Fll nennen wir f() d := c f() d + c f() d ds uneigentliche Riemn Integrl von f über (, b). Dieser Wert ist dnn unbhängig vom speziell gewählten c. Anders gesgt ist f() d = c f(t) + b c f(t). Die beiden Grenzwerte müssen hier einzeln gebildet werden, zum Beispiel reicht die Eistenz von f(t) nicht us, um die Eistenz von f(t) zu begründen. Ein erstes Beispiel dieser beidseitig uneigentlichen Integrle ist d + = 2 + t t 2 = rctn() rctn() + rctn() rctn() Arcus Tngens Nun ist rctn() =. Die beiden Arcustngens Grenzwerte kennen wir uch, Sie müssen sich nur n den Grphen des Arcustngens erinnern wobei die gestrichelten Linien bei y = ±π/2 verlufen. Somit sind rctn = π/2, rctn = π/2, und wir hben insgesmt d ( + = π ) + π = π. Ein zweites Beispiel ist ds uneigentliche Integrl d = 2 t 2 + t 2 = rcsin() rcsin() + rcsin rcsin() = π -4

5 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 d rcsin() =, rcsin( ) = π/2 und rcsin() = π/2 sind. Wissen wir bereits, dss eine Funktion f über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist, so können wir den Grenzwert uch simultn bilden, lso oben zum Beispiel d + 2 = + t 2 = 2 rctn = π rechnen. Dies funktioniert nicht wenn f überhupt nicht integrierbr ist, zum Beispiel konvergiert d nicht obwohl t 2 t = 2 = gilt. Die üblichen Rechenregeln für Integrle gelten uch für lle Sorten uneigentlicher Integrle, und uch für Substitutionen bei denen bei Substitution der Grenzen verschiedene Sorten uneigentlicher Integrle uftuchen. Substituieren wir beispielsweise im Integrl für den Wert = e t, so ist und wir hben lso Si(π) = ln cos d = Si(π) d = e t = d = e t ln cos d = cos(e )e d = Si(π). t cos(e t )e t Jetzt können wir uch noch prtiell integrieren, mit u() = sin(e ) ist u () = e cos(e ), lso Si(π) = cos(e )e d = sin(e ) + sin(e ) d. Wegen ist dmit sin e = e sin(e ) e sin(e ) d = Si(π). = e sin = Bisher hben wir nur uneigentliche Integrle behndelt, bei denen wir eine Stmmfunktion knnten, und mit dieser die frglichen Grenzwerte direkt usrechnen konnten. -5

6 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 Oft ht mn ber uneigentliche Integrle, die mn nicht so direkt berechnen knn, von denen mn ber trotzdem zumindest wissen möchte ob sie überhupt konvergieren. Beispiele sind unbestimmte Integrle wie e 2 d oder cos + 2 d. Die Sitution ist hier sehr ähnlich zu den Reihen n= n, bei denen wir oft uch nur die Konvergenz nchweisen konnten, ohne einen Grenzwert usrechnen zu können. Bei Reihen htten wir verschiedene Methoden dies zu tun, etws ds Wurzelkriterium, ds Quotientenkriterium oder ds Mjorntenkriterium. Für die Konvergenz von Integrlen gibt es nur noch ein Mjorntenkriterium, und um dieses einzuführen definieren wir erst einml die bsolute Konvergenz uneigentlicher Integrle. Definition 3.4: Seien, b R mit < b. Eine Funktion f : (, b) R heißt über (, b) bsolut Riemn integrierbr, wenn f über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. Wie für Reihen impliziert bsolute Konvergenz uch die gewöhnliche Konvergenz, der ekte Stz ht nur noch eine kleine Nebenbedingung, die bei uns immer erfüllt sein wird, wir bruchen ds die Funktion über lle Teilintervlle [, b] des Definitionsbereichs Riemn integrierbr ist. Funktionen die dies nicht erfüllen kommen bei uns sowieso nicht vor. Stz 3. (Mjorntenkriterium) Seien, b R mit < b und sei f : (, b) R eine Funktion, die über jedes Intervll [u, v] mit < u < v < b Riemn integrierbr ist. Dnn gelten: () Ist f : (, b) R bsolut integrierbr, so ist f uch integrierbr und es gilt f() d f() d. (b) Ist g : (, b) R uneigentlich Riemn integrierbr und gilt f() g() für lle (, b) so ist uch f bsolut integrierbr. Teil (b) ist hier ds eigentliche Mjorntenkriterium. Wir wenden dies einml uf unser uneigentliches Integrl cos + d 2 n. Für lle R ist wegen cos stets cos + 2 +, 2 und d wir bereits wissen, dss d/( + 2 ) konvergiert, und dmit ntürlich uch bsolut konvergiert, konvergiert uch cos + d 2-6

