Technische Mechanik I

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1 Technische Mechnik I downlod unter: VORLESUNSSKRIPT Prof. Dr. eorg Rill Oktober 215 c OL S UL d b e

2 Rill, 21. September 215

3 Inhlt Vorwort I 1 Vektoren in der Mechnik Motivtion Drstellung leichheit etrg Multipliktion mit Sklren Einheitsvektoren Splten- und Zeilenvektoren Sklrprodukt Kreuprodukt Übungen rundlgen Erstmodelle Kräfterten Krftdrstellung Krft und Krftwirkung Schwerpunkte leichgewicht Lger Speielle Lgerelemente Übungen chwerke rundlegendes Ebene chwerke Nullstäbe Der Ritterschnitt Räumliche chwerke Übungen Zug- und Druckbelstungen estigkeits- und Verformungskenngrößen Sttisch bestimmte Systeme Überbestimmte Systeme Übungen Trgwerke llgemeines Einfche Trgwerke Nichteinfche Trgwerke Räumliche Trgwerke Übungen i

4 OTH Regensburg Technische Mechnik I 6 Schnittrektionen Definition eispiel Einteilige Trgwerke Differentielle etrchtung Mehrteilige Trgwerke Übungen Reibung llgemeines Sttisch bestimmte Systeme Sttisch überbestimmtes System Seilreibung Übungen Prinipe der Sttik Minimle Energie Virtuelle rbeit Übungs-eispiel Zusätliche Übungsbeispiele Krftwirkung leichgewicht Schwerpunkte chwerke Zug- und Druckbelstungen Trgwerke Schnittgrößen Reibung Prinipe ii

5 Vorwort Historie Die Mechnik ist eine sehr lte Wissenschft. ereits rchimedes ( v. Chr.), ein bedeutender Wissenschftler des klssischen ltertums, formulierte die Hebelgesete 1 und untersuchte den lschenug. Seine ormulierung des esetes vom uftrieb ist heute ls rchimedisches Prinip beknnt. Im Mittellter prägte Leonrdo d Vinci ( ) durch eine Vielhl technischer Erfindungen 2 schließlich ds Tätigkeitsfeld eines Ingenieurs. lileo lilei ( ) untersuchte die llgesete und beschäftigte sich mit der Elstiität eines lkens. Johnnes Kepler ( ) konnte wr drei esete ur eschreibung der Plnetenbhnen ngeben, ber erst Isc Newton ( ) gelng es schließlich llgemeine ewegungsgesete (Newtonsche iome) u formulieren. Leonhrd Euler ( ), einer der bedeutendsten Mthemtiker, rbeitete uch uf dem ebiet der Mechnik. Neben eiträgen ur Hydrodynmik (Eulersche ewegungsgleichungen, Turbinengleichung) und ur Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen) gelng ihm uch die erste nlytische eschreibung der Knickung eines mit einer Druckkrft belsteten Stbes. Jen le Rond d lembert ( ) und Joseph Louis Lgrnge ( ) gelten ls egründer der nlytischen Mechnik. Ihre bhnbrechenden rbeiten bilden bis heute die rundlgen moderner Computer- erechnungen. Problemstellung Um die rundgesete und die Methoden der Technischen Mechnik ur Lösung von Problemen nwenden u können sind folgende Schritte u durchlufen: 1. ormulieren der technischen ufgbe, 2. uswhl eines mechnischen Erstmodells, 1 ib mir einen Punkt, wo ich hintreten knn, und ich bewege die Erde 2 lugpprte, selbstngetriebenes hreug (utomobil), Tucherglocke, llschirm, Druckpumpen, Schruben, rennspiegel und Kriegsmschinen 3. mthemtische eschreibung, 4. nlytische oder numerische Lösung, 5. Interprettion und Überprüfung der Ergebnisse. In der Pris müssen die Schritte 2 bis 5 oft mehrfch mit entsprechenden Erweiterungen oder Vereinfchungen durchlufen werden. Lehrinhlte Dieses Skript wurde bewusst kur gehlten. Es deckt die Lehrinhlte des Moduls Technische Mechnik I in den chelor-studiengängen Mschinenbu sowie Produktions- und utomtisierungstechnik n der Ostbyerischen Technischen Hochschule (OTH) Regensburg b. Die Themengebiete ufgben und Einteilung der Mechnik Kräfte und ihre Drstellung, grundlegende iome und Prinipe Schwerpunkt und Resultierende verteilter Kräfte leichgewicht Coulombsche Reibung uflgerrektionen und Stbkräfte bei chwerken und Trgwerken Schnittrektionen in lken, Rhmen und ogen Spnnungen, Verformungen, Mterilgeset Spnnung-Dehnungs-Digrmm Spnnungen und Verformungen bei Zug-Druck enspruchungen umfssen die Sttik und geben einen Einblick in die estigkeitslehre. Ds Modul Technische Mechnik II erweitert und vertieft dnn die estigkeitslehre. Schließlich wird die Dynmik, unterteilt in Kinemtik und Kinetik im Modul Technische Mechnik III vermittelt. Der Stoff wird überwiegend n Hnd von eispielen drgestellt. I

6 OTH Regensburg m Ende jedes Kpitels lden Übungsbeispiele um Selbststudium ein. Lösungen können im PDDokument durch entsprechende Vergrößerung sichtbr gemcht werden. Technische Mechnik I Dnk Mein Dnk gilt Prof. Dr. Ulrich riem, der ds Skript mehrfch kritisch durchgesehen und durch konstruktive nregungen bereichert ht. ür die Prüfungsvorbereitung sind im bschnitt Übungen weitere eispiele usmmengestellt. Diesml wird bewusst uf die ngbe von Lösungen verichtet. Weiterführende Litertur ür weiter führende Studien wird uf die Lehrbücher Technische Mechnik I bis III von Russel C. Hibbeler verwiesen, die von der Person3 Eduction Deutschlnd mbh unter ISN vertrieben werden. entnommen us dem uch Thetrum Mchinrum enerle von Jcob Leupold, Leipig siehe II uch

