Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

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1 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke

2 Vorwort Häufig wird konsttiert, dss vielen Schülerinnen und Schülern beim Übergng von der Sek. I zur Sek. II grundlegendes mthemtisches Wissen und Können fehlt. Diese Defizite können nur ddurch usgeglichen werden, indem ds Elementre der einzelnen Gegenstände herusgefiltert und erneut durchdcht wird. Um die dem Vergessen nheim gefllenen Inhlte zu wiederholen, bedrf es eines Unterrichtsmterils, dss verschiedenen Ansprüchen genügt. Eine Wiederholung im Sinne einer Übung zur Automtisierung von (vielleicht nie verstndenen) mthemtischen Verfhrensweisen reicht nicht us. Auch Übungen zur Trnsfersteigerung und Qulitätssteigerung müssen in den Anfngsunterricht der. Jhrgngsstufe eingebettet werden. Hierbei drf nicht vergessen werden, den Schülerinnen und Schülern Erfolge zu ermöglichen, um sie so zu weiterem Lernen zu motivieren. Die Drstellung der Inhlte in kleinen Schritten, um Aufgben- und Lösungsbeispiele ergänzt, können hierzu verhelfen. Dieser Reder ist im Rhmen einer schriftlichen Husrbeit zur zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen entstnden. Er beschäftigt sich mit usgewählten Inhlten us der Sek. I, deren Beherrschung eine unblässige Vorussetzung für die erfolgreiche Absolvierung der Oberstufenmthemtik ist. Der Reder knn für Schülerinnen und Schüler: ein Hilfsmittel zur eigenständigen Wiederholung eben jener Themen sein. ls ein über die Einführungsphse (Wiederholungsphse) hinusgehendes Nchschlgewerk genutzt werden. für den Unterricht: ls Grundlge dieser Phse benutzt werden mit einer Reihe von Einstzmöglichkeiten (u.. ls Bsis für ein Gruppenpuzzle ). für Lehrerinnen und Lehrer: ein breites Fundment für die Wiederholungsphse sein mit vielfältigen Aufgben- und Einstzvritionen. Für Kolleginnen und Kollegen us der Sek. I knn der Reder einen Anhltspunkt für ds drstellen, ws Schülerinnen und Schüler beim Übergng in die Sek. II in Mthemtik wissen und können sollten. Für Rückmeldungen, Ergänzungs- und Verbesserungsvorschlägen bin ich sehr dnkbr. Bremerhven, im Jnur 003 Andres Rschke Für Erläuterungen zu dieser Unterrichtsmethode siehe: Frey, Krl/Frey-Eiling, Angelik: Gruppenpuzzle; in: Prxis Schule 5-0, H., S. 67ff; 998.

3 Inhltsverzeichnis Kpitel Seite I. Grundlgen... I. Grundrechenrten... I. Bruchrechnung... 3 I.3 Potenzrechnung... 6 II. Binomische Formeln... 9 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie... III. Stz des Pythgors... III. Trigonometrie... IV. Funktionen und ihre Grphen... 6 V. Linere Funktionen... 0 VI. Qudrtische Gleichungen... 7 VII. Qudrtische Funktionen... 3

4 I. Grundlgen I. Grundlgen Übersicht über ds Kpitel Als Grundlgen werden hier die Grundrechenrten sowie die Bruchrechnung und Potenzrechnung bezeichnet. In fst llen Bereichen des Lebens müssen uf der Grundlge dieser Rechenopertionen Entscheidungen getroffen werden. Ohne eine sichere Beherrschung der Bezeichnungen und Rechenverfhren ist eine Teilnhme n der Oberstufenmthemtik nicht möglich. In diesem Kpitel knnst Du lernen: etws über die Bedeutung des Gleichheitszeichens in der Mthemtik, ws die vier Grundrechenrten sind, ws deren Gemeinsmkeiten und Unterschiede sind, ws ein Term ist, ws ein Bruch und sein Kehrwert ist, wie mn einen Bruch erweitert und kürzt, wie Brüche ddiert, subtrhiert, multipliziert und dividiert werden, ws eine Potenz ist und wie mit Potenzen gerechnet wird. Informtionen, Beispiele und Aufgben: I. Grundrechenrten Als Grundrechenrten werden die vier Rechenrten ) Addition ( Zusmmenzählen ) ) Subtrktion ( Abziehen ) 3) Multipliktion ( Mlnehmen ) 4) Division ( Teilen ) bezeichnet. Informtion : Gleichheit Ds Gleichheitszeichen = spielt in der Mthemtik eine fundmentle Rolle. Wenn zwei mthemtische Objekte A und B (z. B. Zhlen, Winkel, Punkte, Gerden,...) durch ein Gleichheitszeichen miteinnder verbunden werden (A=B), so will mn hierdurch zum Ausdruck bringen (ussgen), dss A durch B und B durch A ersetzt werden knn, ohne dss sich n dem Whrheitsgehlt der Aussge etws ändert. Ds links von dem Gleichheitszeichen stehende wird mit dem verglichen, ws rechts dvon steht. Kommt bei diesem Vergleich herus, dss mn die beiden Objekte nicht voneinnder unterscheiden knn, so ist die Aussge whr. Unterscheiden sich die Objekte, ist die Aussge nicht whr. Beispiel : ) Die Aussge = ist whr. b) Die Aussge Die Summe der Winkel in einem Dreieck = 80 ist ebenflls whr. c) Die Aussge = 3 ist nicht whr. Diese Feststellung wird mit einem durchgestrichenen Gleichheitszeichen ( ; lies: ungleich ) drgestellt: 3. Informtion : Addition Wenn zwei Zhlen ddiert werden, wird dies durch ds Rechenzeichen + (plus) gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Summnden gennnt. Ds Ergebnis wird ls Summe bezeichnet.

5 I. Grundlgen Beispiel : + = 3 Summnd Rechenzeichen Summnd gleich Summe Aufgben:. Berechne die Summe im Kopf. ) + 3 = b) = c) + 3 +b = d) 0,75 +,34 + 3,5 =. Vriiere die obigen Aufgben, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest. Informtion 3: Subtrktion Wenn zwei Zhlen subtrhiert werden, wird dies durch ds Rechenzeichen - (minus) gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Minuend bzw. Subtrhend gennnt. Ds Ergebnis wird ls Differenz bezeichnet. Beispiel 3: 5 = 3 Minuend Rechenzeichen Subtrhend gleich Differenz Aufgben:. Berechne die Differenz im Kopf. ) 3 = b) = c) 3 b = d) 0,399,34 3,5 = Vergleiche diese Aufgben mit denen us dem vorherigen Abschnitt. Beschreibe die Gemeinsmkeiten und die Unterschiede.. Vriiere die obigen Aufgben, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest. Informtion 4: Multipliktion Wenn zwei Zhlen multipliziert werden, wird dies durch ds Rechenzeichen (ml) gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Fktoren gennnt. Ds Ergebnis wird ls Produkt bezeichnet. Beispiel 4: = Fktor Rechenzeichen Fktor gleich Produkt Aufgben:. Berechne ds Produkt im Kopf. ) 65 3 = b) 0,8 4 = c) 0,4 5 = d) 8 b =

6 I. Grundlgen 3. Vriiere die obigen Aufgben, in dem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest. Informtion 5: Division Wenn zwei Zhlen dividiert werden, wird dies durch ds Rechenzeichen : (geteilt durch) gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Dividend bzw. Divisor gennnt. Ds Ergebnis wird ls Quotient bezeichnet. Beispiel 5: : = 0,5 Dividend Rechenzeichen Divisor gleich Quotient Aufgben:. Berechne den Quotienten im Kopf. ) 65 : 3 = b) 0,8 : 4 = c) 0,4 : 5 : = d) 8 : : b = Vergleiche diese Aufgben mit denen us dem vorherigen Abschnitt. Beschreibe die Gemeinsmkeiten und die Unterschiede.. Vriiere die obigen Aufgben, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest. Zusmmenfssung : Rechenrt Rechenzeichen rechnen Ergebnis Zusmmensetzung des Ergebnisses Addition + (plus) ddieren Summe Summnd+Summnd Subtrktion - (minus) subtrhieren Differenz Minuend-Subtrhend Multipliktion (ml) multiplizieren Produkt Fktor Fktor Division : (geteilt durch) dividieren Quotient Dividend:Divisor I. Bruchrechnung Terme (terminus (lt.): Ausdruck): Zhlen, Vriblen und deren rechnerische Verknüpfung nennt mn Terme. Z. B.,, +x, x:y. Informtionen: Wenn ein Term durch einen nderen Term geteilt wird, knn mn dies uch durch einen Bruch drstellen. Zähler ) Bruch:, wobei b,! ; Nenner 0. b Nenner Zähler 3 Zähler v Zähler w Zähler Beispiel: ; ; ; 3 Nenner Nenner w Nenner v Nenner ( ) ( ) Aufgbe: Vergleiche die Brüche us dem Beispiel miteinnder. Ws stellst Du fest? Die Tbelle ist entnommen us: Schülerduden Die Mthemtik /hrsg. u. berb. von Meyers Lexikonred.; Mnnheim, Wien, Zürich 990 (S. 7).

