Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

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1 Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung) Ein Körper wird ls strr beeichnet, wenn der Abstnd benchbrter Körperpunkte eitlich konstnt ist. Der Krftvektor Kräfte sind vektorielle Größen mit folgenden Eigenschften: Sie hben eine Größe, drgestellt durch eine Zhl mit der SI-Einheit Newton. Sie hben eine ichtung (Wirkungslinie) und einen ichtungssinn (Pfeilspite). Sie hben einen Angriffspunkt m Körper, in einem Koordintensstem beschrieben durch einen Ortsvektor. Krft in einem krtesischen Koordintensstem In der Abbildung ist der Ortsvektor der Nullvektor.

2 Ds Schnittprinip Ds Universum ist ein usmmenhängendes Kontinuum. Um die Wechselwirkungen wischen Teilgebieten (Körpern) nlsieren u können, schneidet mn diese gednklich us dem Universum herus und trägt n den Schnittstellen mechnisch äuivlente phsiklische Größen (Schnittgrößen, Kräfte) n. Der omentenvektor r Er beschreibt die Wirkung einer Krft beüglich eines Beugspunktes (Drehpunktes) und wird berechnet us dem Kreuprodukt von Ortsvektor und Krftvektor. ür die Vektoren A, B, C bw. r,, gilt die rechte-hnd-egel. Ds Versetungsmoment, oment eines Kräftepres Wird eine Krft entlng ihrer Wirkungslinie verschoben, ändert sich ihr oment beüglich eines beliebigen Punktes nicht. Wird eine Krft prllel u ihrer Wirkungslinie verschoben, entsteht ein Versetungsmoment. d, d sin( d, ) flls d ist d

3 Äuivlen von Krftsstemen Unter Äuivlen von Krftsstemen versteht mn ds sttisch gleichwertige Erseten von Kräftegruppen durch.b. eine resultierende Krft. Ds sind Gleichungen und r i 0 0i 0i in vektorieller Drstellung oder 6 Gleichungen in Komponentendrstellung in krtesischen Koordinten. i i ( i i ii ) i i i i i ( ) i i i i ( ii i i ) oder e e e 3

4 Gleichgewicht der Kräfte und omente Kräftegruppen befinden sich im (sttischen) Gleichgewicht, wenn es keine resultierende Krft und kein resultierendes oment gibt. Ds sind ebenflls Gleichungen und r i 0 0i 0i in vektorieller Drstellung oder 6 Gleichungen in Komponentendrstellung in krtesischen Koordinten. 0 i i ( i i ii ) i i Allgemeines räumliches Krftsstem i i i ( ) i i i i ( ii i i ) Krftssteme sind in ller egel llgemeine räumliche Krftssteme, ds heißt die Kräfte sind beliebig im um orientiert. Sonderfälle ebenes Krftsstem und entrles Krftsstem Ebenes Krftsstem: Zentrles Krftsstem: Die Kräfte sind beliebig in einer Ebene orientiert. Alle Krftwirkungslinien schneiden sich in einem Punkt. Zerlegung einer Krft in vorgegebene ichtungen Ist die Lge einer Krft beknnt, knn sie im um eindeutig in 3 ichtungen (in der Ebene in ichtungen) erlegt werden. e cos(, e ) e cos(, e ) e + + cos oder (in krtesischen Koordinten) sin cos cos sin ( α) ( α) ( β) cos( α) cos( β) ( β) cos( α) sin( β) (, e ) 4

5 Lgerungssmbole der Sttik Körper können in verschiedener Weise gelgert (mit der Umgebung verbunden) werden. ür die Drstellung der Lgerungen werden verschiedene vereinbrt. 5

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8 technische elisierung von Lgern Kugelgelenk estlger estlger Brückenlger (Loslger in Längsrichtung und estlger in Querrichtung) bewegliches Brückenlger (Vorder- und Seitennsicht), Bujhr 98, Gewicht 6,8 Tonnen, Verstellweg ± 6 cm (gdeburg, Hmmersteinweg) Lgerböcke (estlger) links: Befestigung von Seilen einer Hängebrücke (Herrenkrugsteg gdeburg) 8

9 Verteilte Belstungen (Volumen-, lächen- und Streckenlsten) Die Benspruchung der Körper erfolgt in der egel durch verteilte Belstungen wie Volumenlsten (Eigengewicht), lächenlsten (.B. Schneelsten, Windlsten usw.). Die Belstung durch Einelkräfte ist eine Idelisierung. eduiert mn den Körper uf ein ebenes odell, können uch Linienlsten (odellvorstellung) uftreten. Diese Belstungsrten können unter bestimmten Vorussetungen u sttisch äuivlenten Kräften usmmengefsst werden. In krtesischen Koordinten können die resultierenden Kräfte und deren Angriffspunkte wie folgt berechnet werden: Volumenlst in ichtung von g (Grvittionskonstnte) ρ g d d d ρ g d d d ( V ) lächenlst (, ) p ( V ) ( V ) p(, ) d d ( A ) Linienlst (Streckenlst) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( A ) ρ g d d d p (, ) d d ( ) d ( V ) ρ g d d d ( A ) p (, ) d d Beispiele Berechnung von Lgerrektionen und Gelenkrektionen n D Scheibensstemen, Gerberträgern, Dreigelenkbögen, räumlichen Sstemen Vorgehensweise: Idelisierung des Objektes durch ein phsiklisches (mechnisches) odell reischneiden Antrgen ller Lsten und ektionskräfte Aufstellen der erforderlichen Gleichgewichtsbedingungen (mthemtisches odell) Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen und Bestimmung der ektionskräfte Hinweis: Beim reischneiden werden eventuell uch verteilte Belstungen geschnitten. Erst nch Anwendung des Schnittprinips dürfen verteilte Lsten in resultierende Kräfte umgerechnet werden! Ist ds Objekt sttisch bestimmt gelgert, können die gesuchten Größen us den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden (Zhl der Unbeknnten Zhl der Gleichungen) 9