7 1 Vektoren in der Mechnik 1.1 Motivtion Im Vorwort u seinem uch Vorlesungen über Technische Mechnik (nd I) schreibt. öppl 1 im Jhr 1898: Die Mechnik mcht usgiebigen ebruch von den Hilfsmitteln der Mthemtik. Ich selbst hbe mich schon seit lnger Zeit du entschlossen, so weit es ngesichts der mthemtischen Vorkenntnisse, die mn vorusseten drf, ulässig ist, überll mit den Vektoren selbst u rechnen. Vor llem knn die Mechnik ohne erhebliche Einbuße n Klrheit und Übersichtlichkeit nicht uf den egriff der geometrischen Summe weier gerichteter rößen verichten. Die für die Technische Mechnik wichtigen egriffe us der Vektor-lgebr sind in den folgenden bschnitten usmmengestellt. y y ild 1.1: Drstellung von Vektoren im R Drstellung y 2 In der Mthemtik und uch in der Mechnik werden Vektoren im Tet häufig durch einen Pfeil über der Vriblen (..: ) gekenneichnet. In der grfischen Drstellung wird der Vektor dgegen nur mit seinem etrg = ngegeben. Der skiierte Pfeil legt j bereits die Richtung fest. In der Mechnik ist die Drstellung von Vektoren uf den R 3 beschränkt. Vektoren im R 3 können in einem Koordintensystem drgestellt werden. Die Komponenten des Vektors = y (1.1) geben dnn die Entfernungen n, die in Richtung der Koordintenchsen urückulegen sind, um vom nfngspunkt bis um Endpunkt des Vektors u gelngen, ild 1.1. Die Komponentendrstellung von Vektoren hängt vom gewählten Koordintensystem b. ei der Verwendung von mehreren Koordintensystemen ist es deshlb notwendig, ds ur Drstellung verwendete Koordintensystem usätlich u vermerken. Entsprechend ild ugust Otto öppl ( ) wr von 1894 bis 1922 Professor für Technische Mechnik und grfische Sttik n der Technischen Hochschule München knn der Vektor mit, = 1 y ild 1.2: Koordintensysteme oder, = (1.2) in dem Koordintensystem oder drgestellt werden. 1.3 leichheit Die leichheit weier Vektoren = b (1.3) knn nur überprüft werden, wenn beide Vektoren in einem gemeinsmen Koordintensystem K drgestellt werden. Dnn folgt us (1.3) uch die leichheit der Komponenten y } {{ },K = b b y b } {{ } b,k. (1.4) 1

8 OTH Regensburg Technische Mechnik I 1.4 etrg Der etrg = = 2 + y (1.5) Mit einem hochgestellten T, dem Trnsponiert Zeichen, werden in der Mthemtik Zeilen und Splten einer Mtri vertuscht, bw. Splten- in Zeilenvektoren, =s T oder Zeilen- in Spltenvektoren s = T umgewndelt. gibt die Länge eines Vektors n und ist unbhängig von der Drstellung in unterschiedlichen Koordintensystemen. 1.5 Multipliktion mit Sklren ei der Multipliktion des Vektors mit einem Sklr λ b = λ (1.6) können die in der Tbelle 1.1 usmmengestellten älle unterschieden werden. 1.8 Sklrprodukt Ds Sklrprodukt ist eine multipliktive Verknüpfung eines Zeilen- mit einem Spltenvektor. Ds Ergebnis ist eine Zhl (Sklr). Sind und b Spltenvektoren, dnn erhält mn ds Sklrprodukt us [ ] b = T b = y b y = b + y b y + b. b (1.11) Ds Sklrprodukt ist kommuttiv λ > 1 λ < λ < 1 λ -1 < λ < λ λ < -1 λ T b = b T. (1.12) eeichnet α den Winkel wischen den beiden Vektoren und b, dnn gilt Tbelle 1.1: Multipliktion mit einem Sklr 1.6 Einheitsvektoren Jeder Vektor beinhltet ls Informtion etrg und Richtung. Mit = e (1.7) können diese Informtionen ufgesplten werden. Der Einheitsvektor e = (1.8) ht die Länge 1 und gibt nur noch die Richtung n. 1.7 Splten- und Zeilenvektoren Je nch dem, ob die Komponenten eines Vektors unteroder nebeneinnder ngeschrieben werden, spricht mn von einem Splten- oder Zeilenvektor s = s sy s (1.9) = [ y ]. (1.1) T b = b cos α (1.13) Verschwindet ds Sklrprodukt, T b =, dnn stehen die Vektoren und b senkrecht ufeinnder (Orthogonlitätsbedingung). 1.9 Kreuprodukt Ds Kreuprodukt weier Vektoren ist nur im dreidimensionlen Rum definiert und ereugt über b = c (1.14) den Vektor c, der senkrecht uf der durch die Vektoren und b ufgespnnten Ebene steht. Die Orientierung knn über die Rechte-Hnd-Regel festgelegt werden: eigt der Dumen der rechten Hnd in Richtung von, der Zeigefinger in Richtung von b, so eigt der bgewinkelte Mittelfinger in Richtung von c = b, ild 1.3. Zur uswertung von (1.14) müssen wieder beide Vektoren im gleichen Koordintensystem drgestellt werden. Die Komponenten des Vektors c erhält mn us der Vorschrift c c y c = y b b y b y b b y = b b. (1.15) b y y b 2

9 = = 6.16, b = 7.28, c = 7.7; α = 65 ;.424 ec = , rde =.6124 und ee = , ee = , eec = Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill b 1.1 Übungen c Zhlenbeispiel egeben sind die Vektoren = 2 3 5, b 4 = 1 6 und c = ild 1.3: Rechte-Hnd-Regel Ds Kreuprodukt ist nti-kommuttiv. us (1.15) entnimmt mn sofort, dss b = b gilt. eeichnet α den Winkel wischen den Vektoren und b, dnn gilt b = b sin α. (1.16) Ds Vektorprodukt verschwindet lso, wenn die Vektoren prllel sind. Ermitteln Sie die eträge, den Winkel wischen den Vektoren und b sowie den Einheitsvektor u c. Überprüfen Sie mit den Vektoren, b und c die Richtigkeit der eiehungen ( ) b T c ( ) = b T c und ( ) ( b c = T c ) ( b b T c ). Lösung: Orts- und Einheitsvektoren Ein bei D fest im oden vernkerter ntennenmst wird usätlich durch drei Seile gehlten. Die Seile sind im Punkt E m Mst (DE = ) und in den Punkten, und C m oden befestigt. Die Punkte, und C bilden in der - y-ebene ein gleichseitiges Dreieck, wobei D = D = CD = gilt. E C D 6 o 6 o y ild 1.4: ntennenmst eben Sie die Ortsvektoren vom Koordintenursprung D u den Punkten,, C und E n und berechnen Sie die Einheitsvektoren e E, e E, e EC. Lösung: rd 3 2, rd = 2, rdc = 3

10 2 rundlgen 2.1 Erstmodelle Kräfte V i us. uf einen strren oder festen Körper, Durch die eschränkung uf ds Wesentliche und durch eine geeignete Systembgrenung knn ein reles System über Vereinfchungen und Idelisierungen in ein mthemtisch beschreibbres Erstmodell bgebildet werden. ΔV 2 ΔV 3 ΔV 4 ΔV 1 Δ V2 ΔV1 Δ V3 Δ ΔV V4 i Die Technische Mechnik knn bsierend uf die physiklischen Eigenschften der Erstmodelle in verschiedene ebiete unterteilt werden, Tbelle 2.1. Δ i Δ Oi Δ Vi Tbelle 2.1: Verschiedene Erstmodelle strrer Körper fester Körper deform. Körper flüssige u. gsf. Körper Stereo-Mechnik (TM I, TM III) estigkeitslehre (TM I, TM II) Erstmodelle Plsto- Mechnik luid-mechnik Strömungsmechnik Die Kontinuums-Mechnik fsst die Modellvorstellung fester, deformierbrer, flüssiger und gsförmiger Körper usmmen. In der Sttik und der Dynmik rbeitet mn in der Regel mit der Modellvorstellung des strren Körpers. In der Ebene knn ein strrer Körper f = 3 freie ewegungsmöglichkeiten usführen (wei trnsltorische und eine rottorische ewegung). Im Rum sind es f = 6 (drei trnsltorische und drei rottorische ewegungen). Die estigkeitslehre lässt mit der Modellvorstellung eines festen Körpers uteildeformtionen u, sett ber vorus, dss diese im Vergleich u den geometrischen bmessungen vernchlässigbr klein bleiben. Die ewegungen und die uf den Körper einwirkenden Kräfte und Momente können dnn in der Regel weiterhin mit dem Modell des strren Körpers ermittelt werden. 2.2 Kräfterten Ds rvittionsfeld oder elektro-mgnetische elder üben uf jedes Volumenelement V i eines Körpers die ild 2.1: Volumen- und Oberflächenkräfte der gn oder teilweise in einer lüssigkeit eingetucht ist, werden n jedem lächenlement i der benette Oberfläche die Kräfte Oi eingeprägt, ild2.1. Die uf ds Volumen- oder ds lächenelement beogenen Kräfte und q V q = V bw. q V = d dv = bw. q = d d (2.1) (2.2) werden ls Volumenkräfte q V oder lächenlsten q beeichnet, wobei mit d, V dv und d der renübergng u infinitesiml kleinen Kräften und Volumen- oder lächenelementen durchgeführt wird. Resultieren die Oberflächenkräfte us einer reinen Druckbelstung, dnn gibt p = d d (2.3) den Druck 1 m lächenelement d n. Die Streckenlst q L = d d, (2.4) 1 Drücke werden in N /m bw. P (Pscl) oder in N /mm bw. MP (Meg-Pscl) gemessen. 4