7 I. Grundlgen 4 b) Der Kehrwert von b ist b und es ist b ( wobei, b 0) b = Beispiel: Der Kehrwert von 3 ist 3. 3 = 3 = 6 = v ist ( w ) w v Der Kehrwert von ( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w v w v w = = = w v w v v w c) Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zhl multiplizieren: = c b b c Beispiel: = 4 = v 4 4 v = w 4 4 w ( ) ( ) : c d) Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zhl dividieren: = b b: c Beispiel: 8:4 = ; 5 7 7: = = = FALSCH IST: = = : : e) Brüche werden miteinnder multipliziert, indem die Zähler miteinnder multipliziert werden und die Nenner miteinnder multipliziert werden: c = c b d b d Beispiel: = = f) Durch einen Bruch wird dividiert, indem mn mit seinem Kehrwert multipliziert: c d : = b = b d c b c d Beispiel: : 3 = = = = = g) Brüche dürfen nur dnn ddiert (subtrhiert) werden, wenn die Nenner gleich sind. Flls dies nicht der Fll ist, muss mn sie durch erweitern oder kürzen gleichnmig mchen. Brüche mit gleichen Nennern werden ddiert (subtrhiert), indem die Zähler ddiert (subtrhiert) werden c d bc d + bc und der Nenner beibehlten wird: + = + = ; b d bd bd bd c d bc d bc = =. b d bd bd bd Beispiel: + = + = + =

8 I. Grundlgen 5 Aufgben:. Berechne: ) + 5 ; b) v w 4 : ; c) ; d) : ; e) ( v w ) ( v w ) w w 3 6. Vereinfche: 4x 8x ) ; b) b ; c) 4x b + b ; d) + c c d b d e f e ( d f ) b d e d 3. Die zerstrittene Erbengemeinschft Die Eheleute E. und G. sind Eigentümer eines Husgrundstücks mit 4 Wohnungen. Sie entschließen sich im Dezember 999 Wohnungseigentum zu bilden. Die Aufteilung erfolgt in:. Miteigentumsnteil n dem Grundstück und Sondereigentum n drei Wohnungen Miteigentumsnteil n dem Grundstück und Sondereigentum n einer Wohnung. Die Eheleute E. und G. schenken ihrem Sohn S den 3 Miteigentumsnteil durch notriellen Vertrg; sie selbst bleiben Eigentümer des Miteigentumsnteils, und zwr zu je der Hälfte. 3 Im Oktober 00 verstirbt E. ohne Hinterlssung eines Testments. E. wird gesetzlich beerbt von seiner Fru G. zur Hälfte, vom Sohn S, vom Sohn S und von der Tochter T zu gleichen Anteilen. In der Folge entschließt sich Sohn S seinen Erbteil m Nchlss seines Vters vollständig n seinen Bruder S zu verkufen. Vor dem beurkundenden Notr wird sodnn ein Erbteilsübertrgungsvertrg gezeichnet. Im Jnur 00 verstirbt plötzlich die Witwe G.. G. ht ebenflls kein Testment hinterlssen und wird vom Sohn S, vom Sohn S und der Tochter T zu gleichen Anteilen beerbt. Die Erben S, S und T sind völlig zerstritten. Diverse Versuche, den Nchlss der Mutter einvernehmlich zu teilen sind gescheitert. Drufhin entschließt sich S zunächst die Aufhebung der Erbengemeinschft n dem Miteigentumsnteil im Wege der Zwngsversteigerung 3 nzustrengen und beuftrgt seinen Rechtsnwlt mit den notwendigen Schritten. Der Rechtsnwlt ist leicht verzweifelt. Wie sind die Anteile der Kinder S, S und T m Wohnungseigentum zu beziffern; ) n dem 3 Miteigentumsnteil? b) n der Gesmtheit der Gemeinschft?

9 I. Grundlgen 6 Historische Informtion: Die ältesten gemeinen Brüche findet mn in ägyptischen Texten, die bis uf die Zeit um 000 v. Chr. zurückgehen. Die Ägypter knnten nur den Bruch und die Stmmbrüche. Alle nderen 3 Brüche setzten sie us Stmmbrüchen dditiv zusmmen. Dbei wurde der Stmmbruch ( n > ) mit dem Zeichen für die Zhl n und einem drüber gesetzten ( Mund oder Teil ) n geschrieben. Beispiele: Die Addition und Subtrktion geschh nch Bildung des gemeinsmen Nenners. Beispiel: Der Bruch wurde durch die Addition von 4 Stmmbrüchen drgestellt. In Hieroglyphen 60 geschrieben sähe ds folgendermßen us: Mit unseren Ziffern geschrieben: Die im ägyptischen Text [...] geschriebenen Hilfszhlen unter den Stmmbrüchen,,, sind die Zähler, wenn mn lle Brüche uf den gemeinsmen Nenner 60 bringt. Addiert mn die Hilfszhlen, so erhält mn ls Summe der 4 Brüche 60. [...] Leonrdo von Pis schrieb ls erster in der zweiten Ausgbe des Liber bcus (8) zwischen Zähler und Nenner den Bruchstrich. [...] Eine Vereinheitlichung erfolgte erst zur Zeit der Erfindung der Buchdruckerkunst, so dß unsere heutige Schreibweise der gemeinen Brüche erst seit Ende des 5. Jhrhunderts llgemein verwendet wurde. 3 Aufgben:. Notiere fünf beliebige Stmmbrüche.. Vollziehe die obige Rechnung nch. 3 Diese Informtion ist entnommen us: Popp, W: Geschichte der Mthemtik im Unterricht; München 968 (S. 3, 4).

10 I. Grundlgen 7 I. 3 Potenzrechnung Informtion: n Ein Term der Form (lies: hoch n ) heißt Potenz, genuer n-te Potenz von. Dbei heißt n Hochzhl oder Exponent und Grundzhl oder Bsis der Potenz. Es ist n = "#$#%... nfktoren 4 Beispiel: 3 = 3333 "#$#% = 8 4 Fktoren. Rechenregel (gleiche Bsen): Potenzen mit gleicher Bsis werden multipliziert, indem mn die Exponenten ddiert und die Bsis beibehält. m n m n = Beispiel: 3 3 = "#$#% & = 3 = 3 4 Fktoren 3 Fktoren "##$##% 7Fktoren Aufgbe: Entwickle eine Rechenregel für die Division von Potenzen mit gleicher Bsis. Lösung: m m n m n : = = n Beispiel: 7 :7 = = 7 = Rechenregel: Eine Potenz wird potenziert, indem mn die Exponenten multipliziert und die Bsis beibehält. m ( ) n m n = 4 4 Beispiel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = "#$#% = = "#$#% "#$#% "#$#% "#$#% = "#######$#######% Fktoren 3 Fktoren 3 Fktoren 3 Fktoren 3 Fktoren Fktoren 3. Rechenregel (gleiche Exponenten): Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem mn die Bsen multipliziert (dividiert) und die Exponenten beibehält. ( ) n n n b = b Beispiel: 8 5 = = = ( 8 5) ( 8 5) = ( 8 5) n n = = n n n : b b b Beispiel: 9 : = = 3 Folgende Festsetzungen werden getroffen: n 0 0 n n 0 = wobei 0, denn = = = = Bemerkung :0 ist nicht definiert. n = = ; = ; mit 0 n Allgemein: = n