7 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 bsolut. Ds Mjorntenkriterium Stz.(b) ist ttsächlich die wichtigste Technik die Konvergenz uneigentlicher Integrle nchzuweisen bei denen mn nicht direkt eine Stmmfunktion des Integrnden ht. Wie bei Reihen sind keinesflls lle uneigentlich Riemn integrierbren Funktionen uch bsolut integrierbr, zum Beispiel sind die Integrle sin d und sin( 2 ) d konvergent ber nicht bsolut konvergent. Wir wollen diesen Abschnitt mit zwei weiteren Beispielen bsolut konvergenter uneigentlicher Integrle beenden. Ds erste Beispiel ist im wesentlichen die Gußsche Glockenkurve f() = e 2, die Ihnen im Zusmmenhng mit der Normlverteilung beknnt sein sollte. D e 2 eine gerde Funktion ist, reicht es die Konvergenz von e 2 d nchzuweisen, und weiter reicht es sogr e 2 d zu betrchten. Für ist nun 2 lso e 2 e. D wir bereits wissen, dss e d bsolut konvergiert, ist dmit uch e 2 d bsolut konvergent. Insgesmt ist dmit ds uneigentliche Integrl e 2 d konvergent. Als ein etws komplizierteres Beispiel wollen wir noch ds Integrl t e t besprechen, wobei > eine reelle Zhl ist. Hier hben wir ein beidseitiges uneigentliches Integrl, d t = e ( ) ln t in t = nicht mehr definiert ist, zumindest für <. -7

8 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 Strten wir uf der rechten Seite. Zunächst wählen wir eine ntürliche Zhl n N mit n +, lso t t n für t. Weiter ist und somit gibt es ein t mit Für t t ist dnn uch und somit konvergiert t t tn e 2 t t n = =, t et/2 t n e 2 t für t t. t e t t n e 2 t e 2 t e 2 t t e t t e 2 t = 2e 2 t. Es verbleibt der link Teil des Integrtionsbereichs. Hier verwenden wir und d wir bereits wissen, dss t e t t = t, t t wegen < konvergiert, konvergiert uch t t e t. Insgesmt hben wir dmit die Konvergenz von t e t für > eingesehen. 4 Prmetrisierte Integrle Dieses Kpitel wird der letzte Abschnitt zur Integrtionstheorie sein. Wir wollen hier Integrle behndeln, bei denen der Integrnd neben der Integrtionsvriblen noch ndere freie Vriblen, eben sogennnte Prmter enthält. Beispielsweise ds m Ende des letzten Kpitels behndelte Integrl t e t. Hier ist t die Integrtionsvrible und ds ist ein solcher Prmeter. Es gibt im wesentlichen zwei Hupttypen von Prmetern, entweder hndelt es sich wie im obigen Beispiel um reelle Zhlen, oder um ntürliche Zhlen. Wir beginnen mit dem einfchereren Fll von Prmetern n N, den sogennnten Funktionenfolgen. -8

9 Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg Funktionenfolgen Definition 4.: Seien M, N zwei Mengen. Eine Funktionenfolge von Abbildungen von M nch N ist eine Folge (f n ) n N = f, f 2, f 3,... wobei f n : M N für jedes n N eine Abbildung von M nch N ist. Anders gesgt ist eine Funktionenfolge einfch eine Folge von Funktionen, die lle zwischen denselben Mengen M und N definiert sind. Bei uns wird immer N = R sein, wir hben lso Folgen reellwertiger Funktionen, und zunächst ist uch M eine Teilmenge von R, meist ein Intervll. Einige Beispiele von Funktionenfolgen sind f n () := ne n, f n () := ( +, f n() := sin(n), f 2n n () := + ) n n lles ls Funktionen von R nch R. Bei derrtigen durch Formeln gegebenen Funktionen bedeutet Funktionenfolge lso einfch, dss in der Funktionsgleichung ein Prmeter n N uftucht. Wir wollen uch so etws wie eine Konvergenz von Funktionenfolgen hben, und der einfchste derrtige Konvergenzbegriff ist die sogennnte punktweise Konvergenz. Definition 4.2: Seien I R ein Intervll und f n : I R (n N) eine Funktionfolge. Dnn konvergiert die Folge (f n ) n N punktweise gegen eine Funktion f : I R wenn für jedes I gilt. f() = n f n () Wir nennen die Funktion f dnn uch den punktweisen Grenzwert oder die punktweise Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gelegentlich spricht mn uch verkürzend einfch von der Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gehen wir die obigen Beispiele einml durch. Ws ist n ne n? Im Fll > ist dies klr, der Eponentilterm e n geht sehr viel schneller gegen ls ds Polynom n gegen unendlich geht, und somit ist n ne n =. Ist dgegen, lso e n und ne n n für lle n N, so ist n ne n = nicht konvergent. Als Abbildungen von R nch R ist diese Funktionenfolge lso nicht punktweise konvergent. Auf (, ) konvergiet sie dgegen punktweise gegen. -9