11 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill die uf ein Längenelement d beogene Krft d, stellt einen in der Pris sehr häufig uftretenden Sonderfll der lächenlst q dr. 2.3 Krftdrstellung Die einelnen Kräfte V i bw. Oi sind gerichtete rößen, die im dreidimensionlen Rum ls Vektoren drgestellt werden. So schreibt schreibt. öppl 2 im Vorwort u seinem uch Vorlesungen über Technische Mechnik (nd I) im Jhr 1898: Ich selbst hbe mich schon seit lnger Zeit du entschlossen, so weit es ngesichts der mthemtischen Vorkenntnisse, die mn vorusseten drf, ulässig ist, überll mit den Vektoren selbst u rechnen. Vor llem knn die Mechnik ohne erhebliche Einbuße n Klrheit und Übersichtlichkeit nicht uf den egriff der geometrischen Summe weier gerichteter rößen verichten. In der Mechnik werden usschließlich rechtwinklige und rechtshändige Koordintensysteme verwendet. Die Koordintenchsen, y und eigen dbei in die Richtung von Dumen, Zeigefinger und bgewinkelten Mittelfinger einer rechten Hnd, ild2.2. Die Rechts- ild 2.2: Koordintensystem und Krftvektor händigkeit ht ur olge, dss mit einer Drehung der - chse in Richtung der y-chse eine positive Drehung um die -chse definiert wird. erner ereugt die Drehung der y-chse in Richtung der -chse eine positive Drehung um die -chse und im Sinne einer yklischen Vertuschung ergibt die Drehung der -chse in Richtung der -chse eine positive Drehung um die y-chse. Die Orientierung einer Krft gebenüber den Koordintenchsen, y und gibt der Krftvektor 3 = y (2.5) 2 ugust Otto öppl ( ) wr von 1894 bis 1922 Professor für Technische Mechnik und grfische Sttik n der Technischen Hochschule München. 3 In der Mechnik werden in der Regel Spltenvektoren verwendet. über die Komponenten, y und n. Der etrg = = y + 2 (2.6) liefert die röße der Krft. Mit dem Krftvektor llein knn llerdings die Wirkung uf strre oder feste Körper noch nicht eindeutig beschrieben werden. 2.4 Krft und Krftwirkung llgemein Die Wirkung einer Krft knn sehr komple sein. So schreibt Wilhelm usch im sechsten Kpitel von lduin ählmm: Hier strott die cke voller Sft; d hängt die Hnd, gefüllt mit Krft. Die Krft infolge von Erregung, verwndelt sich in Schwungbewegung. ewegung, die in schnellem lite ur cke eilt, wird hier ur Hite. Die Hite ber, durch Entündung der Nerven, brennt ls Schmerempfindung bis in den tiefsten Seelenkern, und dies efühl ht keiner gern. Ohrfeige heißt mn diese Hndlung, der orscher nennt es Krftverwndlung. In der Technischen Mechnik wird die Wirkung einer Krft durch ds Vermögen beschrieben, Deformtionen hervorurufen und/oder einen Körper u beschleunigen. ei dem in ild 2.3 skiierten Schnpp- ild 2.3: Schnppverschluss m Schließbeginn verschluss sorgen die Kontktkräfte dfür, dss beim Schließen die ügel unächst nch innen gebogen werden, dnn ber wieder in die usgngslge urückfedern und so eine formschlüssige Verbindung gewährleisten. Ein olfbll wird beim bschlg etrem deformiert, ild 2.4. Die us dem über die Kontktfläche verteilten Druck p = d/d resultierende Krft = d = p d (2.7) 5

12 OTH Regensburg Technische Mechnik I ild 2.4: olfbll beim bschlg erst deformiert und dnn beschleunigt beschleunigt dnn ber den olfbll im Zeitintervll t (Kontktphse) uf die eschwindigkeit v Krftwirkung uf strre Körper ei einem strren Körper treten per Definition keine Deformtionen uf. Die Wirkung einer Krft knn somit nur durch ds Vermögen beschrieben werden, den Körper u eschleunigen. In ild 2.5 ist ein quderförmiger Körper mit den Kntenlängen, b und c drgestellt, der im Eckpunkt P mit der Krft belstet wird. c b y c y r P P y y y y b b ild 2.5: Krftwirkung uf einen strren Körper c y y Im Koordintensystem, ds sich hier n den Knten des Quders orientiert, beschreiben dnn die Vektoren = y und r P = b c (2.8) die Krft und ihren ngriffspunkt. Wie in ild 2.5 rechts oben drgestellt, verurscht die Krftkomponente eine Verschiebung in -Richtung (trnsltorische eschleunigung) sowie Drehungen um die y- und die -chse (rottorischen eschleunigungen). Die Verschiebung in -Richtung ist proportionl ur Krftkomponente. Neben der Krftkomponente entscheiden uch ihre bstände c und b von der - und - chse über die röße der Drehungen. Die Wirkung einer im Punkt P ngreifenden Krft in -Richtung, knn beüglich des Koordintenursprungs somit durch die Krftkomponente selbst und die im olgenden ls Momente 4 beeichneten Produkte M y ( ) = c sowie M ( ) = b beschrieben werden. Im Sinne, der in ild 2.2 definierten positiven Drehrichtungen, erfolgt dbei die Drehung um die y-chse in positiver und die um die -chse in negtiver Drehrichtung, ws durch entsprechende Voreichen in M y und M berücksichtigt wird. nlog du wird die Wirkung einer Krft in y- Richtung durch die Krftkomponente y selbst und die Momente M ( y ) = c y sowie M ( y ) = y beschrieben. erner chrkterisieren die die Krftkomponente und die Momente M ( ) = b sowie M y ( ) = die Wirkung einer Krft in - Richtung. sst mn nun die Komponenten, y, wieder im Krftvektor usmmen, dnn knn die Wirkung von uf den strren Körper durch die Vektoren = y und M = b c y c y b (2.9) beschrieben werden. D die Krft im Punkt P ngreift und die Wirkung uf den Punkt beogen wurde, tuchen im Momentenvektor M die Komponenten, b, c des Ortsvektors r P uf. Der Momentenvektor entsteht lso us einer multipliktiven Verknüpfung des Ortsvektors mit dem Krftvektor. Wegen b c y = b c y c y b (2.1) knn gn llgemein die Momentenwirkung einer Krft uf einen strren Körper durch ds Kreu- oder Vektorprodukt M = r P (2.11) ermittelt werden. reift eine Krft im Punkt P n einem strren Körper n, dnn knn deren Wirkung uf einen strren Körper durch die Krft selbst und ds Moment M = r P, ds die Krft beüglich eines beliebigen Punktes ereugt, eindeutig beschrieben werden. Die Kombintion [, M ] wird uch ls Krftwinder beeichnet. 4 Moment = Hebelrm Krft 6