11 I. Grundlgen 8 3 Beispiel: 4 = 3 4 Für nicht-negtive Bsen mit rtionlen Exponenten wird erklärt: n m n n = (lies: n-te Wurzel us ) n m = (lies: n-te Wurzel us hoch m) Beispiel: 6 6; ; = = = = Merke: Aufgben 4 : Potenzrechnung geht vor Punktrechnung. Punktrechnung geht vor Strichrechnung.. Berechne (ohne und mit Tschenrechner): ) ; ( 5 ) ;3 ;( ) b) ; 0 ;, ; 3 c) ( ) ( ) d) 4 5 ; ; ; ; 8 ; 04 ; e) 43 ; ; 3 ; Vereinfche, ohne uszurechnen: ) ; ; ; b) ; ; ( ) 7 ; 3 5 (( ) ) 7 3. Schreibe ohne Wurzelzeichen mit einer ntürlichen Zhl ls Bsis und berechne: ( ) ; ; Berechne ohne Tschenrechner und notiere die Rechenschritte: ( ) ; 49 ; 6 5. Vereinfche und schreibe mit positiven Exponenten: c ; v w 4 Die Aufgben sind entnommen us: Böer, H.: Triningsprogrmm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S.0).

12 II. Binomische Formeln 9 II. Binomische Formeln Übersicht über ds Kpitel In diesem Kpitel stehen die binomischen Formeln im Mittelpunkt (Binom: zweigliedrige Summe). Sie treten häufig bei den qudrtischen Gleichungen uf, ber uch in nderen Themengebieten der Oberstufenmthemtik. Mit ihnen ht mn die Möglichkeit, ein Produkt in eine Summe umzuwndeln, oder umgekehrt, eine Summe in ein Produkt. Ds Umformen einer Summe in ein Produkt nennt mn uch Fktorisieren. In diesem Kpitel knnst Du lernen: wie mn Summen multipliziert, ws binomische Formeln sind und wie sie us der Anschuung hergeleitet werden, wie mn Terme mit Hilfe der binomischen Formeln umformt und berechnet. Informtionen, Beispiele und Aufgben: Multipliktion von Summen Zwei Summen werden miteinnder multipliziert, indem jeder Summnd der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe multipliziert wird und die Produkte ddiert werden. + d + = d + + d + = d + + d + 4 Beispiel: ( ) ( ) Aufgbe: Vriiere ds Beispiel, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest (setze uch negtive Zhlen ein).. Binomische Formel Gegeben ist ein Qudrt mit der Seitenlänge und dem Flächeninhlt (vgl. Abb. unten). Durch Verlängern von um b entsteht ein neues Qudrt. Wie groß ist der Flächeninhlt des so entstndenen Qudrtes? b b b Offensichtlich ist die Länge einer Seite ( + b). Dnn berechnet sich der Flächeninhlt us ( + b) ( b) +. Aufgbe: Berechne dieses Produkt, indem Du die Klmmern uflöst. ( + b) ( + b) knn mn uch ls ( b) + schreiben. Also ist ( ) + b = + b+ b. Dies ist die erste binomische Formel. b ( ) + 3b = + 3b+ 3 b = 4 + b+ 9b Beispiel: Aufgben:. Berechne mit Hilfe der ersten binomischen Formel: ) ( x + ) ; ( 3 + b) ; ( 9+ ) ; ( + 3 ) ; ( e+ df )

13 II. Binomische Formeln 0 b) Vriiere die Aufgbe ), indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest.. Entwirf für ( b) eine entsprechende Zeichnung und leite hierus die zweite binomische Formel her.. Binomische Formel Die zweite binomische Formel lutet: ( ) b = b+ b Beispiel: ( ) e 4r = e e 4r + 4 r = e 8er + 6r Aufgbe: Vriiere ds Beispiel, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest (setze uch negtive Zhlen ein). 3. Binomische Formel Gegeben ist ein Qudrt der Seitenlänge, dessen Flächeninhlt beträgt. Von diesem soll ds kleine Qudrt mit der Seitenlänge b bgezogen werden. Die verbleibende Fläche ist dnn b groß. (-b) b Ds schrffierte Flächenstück in der nebenstehenden Abbildung wird n ds krierte ngelegt. Zusmmen b ergeben sie die verbleibende Fläche: + b b (-b) ( ) ( ) = = b+ b b b+ b b = b Somit hben wir die 3. binomische Formel erhlten: + b b = b ( ) ( ) ( + b) Beispiel:( )( ) w 6 w+ 6 = w 36 Aufgbe: Vriiere ds Beispiel, indem Du ndere Zhlen bzw. Buchstben verwendest. Vermischte Aufgben:. Ergänze so, dss richtige Termumformungen entstehen: ) = b b) ( z ) 3 = 6z + c) ( ) 3o = + 9o Berechne: ( + b+ c) ; ( + b) ; ( c d) ; ( k + l)

14 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie III. Stz des Pythgors/Trigonometrie Übersicht über ds Kpitel: In diesem Kpitel werden wir uns zunächst mit dem Stz des Pythgors beschäftigen. Dieser wird in vielen Anwendungen der Mthemtik benötigt. Dnn wenden wir uns der Trigonometrie zu, die ebenflls in großer Anzhl in der Mthemtik der Oberstufe (und nicht nur dort) nzutreffen ist. Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der Berechnung von Winkel und Seiten von Dreiecken und nderen Figuren us gegebenen Stücken unter Benutzung der Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tngens,...). Die Grundlge ller Berechnungen ist ds rechwinklige Dreieck. In diesem Kpitel knnst Du lernen: wie der Stz des Pythgors lutet, wie mn den Stz des Pythgors mit Hilfe der ersten binomischen Formel beweisen knn, wie der Stz ngewendet wird, wie Sinus, Kosinus und Tngens definiert sind, wie diese Winkelfunktionen miteinnder in Beziehung stehen und wie diese ngewendet werden. Informtionen, Beispiele und Aufgben: III. Der Stz des Pythgors (Pythgors von Smos, 6. Jh. v. Chr.) In einem rechwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhlte der Qudrte über den Ktheten gleich dem Flächeninhlt des Qudrtes über der Hypotenuse (vgl. Abb. ): + b = c b c c b b c c b Abb. Abb. Zum Beweis dieses Stzes schuen wir uns die nebenstehende Figur (Abb. ) n. Ds äußere Qudrt ht nch der ersten binomischen Formel den Flächeninhlt ( ) + b = + b + b. Die vier rechtwinkligen Rnddreiecke hben zusmmen den Flächeninhlt b. Ds innere Qudrt ht lso den Flächeninhlt c = + b.

15 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Dten beknnt: Seite = 3 cm, Seite b = 4 cm. Wie lng ist die Hypotenuse c? Lösung: c = + b ( 3 ) ( 4 ) c = cm + cm c = 9cm + 6cm c = 5cm c = 5cm c = 5cm D es keine negtiven Längen gibt, ist die Lösung c = 5 cm. Aufgben:. Berechne die fehlende Länge, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck folgende Seiten gegeben sind: ) Länge der Kthete = cm, Länge der Kthete b = 5 cm b) Länge der Kthete = 7 dm; Länge der Hypotenuse c = 5 dm. Im Koordintensystem (Abb. 3) sind die Punkte A, B, C und D eingezeichnet. ) Lies die Koordinten der Punkte b. b) Berechne die Längen der folgenden Strecken mit Hilfe des Stzes von Pythgors: AB; AC; AD; BC; BD; CD c Abb. 3 III. Trigonometrie Hinweise zur Benutzung des Tschenrechners: Winkeleinteilungen des Kreises: 360 (Altgrd), 400 (Neugrd), π (Bogenmß). Im Tschenrechner einzustellen ls: DEG, GRA, RAD Es wird umgerechnet: π 90 (DEG) ' 00 (GRA) ' (RAD) 0 π ' ' usw. 9 80

