Mathematik Thema Vielecke

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1 Them Vielecke Im Jnur 2006 Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 1 von 15

2 INHALTSVERZEICHNES 1. EINLEITUNG 3 2. ARTEN VON VIELECKEN DREIECK VIERECK RECHTECK QUADRAT PARALLELOGRAMM RAUTE TRAPEZ DRACHE FÜNFECK (PENTAGON) ACHTECK (OKTOGON) BERÜHMTES VIELECK 6 3. BERECHNUNG VON VIELECKEN UMFANG DREIECK RAUTE FÜNFECK 8 FLÄCHE DREIECK RAUTE FÜNFECK WINKEL DREIECK VIELECKE ZUSAMMENFASSUNG QUELLENANGABEN 15 Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 2 von 15

3 1. Einleitung Der Inhlt meiner Präsenttion behndelt Rute und Vielecke. Hierbei hndelt es sich um Flächen. Flächen sind zweidimensionl. Der mthemtische Fchusdruck lutet Polygon. Ein Vieleck ist eine ebene Fläche us mindestens drei oder mehr Punkten die durch Strecken miteinnder verbunden sind, so ds eine geschlossene Figur entsteht. Ws knn mn in einem Vieleck berechnen? Umfng Flächen Winkel Vielecke können regelmäßig und unregelmäßig sein. Bei regelmäßigen Vielecken sind lle Innenwinkel und lle Verbindungsstrecken der Eckpunkte gleich groß. Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 3 von 15

4 2. Arten von Vielecken Typische Vertreter von Vielecken sind: 2.1. Dreieck regelmäßig unregelmäßig 2.2. Viereck Rechteck regelmäßig unregelmäßig Qudrt regelmäßig unregelmäßig Prllelogrmm regelmäßig unregelmäßig Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 4 von 15

5 Rute regelmäßig unregelmäßig Trpez regelmäßig unregelmäßig Drche regelmäßig unregelmäßig 2.3. Fünfeck (Pentgon) regelmäßig unregelmäßig Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 5 von 15

6 2.4. Achteck (Oktogon) regelmäßig unregelmäßig 2.5. Berühmtes Vieleck Ds Pentgon ist der Huptsitz des US-meriknischen Verteidigungsministeriums. Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 6 von 15

7 3. Berechnung von Vielecken Ws knn mn in einem Vieleck berechnen? Umfng Flächen Winkel 3.1. Umfng Der Umfng ist die Länge des Rndes einer Fläche in der Zeichenebene. Umfng = Summe ller Seitenlängen Dreieck C b A c B Im Dreieck ist der Umfng die Summe der Seitenlängen plus b plus c. u = +b+c Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 7 von 15

8 Rute C D B A In der Rute sind lle Seitenlängen gleich lng. Der Umfng ist dher 4ml eine Seitenlänge. u = Fünfeck D d c E C e b A B Im Fünfeck ist der Umfng die Summe ller Seitenlängen. u = +b+c+d+e Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 8 von 15

9 Fläche Eine Fläche ist ein nch Länge und Breite flch usgedehnter Bereich. Um Flächeninhlte bei Vielecken berechnen zu können müssen diese entweder in Teilflächen zerlegt oder sinnvoll ergänzt werden. Bsp.: Teilen von Flächen Bsp.: Ergänzen von Flächen Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 9 von 15

10 Dreieck C b c h c h b h A B A = ½ **h Rute C c b D e B f d A = e * ½ f = ½ * e * f A Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 10 von 15

11 Fünfeck D D d c d c E C E A 1 A 3 C A 2 e b e b A B A B A = A1+A2+A3+ +An Eine Möglichkeit der Flächenberechnung im N-Eck ist dessen Zerlegung in Teilflächen. Nun können die Teilflächen entsprechend berechnet werden. Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 11 von 15

12 3.2. Winkel Die Winkelsumme im Vieleck berechnet mn, indem mn die einzelnen Winkel ddiert Dreieck In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180 α+β+γ = Vielecke Vielecke können in zwei oder mehrere Dreiecke ufgeteilt werden. Ein Viereck in 2 Dreiecke, ein Fünfeck in 3 Dreiecke, ein Sechseck in 4 Dreiecke, und so weiter. Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 12 von 15

13 Dher ergibt sich folgende Berechnung: Figur Winkelsumme Dreieck 180 Viereck (4-2)*180 =360 Fünfeck (5-2)*180 =540 Sechseck (6-2)*180 =720 Siebeneck (7-2)*180 =900 n-eck (n-2)*180 Logisch, oder? Bei regelmäßigen Vielecken sind die Innenwinkel immer gleich groß, d.h. die Winkelsumme geteilt durch die Anzhl der Ecken ergibt den Innenwinkel. n-eck Innenwinkel Winkelsumme Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Achteck Eck Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 13 von 15

14 4. Zusmmenfssung Der Umfng bei Vielecken ist die Länge des Rndes einer Fläche in der Zeichenebene. Umfng = Summe ller Seitenlängen Um Flächeninhlte bei Vielecken berechnen zu können müssen diese entweder in Teilflächen zerlegt oder sinnvoll ergänzt werden. Der Flächeninhlt eines Qudrtes knn us dem Qudrt der Seitenlänge berechnet werden. Der Flächeninhlt eines Rechteckes knn us dem Produkt der Seitenlänge berechnet werden. Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms knn us dem Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe berechnet werden. Der Flächeninhlt eines Dreiecks knn us dem hlben Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe berechnet werden. Der Flächeninhlt eines Trpezes knn us dem Produkt der Mittelprllele und der Höhe berechnet werden. Der Flächeninhlt einer Rute bzw.eines Drchens knn us dem hlben Produkt der beiden Digonlen berechnet werden. Die Winkelsumme ergibt sich us der Addition ller Einzelwinkel im Vieleck. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180 Die Winkelsumme im Vieleck mit n Eckpunkten beträgt (n-2)*180 Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 14 von 15

15 5. Quellenngben Bücher: Schnittpunkt, Ernst Klett Verlg, Stuttgrt Lexikon der Mthemtik, Lexikogrphisches Institut, München Internet Internetsuchmschine Eine freie Internet-Enzyklopädie Deutschlnds größter Online-Verlg im Schul- und Bildungswesen Universität Flensburg Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 15 von 15