13 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill Wirkungslinie Ein Linie in Richtung der Krft, die durch den ngriffspunkt P läuft, mrkiert die Wirkungslinie der Krft, ild2.6. Unterteilt mn den Vektor vom eugs- ild 2.6: Wirkungslinie einer Krft punkt um ngriffspunkt P der Krft gemäß r P = r + r (2.12) in die nteile r und r, die senkrecht und prllel um Krftvektor verlufen, dnn gilt für die Momentwirkung der Krft M = r P = ( r + r ) = r + r (2.13) Wegen r verschwindet ber der lette Term, r = und es bleibt M = r mit M = r, d r. (2.14) ür die Momentenwirkung einer Krft uf einen strren Körper ist lso lediglich der durch den Vektor r beschriebene bstnd vom eugspunkt ur Wirkungslinie entscheidend. olglich knn eine Krft längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dss sich ddurch ihre Wirkung uf einen strren Körper ändert Nullkrft Ein strrer Körper wird in den Punkten P und Q durch Kräfte belstet, die mit 1 = und 2 = gleich groß, ber entgegengesett gerichtet sind und uch noch die gleiche Wirkungslinie hben, ild 2.7. Die Wirkung der in P und Q ngreifenden Kräfte 1 und 2 uf einen strren Körper beschreiben die resultierende Krft res = (2.15) und ds resultierende Moment, ds uf den eugspunkt beogen wurde. ild 2.7: Nullkrft beschreiben dnn Nch Verschieben der Kräfte längs der gemeinsmen Wirkunglinie PQ in den Punkt S, der den bstnd der Wirkungslinie vom eugspunkt mrkiert, bleibt M = r P 1 + r Q 2 = r 1 + r 2 = r ( ) (2.17) Wegen 1 = und 2 = verschwindet die resultierende Krft res = = = (2.18) und entsprechend leichung (2.17) dnn uch ds resultierende Moment M = r ( ) = r ( ) =. (2.19) Die Kräfte 1 = und 2 =, die uf der gleichen Wirkungslinie liegen, entsprechen folglich einer Nullkrft, d sich ihre Wirkungen uf einen strren Körper ufheben. Verlässt mn llerdings die Modellvorstellung des strren Körpers, dnn ist u bechten, dss Kräfte, die in verschiedenen Punkten ngreifen, stets Deformtionen hervorrufen Dehnung Im Zugversuch nch DIN EN 1 2 wird eine Probe mit kreisförmigen oder rechteckigen Querschnitten in chsrichtung durch gleichgroße ber entgegengesett gerichteten Kräfte vom etrg belstet, ild 2.8. Der ild 2.8: Zugstb uf der Probe mrkierte bschnitt der Länge L wird dbei uf die Länge L gedehnt. eieht mn die Längenänderung L = L L uf die unverformte Länge L, dnn erhält mn mit M = r P 1 + r Q 2 (2.16) ϵ = L L L = L L (2.2) 7

14 OTH Regensburg Technische Mechnik I eine dimensionslose röße, die ls Längsdehnung beeichnet wird. In der Pris werden Dehnungen meist in % ngegeben. Neben einer Dehnung in elstungsrichtung kommt es uch u einer Kontrktion in Querrichtung. Die Querkontktionshl µ beschreibt diesen Effekt Kräftepr Die Kräfte 1 = und 2 =, die in den Punkten P und Q n einem strren Körper ngreifen, sind gleich groß, ber entgegengesett gerichtet. Ihre Wirkungslinien sind prllel und hben den bstnd, ild 2.9. Die Wirkung der beiden Kräfte uf den strren Kör- ild 2.9: Kräftepr äquivlent u Einelmoment per wird nlog u leichung (2.18) wieder durch eine verschwindende resultierende Krft = + = (2.21) beschrieben. Im Unterschied u leichung (2.19) bleibt nun llerdings eine Momentenwirkung, die sich nch geeignetem Verschieben der beiden Kräfte längs ihrer Wirkungslinien us M = r 1 + ( r + r ) 2 = r ( ) + r 2 (2.22) ergibt. Wobei der Vektor r mit der Länge r = den bstnd der Wirkungslinien beschreibt. Mit 1 = und 2 = bleibt M = r ( + ) + r = r = M (2.23) ein Moment M = M, ds nicht mehr von einem speiellen eugspunkt bhängt. Ein Kräftepr, us wei gleich großen, ber entgegengesett gerichteten Kräften mit dem etrg, deren Wirkungslinien den bstnd hben, ist in der Wirkung uf einen strren Körper einem reinem Einelmoment (die resultierende Krft ist j Null) mit dem etrg M = r = (2.24) äquivlent. Der Momentenvektor M steht dbei senkrecht u der Ebene, die durch die beiden Kräfte ufgespnnt wird. In der Zeichenebene wird er in der Regel durch einen kreisförmigen Pfeil ngedeutet Scherverformung Zwei Kräftepre, die sich in ihrer Wirkung uf einen strren Körper neutrlisieren, ereugen n einem festen Körper eine Verformung, die ls Scherung oder leitung beeichnet wird, ild 2.1. Der Winkel γ, 9 o γ ild 2.1: Scherverformung der die bweichung des verformten Winkels vom ursprünglich rechten Winkel ngibt, beschreibt den rd der Verformung. Er wird ls leitung beeichnet Ds Äquivlenprinip Jedes System von Kräften, 1, 2,... N und Einelmomenten M 1, M 2,... M M, die die Wirkung von Kräftepren usmmenfssen, knn in seiner Wirkung uf einen strren Körper in äquivlenter Weise durch einen Krftwinder [, M ] beschrieben werden ild r 1 M 1 r 2 2 M 2 M... r N y N M M... ild 2.11: Ds Äquivlenprinip Der Krftwinder besteht us der resultierenden Krft y 8