16 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie 3 Informtionen über Sinus, Kosinus und Tngens: In einem Koordintensystem betrchten wir den Einheitskreis, d. h. einen Kreis mit dem Rdius um den Ursprung O ls Mittelpunkt (vgl. Abb. 4). Für beliebige Winkel im Kreis um O gilt (Spezilfll Rdius r = ): y y x y sin α =, cos α =, tn α = r r x O α cos α sin α tn α x Einheitskreis Abb. 4 Für spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Gegenkthete des Winkels Sinus eines Winkels = ; für ds Dreieck in Abb. 5 gilt: sin α =. Hypotenuse c Ankthete des Winkels b Kosinus eines Winkels = ; cos α =. Hypotenuse c Gegenkthete des Winkels Tngens eines Winkels = ; tn α =. Ankthete des Winkels b C Kthete b Kthete A α c Hypotenuse Abb. 5 Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tngens für 0 < α < 90 : cos α = sin (90 - α), sin α = cos (90 - α) tn = sin α α cos α (sin α) + (cos α) = β B

17 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie 4 Aufgben:. Zeige, dss (cos α) + (sin α) = gilt (benutze Abb. 4 und den Stz des Pythgors).. Zeige, dss sin α = cos (90 - α) gilt (benutze die Bezeichnungen in Abb. 5). sin α 3. Zeige, dss tn α = cos α gilt. Beispielufgben mit Lösungsweg:. Bestimme sin β und tn α (siehe Abb. 6): β c α b Abb. 6 Lösung: Die Gegenkthete zum Winkel β ist die Seite b. Die Hypotenuse ist die Seite c. Also b ist sin β = c. Die Gegenkthete zum Winkel α ist die Seite. Die Ankthete zum Winkel α ist die Seite b. Also ist tn α = b. Aufgbe: Bestimme sin α, cos α, cos β und tn β us dem Dreieck in Abb. 6.. In einem rechtwinkligen Dreieck sind b = 8,53 m und α = 3,3 beknnt. Berechne die fehlenden Stücke. Lösung: ) β = 90-3,3 = 57,68. b) tn α = b ; = b tn α 8,05m. c) cos = b c ; c b α = cos α c 33,76m. Aufgbe: Berechne lle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks us: ) c = 5,38cm, α = 8,8 b) b = 8,95m, β = 4, Gegeben: b = 8 m; α = 30. Gesucht:. sin 30 = = 8 sin 30 = 8 0,5 = 4 8 Die Seite ht eine Länge von 4 m m 5 Die Aufgben 3-6 sind entnommen us: Böer, H: Triningsprogrmm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 6).

18 III. Stz des Pythgors/Trigonometrie 5 4. Gegeben. b = 0 m; α = 35. Gesucht: c. 0 m c cos35 = c = 0 cos35 0 0,8 = 8, 0 Die Seite c ht eine Länge von 8,0 m. 5. Gegeben: = 4 m; α = 40. Gesucht: c tn 40 = c = 4,76. c tn 40 0,84 Die Seite c ht eine Länge von 4,76 m. 6. Gegeben: c = 0 m; b = 7 m. Gesucht: β. 7 sin β = = 0,35. 0 Um den Winkel zu bestimmen, muss hier der umgekehrte Weg gegngen werden, d. h. die Umkehrfunktion. Auf dem Tschenrechner ist die Tste sin - oder rc sin zu benutzen. sin (0,35) 0,5 (flls DEG eingestellt ist), sin (0,35) 0,36 (flls RAD eingestellt ist) m c c 0m Ergebnis: Der Winkel β ht die Größe 0,5 (Altgrd) bzw. 0,36 (im Bogenmß). Vermischte Aufgben: Fertige für jede Aufgbe eine Skizze des Dreiecks n, uf der lle Dten und Bezeichnungen zu sehen sind. Vergleiche lle Aufgben mit den Beispielen 3-6 und notiere die Ähnlichkeiten, die Du feststellst.. Eine Leiter der Länge 5,40 m lehnt n der Huswnd. Die Leiter bildet mit der Huswnd einen Winkel von 0. Wie groß ist der Abstnd des unteren Leiterendes von der Wnd?. Ein Sendemst soll mit vier Seilen von je 40 m (80 m) Länge gehlten werden. Der Neigungswinkel α der Seile soll 55 betrgen. In welcher Höhe müssen die Seile befestigt werden? 3. Eine Seilbhn überwindet ) uf einer ersten Teilstrecke von 50 m Länge eine Höhendifferenz von 80 m. b) uf einer zweiten Teilstrecke von 4 m Länge eine Höhendifferenz von 78 m. Wie groß sind die Steigungswinkel der beiden Teilstrecken? 4. Wie lng sind die Digonlen einer Rute, deren Seiten die Länge 3,4 cm hben, wenn einer ihrer Winkel 3,8 beträgt? 5. Zeige, dss für den Winkel α zwischen der Rumdigonlen und einer Flächendigonlen eines Würfels gilt: sin α =, cos α = und tn α = Gegeben ist die Gerde g mit der Gleichung g(x) = x. Zeichne diese Gerde in ein Koordintensystem. Wie groß ist der Winkel, den die Gerde mit der positiven x-achse einschließt? 4 m β

19 IV. Funktionen und ihre Grphen 6 IV. Funktionen und ihre Grphen Übersicht über ds Kpitel In diesem Kpitel steht der Funktionsbegriff ls ein fundmentler Begriff der Mthemtik im Mittelpunkt der Betrchtungen. In diesem Kpitel knnst Du lernen: ws eine Funktion ist, ws die Definitions- bzw. Wertemenge ist, wie mn eine Funktion drstellen knn, ws der Grph einer Funktion ist, ws die Funktionsgleichung ist, wie Funktionswerte berechnet werden, wie mn n einem Grphen erkennen knn, ob dieser zu einer Funktion gehört. Informtionen, Beispiele und Aufgben: Bei einer Zuordnung wird jedem vorgegebenen Wert us einem Bereich ein Wert us einem nderen Bereich zugeordnet. Zuordnungen können z. B. durch Wertetbellen, grphische Drstellungen im Koordintensystem, Pfeildigrmme, Wortvorschriften oder Rechenvorschriften gegeben sein. Es gibt Zuordnungen, die einem Element mehrere Werte zuordnen. Von Interesse sind vor llem solche Zuordnungen, die jedem Element einer Ausgngsmenge genu ein Element einer Zielmenge zuordnen. Diese Zuordnungen heißen eindeutig. Definition: Beispiele: Eine eindeutige Zuordnung heißt Funktion. Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge ein Element der Wertemenge zu. 6 A) Die Zuordnung Person Körpergröße ist eine Funktion, denn jeder Mensch besitzt genu eine Köpergröße. Dies knn uf verschiedene Weisen drgestellt werden. ) Wertetbelle: Person A B C D E F Körpergröße 74 cm 63 cm 8 cm 78 cm 74 cm 80 cm b) Pfeildigrmm: A 74 cm B 63 cm C 8 cm D 78 cm E 74 cm F 80 cm c) Grphische Drstellung im Koordintensystem: Körpergröße in cm A B C D Person E F 5 us: Pohlmnn, D., Stoye, W. (Hrsg.): Mthemtik plus, Gymnsium Klsse 8 Nordrhein-Westflen; Berlin 00 (S. 75).