10 Ist ds Objekt sttisch unbestimmt (überbestimmt) gelgert, können die gesuchten Größen us den Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmt werden (Zhl der Unbeknnten > Zhl der Gleichungen). Es sind weitere Gleichungen erforderlich, die mit ethoden der estigkeitslehre gewonnen werden. Ist ds Objekt sttisch unbestimmt (unterbestimmt) gelgert, können die gesuchten Größen us den Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmt werden (Zhl der Unbeknnten < Zhl der Gleichungen). Diese Ssteme werden uch kinemtisch unbestimmt gennnt und sind echnismen die mit den itteln der Sttik nicht behndelt werden können. Gerder Träger mit Einellst und Linienlst, sttisch bestimmt gelgert A B Vor der Bestimmung der Lgerrektionen ist die Größe und Lge der esultierenden der Linienlst u ermitteln. ührt mn eine Koordinte bei A beginnend ein, folgt d 3 6 und 0 0 3, d Schnittbild (Hinweis: die rot eingeeichnete Krft ersett die Linienlst sttisch äuivlent und dient hier nur der Vernschulichung. In Schnittbildern ist entweder die Linienlst oder deren esultierende einutrgen!) AH AV B 0

11 Gleichgewichtsbedingungen AV AH + + B 3 3 A : B 3 B 3 3 B : AV 3 + AV 3 Die omentengleichungen (rechtsdrehend) um die Lgerpunkte liefern unmittelbr die vertiklen Lgerkräfte. Ds vertikle Krftgleichgewicht knn hier nur noch ur Kontrolle verwendet werden; es gibt für ds llgemeine ebene Krftsstem nur drei voneinnder unbhängige Gleichungen für die drei unbeknnten Lgerrektionen. Alle weiteren Gleichungen sind Linerkombintionen us den drei möglichen Gleichungen. Gerberträger (Sstem gerder Träger, lle Lger und Verbundgelenke liegen uf einer Gerden) Der sttisch bestimmte Durchlufträger, der durch ein estlger und i ollenlger gestütt wird, muss (i-) Gelenke enthlten. Dbei dürfen sich wischen wei Auflgern nicht mehr ls wei Gelenke und n einem Teilblken nicht mehr ls wei Auflger befinden. A B C G Ds odell besteht us n (hier wei) Teilsstemen. ür jedes Teilsstem sind bei ebenen Problemen drei Gleichgewichtbedingungen möglich (hier lso insgesmt sechs). Schnittbilder (Hinweis: die rot eingeeichneten Kräfte ersetten die Linienlst sttisch äuivlent und dienen hier nur der Vernschulichung. In Schnittbildern ist entweder die Linienlst oder deren esultierende einutrgen!)

12 An den Verbindungsstellen wird ds Sstem ufgetrennt und es gilt ds ektionsprinip. AH AV B C Gleichgewichtsbedingungen A : 5 B AV AH B () () (3) C : (4) C (5) (6) Aus den Gleichungen (...) ergeben sich die gesuchten Lger- und Gelenkkräfte. ( 3) ( 4) () 5 () AH C B ( ) AV Sttt der Gleichungen () und (5) wären uch die folgenden Gleichungen möglich: B : + () AV G : (5) C

13 Dreigelenkbogen (gerde, gekrümmte oder bgewinkelte Träger Lger und Verbundgelenke liegen nicht uf einer Gerden) G 3 3 B 3 A 4 Schnittbild (Hinweis: die rot eingeeichnete Krft ersett die Linienlst sttisch äuivlent und dient hier nur der Vernschulichung. In Schnittbildern ist entweder die Linienlst oder deren esultierende einutrgen!) 4 BH BV AH AV Gleichgewichtsbedingungen Bei Dreigelenkbögen ist es weckmäßig, n den Teilsstemen ds omentengleichgewicht beogen uf die Lger usuwerten. 3

14 A : B : Ds so entstndene Gleichungssstem für die Gelenkkräfte lässt sich leicht lösen. Die weite Gleichung wird mit multipliiert und dnn beide Gleichungen ddiert oder subtrhiert. A : B : Die weiteren Gleichgewichtsbedingungen liefern nch Umstellen der Gleichungen die übrigen Lgerrektionen. AV AH BV BH

15 rechtwinklig bgewinkelter Träger, 3D Problem C A B 5 3 Schnittbild C A A B A B Gleichgewichtsbedingungen Die Gleichgewichtsbedingungen können vektoriell oder in sklrer orm notiert werden. Krft- und omentengleichgewicht in ichtung (...) durch (...) Lgerrektionen : : : AB BC B A A : A C : A : 5 A B B C A B B C A A A A 5 C