15 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill = N = und dem resultierenden Moment M = N r i i + i=1 N i (2.25) i=1 M M i (2.26) beüglich eines beliebigen eugspunktes, ds sich us der Momentenwirkung der Einelkräfte und den Einelmomenten usmmensett Streckenlst i=1 Mit der Definition der Streckenlst (2.27) erhält mn schließlich = 1 Länge q L () d, (2.3) wobei die resultierende Krft us leichung (2.28) folgt eispiel ls eispiel wird die elstung einer Stumuer durch den mit der Wssertiefe nsteigenden Druck betrchtet, ild eeichnet ϱ die Wsserdichte und д die Definition In der Pris kommt es häufig vor, dss Kräfte längs einer Linie verteilt sind, ild Die bereits in lei- h q() q h ild 2.13: Stumuer ild 2.12: Streckenlst und äquivlente Einelkrft chung (2.4) definierte Streckenlst q L () = d d (2.27) beieht die n der Stelle wirkende Krft d uf ds Streckenelement d und beschreibt so diese orm von elstungen. Die Wirkung einer Streckenlst q L = q L () uf einen strren Körper knn durch eine n der Stelle wirkende Krft ersett werden. Dem Äquivlenprinip entsprechend, ist die resultierende Krft die Summe der Einelkräfte. nstelle der Summe tritt hier ds Integrl über die Länge L der Streckenlst und liefert = d = Länge q L () d. (2.28) Die Momentenwirkung der Krft beüglich dem Punkt, die über den Hebelrm mit bestimmt ist, muss der Momentenwirkung der verteilten Kräfte d entsprechen = Länge d. (2.29) Erdbeschleunigung, dnn ist der Druck in der Tiefe h mit p h = ϱдh gegeben. Die Streckenlst q() = q h h mit h (2.31) beschreibt dnn mit q h = bp h die uf eine Stumuer der reite b wirkende elstung. emäss leichung (2.28) ist die äquivlente Einelkrft dnn durch =h = q h h d = q =h h d h = = = q [ ] =h h 1 h 2 2 = 1 2 h q h = (2.32) gegeben. Schließlich erhält mn us leichung (2.3) den Hebelrm = 1 = 2 h 2 =L = q h h d = 2 q h hq h h [ ] =h = =h 2 d = (2.33) = 2 3 h. Mn erkennt, dss die läche der dreiecksförmigen elstung, die hier durch die Länge h und die Höhe q h gekenneichnet ist, mit dem Wert der resultierenden Krft übereinstimmt. Zudem läuft die Wirkungslinie 9

16 OTH Regensburg Technische Mechnik I von, deren Lge durch den Hebelrm beschrieben wird, durch den Schwerpunkt der dreiecksförmigen elstung. Diese Zusmmenhänge gelten llgemein für beliebige Streckenlsten lächenlst Wind- oder Kontktkräfte sind häufig über die Oberoder die Kontktfläche verteilt. Die bereits in leichung (2.2) definierte lächenlst q (,y) = d d (2.34) beschreibt diese orm von elstung, wobei die über die läche verteilten Kräfte d uf ein lächenelement d beogen werden, ild nlog u bd y d q (,y) ild 2.14: lächenlst schnitt knn die Wirkung einer lächen lst uf einen strren Körper wieder durch eine resultierende Einelkrft = läche d = läche beschrieben werden. Die Koordinten = 1 läche q d und y = 1 y y q d (2.35) läche y q d (2.36) legen dnn die Wirkungslinie der resultierenden Krft fest, die hier entsprechend der elstung in - Richtung verläuft. 2.5 Schwerpunkte ewichtsmittelpunkt Die ewichtskrft, die uf der Mssenniehung wischen der Erde und einem Körper beruht, ist eine Volumenkrft. uf jedem Mssenelement dm = ϱdv wird die Krft d eingeprägt, ild ild 2.15: ewichtsmittelpunkt Die Integrtion über den gnen Körper liefert mit = d (2.37) Körper die resultierende ewichtskrft. Die über den Körper verteilten Kräfte d und die resultierende Krft hben die gleiche Wirkung uf den strren Körper, wenn die entsprechenden Momente beüglich übereinstimmen r S = r i d. (2.38) Körper Der Vektoren r S beschreibt dbei den ngriffspunkt S der resultierenden ewichtskrft und der Vektor r i eigt der Reihe nch uf lle Mssenelemente dm des Körpers. In Erdnähe knn die Mssenniehung wischen einem Körper und der Erde durch ein homogenes Schwerefeld pproimiert werden. Die ewichtskräfte d sind dnn lle prllel. Orientiert mn die chsen des Koordintensystems so, dss die -chse in Richtung der ewichtskräfte eigt, dnn gilt d = d und =, (2.39) wobei die eiehung (2.37) uf die -Komponente der resultierenden ewichtskrft ngewendet wurde. Mit der Koordintendrstellung der Ortsvektoren r i = i y i i und r S = S y S S (2.4) 1

17 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill lutet die Äquivlenbeiehung (2.38) S y S S = Körper i y i i d. (2.41) Nch dem uflösen der Kreuprodukte bleibt y S = y i d, S = i d und = (2.42) Die beiden ersten leichungen liefern mit S und y S die - und y-komponente des Ortsvektors r S. D sich die Wirkung der ewichtskrft hier nicht ändert, wenn sie längs ihrer Wirkungslinie, der -chse, verschoben wird, bleibt die -Komponente, die Koordinte S, unächst unbestimmt. Dreht mn den strren Körper so, dss die ewichtskräfte d nicht mehr in - sondern.. in -Richtung wirken, dnn liefert die Äquivlenbeiehung (2.38) uch eine estimmungsgleichung für die -Komponente des Ortsvektors r S. Der ewichtsmittelpunkt S, der uch ls Schwerpunkt beeichnet wird, ist llgemein durch die Komponenten S = 1 i d y S = 1 y i d Körper Körper S = 1 (2.43) i d oder den Ortsvektor r S Körper = 1 r i d (2.44) Körper definiert, wobei ds ewicht des Körpers durch = Körper d (2.45) bestimmt ist. D über den räumlich usgedehnten Körper integriert wird, entspricht ds Integrlsymbol hier einem Dreifchintegrl Mssenmittelpunkt nlog u den Definitionen (2.44) und (2.45) knn mit r S = 1 r i dm, und m = dm (2.46) m Körper Körper uch der Mssenmittelpunkt definiert werden, wobei m die Msse des Körpers beeichnet. Im homogenen Schwerefeld sind der ewichts- und der Mssenmittelpunkt eines strren Körpers identisch. Mit dem ewicht = m д, dem Differentil d = д dm und der ls konstnt vorusgesetten Erdbeschleunigung д können die eiehungen (2.44) und (2.45) direkt in die Definition (2.46) überführt werden Volumenmittelpunkt Der Volumenmittelpunkt eines strren Körpers ist durch die Definitionen r S = 1 r i dv mit V = dv (2.47) V Körper Körper festgelegt. ei homogener Mssenverteilung ist die Msse des Körpers mit m = ρ V proportionl um Volumen V, wobei ρ die Dichte beeichnet. Dnn sind uch der Mssen- und der Volumenmittelpunkt identisch lächenmittelpunkt Der Mittelpunkt einer läche sowie ihre röße sind durch r S = 1 r i d und = d (2.48) läche läche definiert. D jett nur mehr über eine läche integriert wird, entspricht ds Integrlsymbol hier einem Doppelintegrl. ei lechen mit dünner Wndstärke t knn ds Volumenelement uf ein lächenelement reduiert werden, ild Mit der Erdbeschleunigung д, der Dichte ρ und der Wndstärke t, die lle ls Konstnte betrchtet werden, gilt dnn d = д dm = д ρ dv = д ρ t d und = д ρ t. (2.49) Dmit können die in den leichungen (2.44) und (2.45) erforderlichen Integrtionen über den Körper (Dreifchintegrl) uf die in leichung (2.48) uftretenden Integrtionen über eine läche (Doppelintegrl) urückgeführt werden. 11