20 IV. Funktionen und ihre Grphen 7 B) Die Zuordnung Körpergröße Gewicht ist keine Funktion, denn mn knn bei gleicher Körpergröße unterschiedliches Gewicht besitzen; sie ist lso nicht eindeutig. ) Wertetbelle: Körpergröße 80 cm 80 cm 80 cm 80 cm 80 cm 80 cm Gewicht 65 kg 73 kg 77 kg 84 kg 93 kg 8 kg b) Pfeildigrmm: 65 kg 73 kg 77 kg 80 cm 84 kg 93 kg 8 kg c) Grphische Drstellung im Koordintensystem: Gewicht in kg Körpergröße in cm Aufgbe: ) Gib zu den obigen Beispielen die jeweilige Werte- bzw. Definitionsmenge n. b) Beschreibe die Gemeinsmkeiten und Unterschiede der beiden Beispiele. Im Mthemtikunterricht werden vor llem Funktionen behndelt, deren Definitions- und Wertemenge us Zhlen bestehen. Immer, wenn eine Größe von einer nderen in eindeutiger Weise bhängt, spricht mn von einer funktionlen Abhängigkeit oder einem funktionlen Zusmmenhng. [...] Beispiele für funktionle Zusmmenhänge: Die Länge des Bremsweges eines Autos hängt b von der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit eines fllenden Körpers hängt b von der Fllhöhe. Die Höhe des Wsserstndes in einem Schwimmbd hängt b von der Duer des Wsserzuflusses. Der Bestnd eines Medikmentes im Körper hängt b von der täglich eingenommenen Menge. Die Restschuld eines Drlehens hängt b von der Duer der Tilgung. 7 In den Beispielen steht links die bhängige Größe und rechts die unbhängige Größe. Mn knn uch umgekehrt sgen: Jedem Wert der unbhängigen Größe wird genu ein Wert der bhängigen Größe zugeordnet. Der Aspekt der Eindeutigkeit des Zuordnens schöpft den Begriffsinhlt einer Funktion nicht us. Auch der geometrische und der lgebrisch-rithmetische Aspekt sind inhltliche Bestndteile des Begriffs der Funktion. 8 7 us: Griesel, H., Postel, H. (Hrsg.): Elemente der Mthemtik Nordrhein-Westflen; Hnnover 999 (S. 94). 8 us: ebd. (S. 94).

21 IV. Funktionen und ihre Grphen 8 Der geometrische Aspekt: Der Grph einer Funktion In der folgenden Tbelle ist die Abhängigkeit der Wsserstndhöhe in einem Becken von der Duer des Wsserzuflusses drgestellt: Wsserzufluss in Stunden Wsserstndshöhe in m 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4 Dieser Schverhlt knn in einem Koordintensystem vernschulicht werden: Wsserstndshöhe in m,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 Wsserzuluf in Stunden Jedem Zeitpunkt wird eine bestimmte Wsserstndshöhe zugeordnet. Diese knn m Grphen der Funktion bgelesen werden. Der Grph einer Funktion f besteht us llen Punkten (x f(x)) mit x us der Definitionsmenge von f. Aufgbe: Lies die Wsserstndshöhe zum Zeitpunkt 0,5 (,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5) m Grphen der Funktion b und beschreibe Dein Vorgehen hierbei. Der lgebrisch-rithmetische Aspekt: Die Funktionsgleichung Der obige Schverhlt knn uch durch eine Gleichung beschrieben werden: y = f(x) = 0,x (oder kurz: f(x) = 0,x) Eine solche Gleichung heißt Funktionsgleichung. Der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen wird Funktionsterm gennnt (hier: 0,x). Setzt mn hier für x eine Zhl ein, erhält mn den zu dieser Zhl gehörigen Funktionswert: Z. B. f() = 0, = 0,. Mn sgt: Der Funktionswert n der Stelle (zu dem Argument) ist 0,. Ein Punkt liegt uf dem Grphen der Funktion f, wenn seine Koordinten die Funktionsgleichung erfüllen.

22 IV. Funktionen und ihre Grphen 9 Aufgben:. Berechne zu den ngegebenen Stellen die zugehörigen Funktionswerte und interpretiere die Ergebnisse. f(x) = 0,x x = 0,5 x = 3,7 x = 4,3 x = 9. Der unten stehende Grph gehört zu einer Funktion, denn jedem Argument x (in diesem Fll sind es Stunden) wird genu ein Funktionswert y (in diesem Fll ist es die Höhe in m) zugeordnet. Es ist der Gezeitenverluf n der Nordsee drgestellt. Etw lle,5 Stunden tritt Niedrigwsser ein. Entnimm der Grphik: ) Wie viel über oder unter der mittleren Meereshöhe (Normlnull) befindet sich der Wsserstnd Stunde, 3 Stunden, 7 Stunden nch dem ersten Niedrigwsser? b) In welchen zeitlichen Abständen nch dem ersten Niedrigwsser befindet sich der Wsserstnd 0,5 m über der mittleren Meereshöhe? 9 3. Knn der Grph zu einer Funktion gehören? Begründe die Antwort 0. Im nächsten Abschnitt stehen die lineren Funktionen im Mittelpunkt der Betrchtungen. 9 us: Pohlmnn, D., Stoye, W. (Hrsg.): Mthemtik plus, Gymnsium Klsse 8 Nordrhein-Westflen; Berlin 00 (S. 79). 0 us: Griesel, H., Postel, H. (Hrsg.): Elemente der Mthemtik Nordrhein-Westflen; Hnnover 999 (S. 4).

23 V. Linere Funktionen 0 V. Linere Funktionen Übersicht über ds Kpitel Linere Funktionen sind eine bestimmte Klsse von Funktionen, mit deren Hilfe viele Schverhlte beschrieben werden können. In diesem Kpitel knnst Du lernen: ws linere Funktionen sind, wie mn m Grphen einer Funktion erkennt, ob dieser zu einer lineren Funktion gehört, ws die Steigung einer lineren Funktion ist und wie mn sie berechnet, ws der y-achsenbschnitt ist, wie die Funktionsgleichung zu einer gegebenen Gerden bestimmt wird, wie eine Gerde zu gegebener Funktionsgleichung skizziert wird, wie zu zwei gegebenen Punkten die Gerde skizziert und die Funktionsgleichung bestimmt wird, wie us gegebener Steigung und einem gegebenen Punkt der Grph skizziert und die Funktionsgleichung bestimmt wird, wie spezielle Punkte zu gegebener Funktionsgleichung berechnet werden, worn mn n den Funktionsgleichungen erkennt, ob die zugehörigen Grphen prllel verlufen (sich senkrecht schneiden), ws die Nullstelle einer lineren Funktion ist und wie mn sie berechnet, ws eine linere Gleichung ist und wie mn diese löst und ws der Schnittpunkt der Grphen zweier linerer Funktionen ist und wie mn ihn bestimmt. Informtionen, Beispiele und Aufgben: Informtion : Linere Funktionen heißen so, weil im Funktionsterm die Vrible nur in der. Potenz vorkommt (d. h. nur x = x, nicht x o. ä.). Alle Punkte des Funktionsgrphen liegen uf einer gerde Linie einer Gerden. Aufgbe: Welcher der Funktionsgrphen gehört zu einer lineren Funktion? Eine Funktion y = f(x) = mx+b mit m, b ( (d. h. m und b sind irgendwelche reellen Zhlen), heißt linere Funktion. Beispiel: f(x) = x + ist eine linere Funktion. Bedeutung von m: m ist die Steigung der Gerden (ein Mß für die Steilheit ). Im Beispiel: m =. Die Steigung m einer lineren Funktion lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks vernschulichen (vgl. Abb. unten). Wenn wir vom Punkt P(x f(x )) zum Punkt Q(x f(x )) wndern, kommen wir von der Stelle x zur Stelle x und vom Funktionswert y = f(x ) zum Funktionswert y = f(x ). us: Böer, H.: Triningsprogrmm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 6).

24 V. Linere Funktionen Die Änderung bei den Funktionswerten ist: y = y y (lies: delt y ist gleich...) Die Änderung bei den Stellen ist: x = x x y y y f( x) f( x) Der Quotient m = = =, fürx x, ist die Steigung des Grphen x x x x x der lineren Funktion. Aufgbe: Bestimme y und x in der Abb. unten durch messen und berechne die Steigung. Bedeutung von b: Der Grph einer lineren Funktion ist eine Gerde, die die y-achse im Punkt (0;b) schneidet. Die Zhl b heißt y-achsenbschnitt der Gerden. y f(x)=mx+b y =f(x ) Q(x /f(x )) y =f(x ) b P(x /f(x )) x -x = x f(x )-f(x ) oder y -y = y x x x Aufgben:. Welche Werte nehmen m und b in den folgenden Beispielen n? f( x) = x 4; f( x) = 4x+ ; f( x) = x; f( x) = ; f( x) = x 4. Wie verläuft der Grph einer lineren Funktion mit der Steigung m = 0? 3. Alle Punkte des Grphen einer lineren Funktion liegen uf einer Gerden. Ist uch jede Gerde im Koordintensystem der Grph einer lineren Funktion? Beispiele verschiedener Aufgbentypen :. Die Funktionsgleichung einer gegebenen Gerden bestimmen. b = - ist sofort us der Zeichnung bzulesen. Von diesem Punkt us gehe ich 6 Einheiten nch rechts und dnn 4 Einheiten nch oben. Ich erhlte: y 4 y = 4 und x = 6, lso m = = =. x 6 3 Die Funktionsgleichung zu dieser Gerden lutet lso: f( x) = x. 3 vgl. hierzu: Böer, H.: Triningsprogrmm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 6,7).

25 V. Linere Funktionen Aufgben:. Zeichne 0 Gerden in ein Koordintensystem und ermittle sofort die zugehörigen Funktionsgleichungen.. Interpretiere die folgende Grphik und bestimme eine Funktionsgleichung zu der gezeichneten Gerden.. Eine Gerde zu einer gegebenen Funktionsgleichung skizzieren. ) f( x) = x,5 - Mrkiere b = -,5 uf der y-achse. - Zeichne von hier us ein Steigungsdreieck, z. B. x = und y = 4 (der Quotient muss ergeben, d m = ). - Ziehe durch die zwei Punkte eine Gerde. b) f( x) = x+ - Mrkiere b = uf der y-achse. - Gehe von dort eine Einheit nch rechts und 0,5 Einheiten nch unten (oder 4 Einheiten nch rechts und Einheiten nch unten). - Ziehe durch die zwei Punkte eine Gerde. Aufgben:. Notiere 0 linere Funktionsgleichungen und skizziere sofort die zugehörigen Grphen.. Ein Schwimmbd wird mit Wsser gefüllt. Interpretieren im diesem Zusmmenhng die Funktionsgleichung f(x) = 0,4 x und skizziere den zugehörigen Grphen. 3. Zu zwei gegebenen Punkten die Gerde skizzieren und die Funktionsgleichung bestimmen. Die Skizze ist klr: Die beiden Punkte ins Koordintensystem eintrgen und die Gerde zeichnen. Wenn die Punkte P(- -) und Q( ) gegeben sind, knn sofort die Steigung berechnet werden: x = ; x = ; y = ; y = diese Werte werden in die Formel für m eingesetzt y y y ( ) 4 m = = = = = x x x ( ) Ds Zwischenergebnis lutet: f ( x) = x+ b Zur Bestimmung von b wird einer der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung eingesetzt, z. B. Q( ): f() = + b = b = 0 Ds Ergebnis lutet: f ( x) = x.

26 V. Linere Funktionen 3 Aufgben:. Zeichne die Gerden, die durch die Punkte P und Q gehen. Bestimme die Funktionsgleichungen. ) P(3 -), Q(7 3) b) P(/ 3/4), Q(4 -) c) P(-/6 ), Q(/ 3/). Ein Schwimmbd wird mit Wsser gefüllt. Interpretiere in diesem Zusmmenhng die beiden Punkte A( 0,4) und B(4,6). Zeichne die Gerde, die durch die beiden Punkte geht und bestimme die Funktionsgleichung. 4. Ein Punkt und die Steigung sind gegeben, z. B. P(- -3) und m =. Zunächst wird der Punkt in ds Koordintensystem eingezeichnet. Von hier us wird ds Steigungsdreieck eingetrgen und der zweite Punkt mrkiert. Die Gerde knn gezeichnet werden. Wir wissen, d m gegeben ist: f ( x) = x+ b. Setze P in die Funktionsgleichung ein und erhlte: f( ) = 3 ( ) + b = 3 b =. Ds Ergebnis lutet: f( x) = x. Aufgben:. Zeichne die Gerde, die durch den Punkt P geht und die Steigung m ht. Bestimme die Funktionsgleichung. ) P( ), m = - b) P(- 0), m = / c) P(-3-4), m = -/4. Ein Schwimmbd wird mit Wsser gefüllt. Interpretiere in diesem Zusmmenhng die Steigung m = 0,4 und den Punkt C(5 ). Zeichne die zugehörige Gerde und bestimme ihre Funktionsgleichung. 5. Spezielle Punkte zu gegebener Funktionsgleichung bestimmen. Z. B. f( x) = 3x+ 6. Bestimme P (4...); P (-...); P 3 (... 3); P 4 (... -); P 5 (0...); P 6 (... 0). P : f(4) = ( 3) = 6; lso P(4 6) P : f( ) = ( 3) ( ) + 6 = ; lso P( ) P3 : 3x+ 6 = 3 x = ; lso P3( 3) 7 7 P4 : 3x+ 6 = x = ; lso P4( ) 3 3 P5 : f(0) = = 6; lso P5(0 6) Schnittpunkt mit der y-achse P : 3x+ 6 = 0 x = ; l so P 6 ( 0) Schnittpunkt mit der x-achse 6 Aufgben:. Gegeben ist die linere Funktionsgleichung f( x) = x. Zeichne den 0 Grphen der Funktion und bestimme rechnerisch P (3...); P (0...); P 3 (... 0); P 4 (... ).. Ein Schwimmbd wird mit Wsser gefüllt. Interpretiere in diesem Zusmmenhng die Funktionsgleichung f(x) = 0,4 x und die Punkte D(7...) und E(... 3,6). Zeichne den Grphen der Funktion. Informtion : Prllele und senkrechte Gerden Im linken Koordintensystem sind die Grphen der Funktionen f( x) = x 4 und g( x) = x+ bgebildet. Sie unterscheiden sich nur durch verschiedene y-achsenbschnitte, nämlich b = -4 und b =. Die Steigung ist in beiden Fällen die selbe: m =. Zwei Gerden mit den Steigungen m und m sind genu dnn prllel zueinnder, wenn m = m gilt.

27 V. Linere Funktionen 4 Im rechten Koordintensystem sind die Grphen der Funktionen g( x) = x+ und f ( x) = x+ bgebildet. Sie hben den selben y-achsenbschnitt b =. Diese Gerden stehen senkrecht zueinnder, wie mn leicht mit einem Geodreieck feststellen knn. Ihre Steigungen sind bzw. 0,5. Bildet mn ds Produkt der beiden Steigungen, stellt mn fest, dss dieses ist. Zwei Gerden mit den Steigungen m und m sind genu dnn senkrecht (orthogonl) zueinnder, wenn m _m = - ist. Informtion 3: Nullstellen linerer Funktionen/linere Gleichungen Um den Schnittpunkt des Grphen einer lineren Funktion mit der x-achse (die Nullstelle) zu bestimmen, muss der Funktionsterm Null gesetzt werden: f(x) = 0. Es entsteht eine linere Gleichung, die zu lösen ist. Beispiel: Von der Funktion f(x) = x 4 soll der Schnittpunkt mit der x-achse bestimmt werden: f ( x) = 0 x 4= x = 4 : x = Probe durch einsetzen 4= 0 0 = 0 ist eine whre Aussge Ergebnis: Der Grph der Funktion schneidet die x-achse n der Stelle x =. Bemerkung: Die Gleichung x 4 = 0 ist keine Aussge sondern eine Aussgeform. Erst wenn mn für die Vrible x eine bestimmte Zhl einsetzt, knn die Aussgeform in eine Aussge überführt werden, von der nun gesgt werden knn, ob sie richtig oder flsch ist. Diejenigen Elemente, die us einer Aussgeform eine whre Aussge entstehen lssen, nennt mn die Lösungsmenge der Aussgeform (hier: IL = {}). Aufgbe: Bestimme die Nullstelle der Funktion. f( x) = x ; f( x) = 3x+ 6; 3 f( x) = x,5 f( x) = x ; f ( x) = x; f( x) = x+ ;