18 OTH Regensburg Technische Mechnik I ild 2.16: Dünnwndiges lech r S = n { } mi r i i=1 (2.53) n m i wobei m i die Msse des i-ten Teilkörper beeichnet und der Vektor r i die Lge des i-ten Teilkörperschwerpunktes S i ngibt. Die eiehung (2.53) knn sinngemäß uch für lle nderen Schwerpunkte ngewendet werden. i= Linienmittelpunkt nlog u (2.48) definieren die eiehungen r S = 1 r i ds mit L = ds (2.5) L Linie Linie den Mittelpunkt S sowie die Länge L einer Linie, wobei ds ein infinitesiml kleines Linienstück beeichnet Zusmmengesette Körper Definition Sett sich ein Körper us wei oder mehreren Teilkörpern usmmen, dnn können bei der Schwerpunktsberechnung die Integrle ufgeteilt werden, ild nlog u (2.46) gilt für wei Teilkörper eispiel L-Profil y s b 1 2 Der Querschnitt eines L-Profils sett sich us wei Rechtecken usmmen. Die in ild 2.18 relisierte uf ild 2.18: Schwerpunkt eines L-Profils teilung führt uf Rechtecke mit den Knten und s sowie s und b s. nlog u (2.51) ist die Querschnittsfläche dnn durch = }{{} s + (b s) s (2.54) } {{ } 1 2 gegeben. Die Koordinten des lächenmittelpunktes erhält mn gemäß (2.53) us s m = und r S ild 2.17: Zusmmengesetter Körper dm 1 + dm 2 oder m = m 1 +m 2 (2.51) K 1 K 2 = 1 { } r 1i dm 1 + r 2i dm 2 m K 1 K 2 = 1 { } m 1 r 1 + m 2 r 2 m1 r 1 + m 2 r 2 = m m 1 +m 2 (2.52) S = , y S = 1y y (2.55) Mit den Schwerpunktsbständen 1 =/2, y 1 =s/2, 2 = s/2, y 2 =s + (b s)/2= (b+s)/2 und den Teilflächen us (2.54) ergibt sich und y S S = s (b s)s 1 2 s s + (b s)s = s 1 2 s +(b s)s 1 2 (b+s)) s + (b s)s = 1 2 = bs s 2 + b s (2.56) b 2 +s s 2 + b s. (2.57) uf mehrere Körper verllgemeinert erhält mn 12

19 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill Rottionskörper uldinsche Regeln Eine Linie der Länge L, die in einer Ebene liegt und die um eine in dieser Ebene liegenden chse rotiert, ereugt einen rottionssymmetrischen Hohlkörper mit der Oberfläche O, ild Dnn ist die Oberfläche gemäß der 1. uldinsche Regel durch O = 2 π L S (2.58) bestimmt, wobei die Drehchse die Linie berühren ber ild 2.19: Oberfläche eines Drehkörpers nicht schneiden drf und L die Länge der Kurve und S der bstnd des Linienmittelpunktes von der Drehchse ist. Die Rottion einer ebenen läche um eine in ihrer Ebene liegenden und die läche nicht schneidende chse ereugt einen Drehkörper, ild 2.2. Sein Volumen er- ild 2.2: Volumen eines Drehkörpers rechnet sich gemäß der 2. uldinsche Regel us V = 2 π S, (2.59) wobei der Inhlt der ereugenden läche und S der bstnd des lächenmittelpunktes von der Drehchse ist eispiel: L-Profil Mit den uldinschen Regeln können uch Schwerpunktsbstände berechnet werden. Lässt mn ds in ild 2.18 skiierte L-Profil um die y- chse rotieren, dnn entsteht ein Rottionskörper, dessen Volumen durch V = π 2 s + πs 2 (b s) (2.6) gegeben ist. Mit (2.6) und der Querschnittsfläche, die bereits in (2.54) berechnet wurde, knn us (2.59) sofort die -Koordinte des lächenmittelpunktes berechnet werden s = V 2π = π2 s + πs 2 (b s). (2.61) 2π (s +(b s)s) Nch Küren mit π und s führt (2.61) uf ds Ergebnis in (2.56). Eine Rottion des L-Profils um die -chse würde über (2.59) ur Schwerpunktskoordinte y S führen. 2.6 leichgewicht Ds leichgewichtsiom Nch Newton 5 befindet sich ein mechnisches System im Zustnd der Ruhe (leichgewicht) oder im Zustnd der gleichförmigen gerdlinigen ewegung, wenn die ngreifenden Kräfte und Momente in ihrer Wirkung uf einen strren Körper einem verschwindenden Krftwinder mit = und M = äquivlent sind. Wegen (2.25) und (2.26) bedeutet dies N i = und i=1 N r i i + i=1 M M i =, (2.62) wobei der Momentenbeugspunkt beliebig gewählt werden knn. Mit der Komponentendrstellung der Vektoren i = i yi i, r i = i y i i i=1, M i = M i M yi M i folgen us (2.62) sechs sklre leichungen i =, yi =, i =, (yi i i yi ) + M i =, (i i i i ) + M yi =, (i yi y i i ) + M i =. (2.63) (2.64) 5 Sir Isc Newton ( ) wr Nturwissenschftler und Philosoph. Mit der Philosophie Nturlis Principi Mthemtic legte er den rundstein für die klssische Mechnik. 13