28 V. Linere Funktionen 5 Informtion 4: Schnittstelle/Schnittpunkt Eine Stelle x heißt Schnittstelle zweier Funktionen f und g, wenn für sie die Funktionswerte beider Funktionen gleich sind, d. h. f(x) = g(x) gilt. Der zu einer Stelle x von f und g gehörige gemeinsme Punkt beider Grphen heißt Schnittpunkt der Grphen von f und g. Seine Koordinten sind (x;f(x)) bzw. (x;g(x)). 3 Beispiel: Bestimme den Schnittpunkt von f( x) = x und gx ( ) = x+. f( x) = g( x) x+ = x x = x 4 x x = 4 ( ) x = 4 Probe durch einsetzen in f(x) bzw. g(x) (beide Funktionswerte müssen identisch sein). f (4) = 4 + = 0 g(4) = 4 = 0 Ergebnis: Die beiden Gerden schneiden sich im Punkt (4 0). Noch ein Beispiel: Gerden, die senkrecht ufeinnder stehen hben die Eigenschft, dss ds Produkt ihrer Steigungen ergibt (s.o.). Bestimme zu f( x) = x,5 die Gerde g, die in P(...)senkrecht uf ihr steht. Ich ermittle zunächst die y-koordinte von P, dnn die Steigung: f () =,5 =,5 lso geht g(x) durch den Punkt P(,5) m = m = 0,5 lso die Steigung von g ist m = 0,5 Von g(x) wissen wir nun, dss m = -0,5 und der Grph durch den Punkt P(,5) geht. Also: g( x) = 0,5x+ b. Setze nun den Punkt P ein und erhlte: g() = 0,5 + b = b = Ds Ergebnis lutet: gx ( ) = 0,5x. Aufgbe: Bestimme zu der Funktion f( x) = x+ 4 diejenige Funktion g, deren Grph im Schnittpunkt mit der x-achse senkrecht uf dem Grphen zu f steht. Rechnung und Skizze. 3 us: Hhn, O.,Dzews, J.: Grundkurse Anlysis; Brunschweig 986 (S. 56).

29 V. Linere Funktionen 6 Vermischte Aufgben:. Gegeben ist die Gerde mit der Gleichung f(x) = 3x + 7. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P uf der Gerden liegt ( 4 7); ( 0), (0,5 5); ;,5 3. Gegeben sind die Gerden 3 f ( x) = x+ 4; g( x) = 5 x ; h( x) = 5x+ 7; k( x) = x ) Welche dieser Gerden verlufen prllel? b) Welche dieser Gerden schneiden sich senkrecht? 3. Einem Kunden, der sich für Hndys interessiert, werden zwei Trife zur Auswhl ngeboten: Trif : 0 DM Grundgebühr pro Mont, Gesprächskosten:,49 DM/min Trif : 4 DM Grundgebühr pro Mont, Gesprächskosten:,9 DM/min. ) Beschreibe die Kosten, die bei den Trifen und im Mont entstehen, mit Hilfe von lineren Funktionen. b) Wie lnge muss jemnd im Mont mindestens telefonieren, dmit Trif für ihn günstiger ist? 4. Bestimme die Funktionsgleichungen f(x), g(x), h(x) der gezeichneten Grphen. Bestimme durch blesen den Schnittpunkt von g und f.

30 VI. Qudrtische Gleichungen 7 VI. Qudrtische Gleichungen Übersicht über ds Kpitel Gleichungen nehmen in der Mthemtik und ihren Anwendungen einen wichtigen Pltz ein. Dort werden viele Probleme mit Hilfe von Gleichungen gelöst. Ds können linere, ber uch nichtlinere Gleichungen sein. In diesem Kpitel werden wir uns mit den qudrtischen Gleichungen beschäftigen. Beispiel: Um ein Qudrt mit dem Flächeninhlt 0 cm zeichnen zu können, muss zunächst die Länge einer Seite bestimmt werden. Der Flächeninhlt eines Qudrtes wird berechnet, indem mn die Länge der einen Seite mit der Länge der nderen Seite multipliziert. D die Längen der beiden Seiten eines Qudrtes gleich sind, ergibt sich: x x = 0, lso x = 0 Dies ist eine einfch qudrtische Gleichung, die durch wurzelziehen gelöst werden knn: x = 0 x = 0 3,6 Ein Qudrt mit dieser Seitenlänge ht lso den geforderten Flächeninhlt. Betrchten wir nun die Gleichung losgelöst vom Problem, können wir feststellen, dss noch eine zweite Lösung existiert, denn uch ( 0 ) ( 0 ) = 0. Wenn wir für die Unbeknnte eine Zhl einsetzen und diese die Gleichung erfüllt, dnn ist diese Zhl eine Lösung der Gleichung. Eine qudrtische Gleichung knn lso zwei Lösungen hben; hier: x = 0 oder x = 0. Für ds obige Problem spielt die negtive Lösung sicherlich keine Rolle, denn eine negtive Länge gibt es nicht. In nderen Fällen spielen ber durchus beide Lösungen eine Rolle und werden deshlb immer ngegeben. Wir hben lso nun eine einfche qudrtische Gleichung kennen gelernt. Diese können ber uch ungleich komplizierter ussehen, wie die Folgende zeigt: 3 ( 4) 3 3 x x = x x +. Du wirst ber sehen, dss jede qudrtische Gleichung uf die Normlform gebrcht werden knn. Ds ist eine einheitliche Form für qudrtische Gleichungen. In diesem Kpitel knnst Du lernen, ws eine qudrtische Gleichung ist, worn mn eine reinqudrtische oder gemischtqudrtische Gleichung erkennt, ws die Normlform einer qudrtischen Gleichung ist, wie eine qudrtische Gleichung in die Normlform überführt wird, wie eine reinqudrtische Gleichung gelöst wird, wie mn eine gemischtqudrtische Gleichung mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung bzw. der p-q-formel löst.

31 VI. Qudrtische Gleichungen 8 Informtionen, Beispiele und Aufgben: Informtion : Gleichungen, die mn uf die Form x + bx + c = 0 bringen knn, heißen qudrtische Gleichungen. Mn nennt x ds qudrtische Glied, bx ds linere Glied und c ds bsolute Glied der Gleichung. Die Buchstben, b und c werden Koeffizienten gennnt ( ist der Koeffizient des qudrtischen Gliedes, b der Koeffizient des lineren Gliedes, c der Koeffizient des bsoluten Gliedes). Eine qudrtische Gleichung, bei der ds linere Glied fehlt, heißt reinqudrtisch, sonst gemischtqudrtisch. Beispiel: Um die Gleichung x = 3x uf die oben ngegebene Form ( x + bx + c = 0 ) zu bringen, müssen folgende Rechenschritte usgeführt werden: x = 3x 3x x 3x = + x 3x + = 0 Hier ist =, b = -3 und c =. Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge von 4x 4= x = 4 :4 x = 4x 4 = 0. x = x = Ergebnis: Die Lösungsmenge ist IL {;-}. Aufgbe: Bestimme die Lösungsmenge von: ) 9x 6 = 0 b) x + 0 = 34 c) ⅔x +6 = 0 Informtion : Eine llgemeine qudrtische Gleichung x + bx + c = 0 mit beliebigem 0 wird uf die Normlform x +px +q = 0 der qudrtischen Gleichung zurückgeführt, indem mn die Gleichung durch den Koeffizienten des qudrtischen Gliedes teilt: x + bx + c = 0 : b c x + x+ = 0 b c Mit p = und q =. Aufgbe: Führe die llgemeine qudrtische Gleichung uf die Normlform zurück: ) 3x 5x 4 = 0 b) x 4x 96 = 0 c) x + 4x+ = 0 Informtion 3: Eine qudrtische Gleichung der speziellen Form x + px = 0 läßt sich m einfchsten lösen, indem mn den Summenterm in ein Produkt umwndelt: x(x + p) = 0. Ein Produkt us zwei Fktoren ist genu dnn gleich 0, wenn einer der Fktoren gleich 0 ist. Die Lösungsmenge von x + px = 0 ist lso L = {0; - p}. Aufgbe: Bestimme die Lösungsmenge von: ) x 3x = 0 b) x + 3x = 0 c) x + 4x = 0