20 OTH Regensburg Technische Mechnik I ei ebenen Problemen stehen nur drei leichungen ur Verfügung. In der -, -Ebene um eispiel verschwinden lle y-komponenten und es bleiben mit i =, i =, (i i i i ) + M yi = (2.65) nur noch die Krftkomponenten in der Ebene und die Momentenkomponente senkrecht ur Ebene übrig. Körpern, werden die Lgerrektionen sichtbr (ctio = rectio bechten!) Lger in der Ebene Die verschiedenen Lgertypen in der Ebene sind in der Tbelle 2.2 usmmengestellt. Symbol und Nme Kinemtik ewegungsmöglichkeiten Sttik Wertigkeit egenwirkungsprinip Wenn wei Körper Kräfte (und/oder Momente) ufeinnder usüben, dnn sind Krft und egenkrft, bw. Moment und egenmoment entgegengesett gerichtet und dem etrge nch gleich groß (ctio = rectio) Schnittprinip efindet sich ein mechnisches System im leichgewicht, dnn sind uch beliebige Teilsysteme usmmen mit den entsprechenden Schnittrektionen im leichgewicht. Im Rum stehen dmit pro Teilsystem n = 6 und in der Ebene n = 3 leichgewichtsbeiehungen ur Verfügung. verschiebliches elenklger festes elenklger ührung feste Einspnnung Drehung um y Verschiebung in Drehung um y Verschiebung in keine Krft in einwertig Kräfte in und weiwertig Krft in Moment um y weiwertig Kräfte in und Moment um y dreiwertig 2.7 Lger Definition und Wertigkeit Lger sind uelemente wischen einem mechnischen System und der Umgebung oder wischen wei Körpern. In der Modellbildung werden us relen Lgern Elemente, die in ideler Weise einelne ewegungen (Verschiebungen und/oder Drehungen) ungehindert ulssen oder vollständig sperren. Die Wertigkeit eines Lgers ist gleichbedeutend mit der nhl der ddurch gesperrten ewegungsmöglichkeiten Rektionen Wird ein mechnisches System durch Kräfte und/oder Momente belstet, dnn knn es sich nur im leichgewicht befinden, wenn in den Lgern den Wertigkeiten entsprechende Rektionen, d.h. Kräfte und/oder Momente, uftreten. eim reischneiden eines mechnischen Systems, d.h. beim Zerlegen des Systems in Teilsysteme im Etremfll bis herunter u den einelnen Tbelle 2.2: Lger in der Ebene Um einen Körper in der Ebene u fiieren, sind Lger erforderlich, die insgesmt über drei Wertigkeiten verfügen. Dies knn.. mit einer festen Einspnnung, einem festen und einem verschieblichen elenklger, drei verschieblichen elenklgern oder mit einer ührung und einem verschieblichen elenklger relisiert werden. ei der Kombintion von Lgern muss druf gechtet werden, dss die Wertigkeiten der einelnen Lger sich nicht gegenseitig behindern Räumliche Lger Mit einem Kugel- und einem Schrniergelenk sind in der ild2.21 wei räumliche Lgerelemente drgestellt. eim räumliche Kugelgelenk knn der Körper 2 gegenüber Körper 1 sämtliche Drehbewegungen usführen. Im elenkpunkt werden jedoch lle trnsltorischen ewegungen gesperrt. Ds räumliche Kugelgelenk überträgt in llen 3 Rumrichtungen Kräfte und 14

21 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill Körper 1 y Körper 2 ild 2.21: Kugel- und Schrniergelenk ist dmit ein 3-wertiges Lger. Ds skiierte Schrniergelenk wischen Körper 1 und Körper 2 lässt eine Drehung um die -chse und eine Verschiebung in - Richtung u. Die restlichen 4 ewegungen werden verhindert. Ds skiierte Schrniergelenk überträgt Kräfte in - und y-richtung sowie Momente um die - und y-chse und stellt dmit ein 4-wertiges Lger dr estimmtheit einer Lgerung In der Ebene bw. im Rum verfügt jeder Teilkörper eines mechnischen Systems über b = 3, bw. b = 6 freie ewegungsmöglichkeiten. Werden diese ewegungsmöglichkeiten durch Lger eingeschränkt, dnn muss beim reischneiden des Körpers die Wirkung der Lger durch unbeknnte Lgerrektionen ersett werden. Die nhl u der unbeknnten Lgerrektionen ist durch die Summe der Wertigkeiten bestimmt. Können bei gegebener elstung die unbeknnten Lgerrektionen us den leichgewichtsbeiehungen llein bestimmt werden, dnn wird ds System ls sttisch bestimmt beeichnet. Die sttische estimmtheit eines Systems knn us der eiehung n = u t (2.66) berechnet werden, wobei u die nhl der unbeknnten Lgerektionen und t die nhl der ttsächlich ur Verfügung stehenden leichungen ngibt. In der Ebene bw. im Rum stehen wr für jeden Teilkörper 3 bw. 6 leichgewichtsbeiehungen ur Verfügung, doch in Sonderfällen können einige leichungen ur trivilen eiehung = entrten. Deshlb knn die nhl der ttsächlich ur Verfügung stehenden leichungen mit t 3, bw. t 6 nur nch oben begrent, nicht ber vorb eindeutig bestimmt werden. In vielen ällen knn einem mechnischen System ngesehen werden, ob es trot Lgerung noch über ewegungsmöglichkeiten verfügt. Die nhl der reiheitsgrde (verbleibende ewegungsmöglichkeiten) genügt der eiehung f = b t. (2.67) Die nhl der freien ewegungsmöglichkeiten knn pro Teilsystem in der Ebene mit b = 3 und im Rum mit b = 6 ngegeben werden. ei beknntem f knn dmit t sehr leicht us (2.67) bestimmt werden. ei n > ist ds System n-fch sttisch überbestimmt. In solchen ällen ist eine vollständige erechnung der Lgerrektionen nur möglich, wenn uch uteil- und/oder Lgerverformungen mit einbeogen werden. In einigen ällen können umindest einige Lgerrektionen us den leichgewichtsbeiehungen berechnet werden. ei sttisch überbestimmter Lgerung besteht die efhr einer inneren Verspnnung, die u erheblichen Lgerbelstungen führen knn. Eine sttisch überbestimmte Lgerung wird in der Regel nur bei sehr nchgiebigen uteilen verwendet. Die überähligen Lger stüten ds uteil usätlich b und verhindern so u große Verformungen. 2.8 Speielle Lgerelemente Die Umlenkscheibe Zum Heben einer Lst mit dem ewicht wird ein Seil um eine n der Decke befestigte Scheibe geführt, ild2.22. Die Scheibe mit dem Rdius r ist in ihrer Mitte ild 2.22: Umlenkscheibe reibungsfrei drehbr gelgert. Durch einen Schnitt im Seil knn ds Teilsystem Lst bgetrennt werden. Hier liefert ds leichgewicht in vertikler Richtung sofort ds Ergebnis S =. (2.68) Ein weiterer Schnitt im Lger legt ds Teilsystem Scheibe frei. us der Momentensumme beüglich der Scheibenmitte S r r = (2.69) folgt sofort = S. (2.7) 15

22 OTH Regensburg Technische Mechnik I D eine widerstndslos drehbre Scheibe die Seilkrft bei sttischer elstung nicht verändert, wird sie ls Umlenkscheibe beeichnet. Ds Ergebnis = S knn dnn bereits beim reischneiden berücksichtigt werden. Die Lgerbelstungen H und V können us dem Kräftegleichgewicht m Teilsystem Scheibe cos α + H =, sin α + V = (2.71) ermittelt werden, wobei die eiehungen (2.68) und (2.7) bereits berücksichtigt wurden Ds frei rollende Rd ild 2.23 eigt einen einchsigen Krren, der von einem Esel eine unter dem Winkel α geneigte Ebene hinuf geogen wird. Der beldene Krren ht ds ewicht b wobei ds ewicht der Räder gegenüber dem ewicht P der Krre vernchlässigt wurde. m Krren wurde die S Momentensumme beüglich Punkt P und bei den Rädern beüglich der chsmitte ngesett. D ein reibungsfrei drehbres chslger ngenommen wurde, d r h können uf rund von (2.77) in den Kontktpunkten α keine Reibkräfte uftreten. Wegen R = verschwindet gemäß (2.75) uch die -Komponente im chslger. Sett mn = und die us (2.76) folgende eiehung y = N in die leichungen (2.72) bis (2.74) ein, ild 2.23: Eselskrren uf schiefer Ebene dnn erhält mn und der Schwerpunkt S liegt im bstnd vor der sin α + P = (2.78) chsmitte und im bstnd h über der hrbhn. Die N cos α + P y = (2.79) mit dem Krren fest verbundene Deichsel befindet sichb cos α + (h d) sin α ( + b) N = (2.8) uf der Höhe d über der hrbhn und ist in P gelenkig Dies entspricht ber genu den leichgewichtsbeiehungen für ds im ild 2.25 drgestellten System Kr- m eschirr befestigt. Der bstnd wischen S und P ist mit b gegeben. ür die weitere etrchtung wirdren ngenommen, dss der Esel stehen bleibt und ds System mit Rädern. Die us den leichgewichtsbeiehunsich im leichgewicht befindet. b y y S h-d α b Krren d-r Räder P y ild 2.24: Wesentliche Teilkörper Die wesentlichen Teilkörper sowie die Schnittrektionen sind in ild 2.24 drgestellt. Dbei orientiert sich 16 r y N P R ds -y-koordintensystem n der unter dem Winkel α geneigten Ebene. In den Kontktpunkten 6 wischen den Rädern und der hrbhn treten Norml- und Reibungskräfte uf, die in N und R usmmengefsst sind. Die Schnittrektionen im elenk P und im chslger verfügen jeweils über eine - und eine y-komponente. Die leichbewichtsbeiehungen für die beiden Teilsyteme Krren und Räder liefern sin α + P = (2.72) y cos α + P y = (2.73) b cos α + (h d) sin α + (d r ) (+b) y = (2.74) y S r N h α R = (2.75) N y = (2.76) d r R = (2.77) P y ild 2.25: Krren mit frei drehbren Rädern gen (2.78) bis (2.8) folgenden Unbeknnten, die Normlkrft N = (b cos α + (h d) sin α) / (+b) sowie die Kräfte im elenkpunkt P = sin α und P y = ( cos α (h d) sin α ) / (+b) hängen dnn nicht mehr von der Rdius der Räder r b. 6 Kontktkräfte und insbesondere Reibungseffekte werden im Kpitel 7 usführlich behndelt. P