32 VI. Qudrtische Gleichungen 9 Informtion 4: Jede gemischtqudrtische Gleichung der Form x + px +q = 0 knn mn uf eine Gleichung der Form (x d) = r zurückführen. Die Zhl, die mn zu dem Term x + px ergänzen muss, dmit mn den neuen Term nch der. oder. binomischen Formel ls Qudrt schreiben knn, nennt mn qudrtische Ergänzung (q. E.). Beispiel: 3 Die qudrtische Ergänzung zu x 3 x lutet, denn: 3 3 x x x 3 + =. p Die qudrtische Ergänzung zu x px lutet, denn: p p x px x + + = +. + Aufgbe: Bestimme die Lösungsmenge der qudrtischen Gleichung mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung. x x b x x c x x ) = 0 ) 4 96 = 0 ) = 0 d x x e x x ) + 6 = 5; ) 3 = 0 Informtion 5: Gegeben ist eine qudrtische Gleichung in der Normlform: x +px + q = 0. Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, führen wir folgende Rechnung durch: x + px+ q = 0 q p + = + x px q p p x + px+ = q+ p p x+ = q Die Anzhl der Lösungen der qudrtischen Gleichung hängt von dem Term Dieser Term heißt Diskriminnte D (der Normlform). p q Aufgbe: Führe die Rechnung us Informtion 5 weiter und bestimme die Lösungsmenge: - Für den Fll, dss D positiv ist. - Für den Fll, dss D gleich 0 ist. - Für den Fll, dss D negtiv ist. Informtion 6: Lösungsformel für qudrtische Gleichungen: Gegeben ist eine qudrtische Gleichung in der Normlform x + px +q = 0. Für die Lösungsmenge der Gleichung gilt dnn: Wenn die Diskriminnte positiv ist, gibt es genu zwei Lösungen x und x, nämlich p p x, = ± q Dies ist die sogennnte p-q-formel. b.

33 VI. Qudrtische Gleichungen 30 Wenn die Diskriminnte D null ist, gibt es genu eine Lösung, nämlich Wenn die Diskriminnte D negtiv ist, gibt es keine Lösung. p. Aufgbe: ) Bestimme mit Hilfe der entwickelten Lösungsformel die Lösungsmenge der qudrtischen Gleichung 4x + x 3/ = 0. b) Wie viele Lösungen ht die Gleichung 3x 8x + 0,5 = 0? Bentworte die Frge nhnd der Lösungsformel, ohne die Lösung selbst zu bestimmen. Historische Informtion: Ds noch heute ngewndte lgebrische Verfhren zur Lösung qudrtischer Gleichungen entstmmt dem 6. Jhrhundert: RAFAEL BOMBELLI ht in seiner 57 erschienenen L Algebr jenes Verfhren entwickelt. Ds dort gegebene Beispiel soll hier im Text leicht geglättet und in moderner Schreibweise wiedergegeben werden: Es sei Aufgbe: Lies den Text und bentworte folgende Frgen schriftlich (führe die Rechnungen selbst durch): Welche Rechenopertion führt Bombelli durch, wenn er eine Gleichung reduziert? Ws meint Bombelli, wenn er die...die Hälfte der lineren Größe nimmt und sie zur Wurzel des Qudrts hinzuzählt...? Bombellis Lösung ist unvollständig. Gib die vollständige Lösung n. 3 3 us: Kropp, Gerhrd: Geschichte der Mthemtik; Heidelberg 969 (S. 98).

34 VI. Qudrtische Gleichungen 3 Noch eine Aufgbe 4 : Betrchte einen Moment lng diese sechs Qudrte: Welches ist Deiner Ansicht nch m schönsten, m hrmonischsten unterteilt? Es ist interessnt, dss viele Menschen in diesem Fll ds vierte Qudrt von rechts wählen. Es ist nch dem Goldenen Schnitt unterteilt. Diese Unterteilung gilt von jeher ls besonders usgeglichen und hrmonisch. Der Goldene Schnitt wr deshlb lnge Zeit ds bevorzugte Mß, wenn es um eine schöne Anordnung ging. Diese Trdition ist uch in unserem Jhrhundert noch nicht usgestorben. Der Schweizer Architekt Le Corbusier entwrf vor etw 50 Jhren ein Hus, bei dem die Fssdenelemente im Goldenen Schnitt unterteilt sind. Und noch heute knnst du dieses Teilungsverhältnis n mnchen Häusern feststellen. Schon früh wurde versucht, dieses Verhältnis mthemtisch zu beschreiben. Mn fnd herus, dss bei einer schön unterteilten Strecke sich die kleinere Teilstrecke zur größeren so verhält wie die größere zur gnzen Strecke. Wie müssen wir lso die Seite beim schönen Qudrt unterteilen? Die bgebildeten Qudrte hben eine Seitenlänge von Zentimetern. Diese Zentimeter müssen wir im Goldenen Schnitt unterteilen: x y Bezeichnen wir die Länge der ersten, größeren Teilstrecke mit x und die Länge der kleineren Teilstrecke mit y. Dnn muss die folgende Proportion gelten: y : x = x : Die kleinere Teilstrecke y ist gleich x. Ds knnst du n der Figur blesen. Also gilt ds Verhältnis ( x) : x = x :. Anders usgedrückt heißt ds: x = x x Hier hben wir es mit einer qudrtischen Gleichung für x zu tun! Wenn wir die Gleichung nämlich mit und dnn noch mit x multiplizieren ergibt sich ( x) = x Rechnen wir die linke Seite noch us, so erhlten wir 4 x = x ) Löse diese Gleichung. b) Unterteile ein Qudrt mit der Seitenlänge cm (4 cm) im Goldenen Schnitt. c) Unterteile ein Qudrt mit der Seitenlänge im Goldenen Schnitt. 4 Diese Aufgbe ist entnommen us: Kirchgrber, U., Hrtmnn, W.: ETH-Leitprogrmm Qudrtische Gleichungen, Zürich 995.

35 VII. Qudrtische Funktionen 3 VII. Qudrtische Funktionen Übersicht über ds Kpitel Qudrtische Funktionen und ihre Grphen kommen in vielen Bereichen der Technik vor, z. B. beim Brückenbu oder in der Solrtechnik. Auch Stellitenntennen hben einen prbelförmigen Querschnitt. In diesem Kpitel knnst Du lernen: ws eine qudrtische Funktion ist, ws die Normlprbel ist, ws der Scheitelpunkt des Grphen einer qudrtischen Funktion ist, wie sich Verschiebungen der Normlprbel uf den Funktionsterm uswirken, wie sich Spiegelungen und Streckungen uf den Funktionsterm uswirken, ws die Scheitelpunktform ist, wie mn eine Funktionsgleichung uf Scheitelpunktform bringt, ws die Nullstellen des Grphen einer qudrtischen Funktion sind und wie mn diese berechnet. Informtionen, Beispiele und Aufgben: Eine Funktion f mit einem Term der Form f(x) = x + b x + c mit, b, c IR und 0 heißt qudrtische Funktion. Die Zhlen, b, c nennt mn die Koeffizienten. Der Grph einer qudrtischen Funktion heißt Prbel. Der Punkt mit dem größten bzw. kleinsten Funktionswert der Funktion f heißt Scheitelpunkt der Prbel. Der mximle Definitionsbereich einer qudrtischen Funktion ist die Menge IR ller reellen Zhlen. Die Normlprbel ist der Grph der Funktion f mit f ( x) = x (siehe nebenstehende Abb.). Sie ist eine nch oben geöffnete chsensymmetrische Kurve; die Symmetriechse ist die y-achse. Aufgbe: Benenne die Koeffizienten des Funktionsterms der Normlprbel. Verschiebungen der Normlprbel ) in y-richtung: Der Grph der qudrtischen Funktion f ( x) = x + e, e IR ist eine Prbel mit dem Scheitelpunkt (0 e). Für positives e ist die Prbel gegenüber der Normlprbel nch oben, für negtives e gegenüber der Normlprbel nch unten verschoben (hier: e = ). Aufgbe: Notiere vier Funktionsgleichungen für nch oben bzw. nch unten verschobene Normlprbeln. Gib die Scheitelpunkte n und skizziere die Grphen in ein Koordintensystem.