23 Technische Mechnik I (Sttik) Prof. Dr.-Ing.. Rill Die Pendelstüte Ein unbelstetes uelement mit vernchlässigbrem Eigengewicht, ds n beiden Enden gelenkig gelgert ist, wird ls Pendelstüte beeichnet, ild Ds ild 2.26: Pendelstüte Kräftegleichgewicht n der freigeschnittenen Pendelstüte liefert unächst + =, y + y =, + =, (2.81) wobei die -chse in Richtung der Linie eigt. us dem Momentengleichgewicht beüglich elenkpunkt erhält mn y =, =, (2.82) =, wobei den bstnd der elenkpunkte ngibt. Wegen folgt us (2.82) y = und =. Dmit liefert (2.81) dnn uch y = und =. Die Pendelstüte knn lso senkrecht ur Verbindungslinie der Lgerungspunkte keine Kräfte übertrgen. Die dritte leichung in (2.81) knn folglich beim reischneiden mit = und = durch ds Prinip ctio = rectio ersett werden eispiel: Motorhube Die in und gelgerte Motorhube mit dem ewicht = 5 N wird durch einen in C und D gelenkig gelgerten Stb bgestütt, ild Der Lgerungspunkt fällt mit dem Ursprung des Koordintensystems usmmen. Der Schwerpunkt und die restlichen Lgerungspunkte werden durch die Koordinten = [ 15 ], C = [ ], D = [ 1 15 ], S = [ ] (2.83) festgelegt. Dmit es nicht u Verspnnungen kommt, muss die Motorhube in und gelenkig gelgert ild 2.27: bstütung einer Motorhube und Motorhube freigeschnitten sein, wobei eines der Lger,.. ds Lger in, in y- Richtung verschieblich sein muss und dmit in dieser Richtung keine Krft ufnehmen knn. Der n beiden Enden gelenkig gelgerte Stb ist eine Pendelstüte; er knn deshlb nur eine Krft in Richtung der Linie DC übertrgen, vgl. bschnitt ür die 6 Unbeknnten, y,,, und stehen 6 leichgewichtsbeiehungen ur Verfügung. In Vektorschreibweise luten sie und y } {{ } + } {{ } + e DC + }{{} = (2.84) } {{ } r + r C e DC + r S =, (2.85) wobei ls Momentenbeugspunkt der Lgerpunkt gewählt wurde und der Einheitsvektor e DC = r DC r DC die Richtung der Stbkrft ngibt. = r C r D r C r D Mit den Zhlenwerten us (2.83) erhält mn 5 r DC = wobei der etrg mit r DC = und e DC = r DC r DC (2.86).4 =.6,.693 (2.87) ( 5) 2 +( 75) = 125 (2.88) 17

24 = N und M = 1 Nm S = (Symmetrie) y1 1 + y2 2 + y3 3 + y4 4 y5 5 y6 6 + y7 7 ys = ys = 2 t + 2t + ( ) ( ) t4 t2 2 ( + t 4 ys = 2 ( ) t ) ( ) t2 2 t 4 ( ) t2 2 t 4 t +t + ( t 2+ ( ) t2 2 ( ) t2 2 ( ) t2 2+t 2) ) Ds Kräftegleichgewicht in vertikler Richtung liefert = = 16. kn b) Ds Momentengleichgewicht um die Hinterchse lutet (1 + 2) S = und liefert den Schwerpunktbstnd u S = 1+2 ( t2 ) 2 + ; t << : ys = = 1451 mm c) Die Momentenbiln um eine Linie durch 2 und 4 liefert (1 + 3) s ( 1 2 s + ys ) = ufgelöst bleibt ys = 1+3 s 12s = mm 75. mm = 9 mm 1 2 t y S 4 = 3 tn α OTH Regensburg Technische Mechnik I gegeben ist. Ds Momentengleichgewicht (2.85) liefert dnn =, wobei die Kreuprodukte bereits usmultipliiert wurden. ufgelöst bleibt =, = =18.5 N und = = N. 15 Dmit können us dem Kräftegleichgewicht (2.84) uch die Lgerrektionen in berechnet werden = ( + (.4) ) = 7.22 N, y = (.6) = 1.82 N, = ( ) = ( ) = 25 N. 2.9 Übungen U-Profil erechnen Sie für ds skiierte U-Profil die Lge des lächenmittelpunktes. t ild 2.29: U-Profil Knn ds Ergebnis für t << vereinfcht werden? ehälter Lösung: Der skiierte ehälter wird lngsm mit einer lüssigkeit der Dichte ρ ngefüllt Hndbohrer Ein Hndbohrer wird in den Punkten P und Q mit den Kräften 1 und 2 belstet. h y 1 b α P 2 Q ild 2.28: Hndbohrer erechnen Sie mit.1 r P =. m und r Q =.25 die Wirkung der Kräfte 1 = 1 N und 2 = m beüglich der ohrerspite (Punkt ). Lösung: N ild 2.3: ehälter ei welcher Höhe h beginnt der ehälter um die Knte bei u kippen? Lösung: h hreug ei einem hreug mit dem chsbstnd = 27mm und der Spurbreite s = 15mm werden n den Rädern die ufstndskräfte 1 = 4.5 kn, 2 = 4.1 kn, 3 = 3.6 kn und 4 = 3.8 kn gemessen. ) Wie schwer ist ds hreug? b) Wie weit liegt der Schwerpunkt des hreugs vor der Hinterchse? c) Liegt der Schwerpunkt links oder rechts von der hreugmitte? Wenn j, wie weit? Lösung: 18