18. Räumliche Tragsysteme

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1 8. Räumliche Trgssteme isher wurden nur Trgssteme betrchtet, die durch Lsten in einer Ebene bensprucht wurden. In der Pris treten ber häufig räumliche Strukturen uf mit Lsten in beliebiger Rumrichtung. Räumliches Fchwerk Räumliche lkenträger Greter New Orlens ridge 8. Räumliche Trgssteme us Hibbeler: Technische Mechnik

2 Die ehndlung räumlicher Probleme erfolgt mit den gleichen Methoden wie im ebenen Fll, erfordert jedoch ein räumliches Vorstellungsvermögen und ist mit einem erhöhtem erechnungsufwnd verbunden Räumliche Strukturen und Lsten werden i. llg. in einem räumlichen, krtesischen Koordintensstem beschrieben, wobei die chsen in der Reihenfolge, und ein rechtshändisches Sstem bilden. P (,b,c) c b Im Gegenst u ebenen Problemen lssen sich für räumliche Strukturen keine prktikblen grfischen Lösungsmethoden ngeben, so dss im folgenden nur die nltische Methoden behndelt werden. 8. Räumliche Trgssteme

3 8. Zentrles räumliches Kräftesstem Eine räumlich ngeordnete Gruppe von Kräften, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden, ist ein entrles räumliches Kräftesstem. 8.. Zusmmenfssen von Kräften Mehrere Kräfte F i im Rum werden u einer Resultierenden usmmengefsst, indem ihre sklren Komponenten ddiert werden. n R F i i n R F i i n R F i i Der etrg der Resultierenden ergibt sich us dem St von Pthgors: R R R R 8. Räumliche Trgssteme 3

4 4 8. Räumliche Trgssteme α γ β Die sklren Komponenten einer Krft ergeben sich us F F F F mit Für die Rumwinkel gilt cos cos cos γ β α eispiel: 3 3 R 3 F F 3 3 F R R R R 6 4 4) ( F β cos F F F cosα F F F cosγ F F F 4 4

5 8.. Gleichgewicht von Kräften Eine entrle, räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende Null ist, d. h. wenn jede ihrer sklren Komponenten für sich null ist. Dmit lutet die Gleichgewichtsbedingungen für ds entrle räumliche Kräftesstem R n F i i n R F i i R F i n i oder in verkürter Schreibweise F F F ei einem entrlen räumlichen Kräftesstem gibt es genu drei unbhängige Kräftegleichgewichtsbedingungen. 8. Räumliche Trgssteme 5

6 eispiel: Räumlicher Stbdreischlg Gegeben: F kn, α 33,7, β 63,4, γ 7,6 Gesucht: Stbkräfte S, S, und S 3 α F γ β 3 8. Räumliche Trgssteme 6

7 Wird die Lge der Stäbe nicht durch ihre Rumwinkel, sondern durch ihre Komponenten festgelegt, ist wie folgt vorugehen: D die Stbkräfte S i in Richtung der Stäbe i wirken, sind die Kräftekomponenten S i, S i und S i proportionl u deren Längenkomponenten L i, L i und L i. Es gilt mit den Proportionlitätsfktoren i S i i L i S i i Li i i i Mit den Komponenten der eingeprägten Kräfte F, F und F ergibt sich us der edingung, dss im Gleichgewicht die Resultierende ller Kräfte Null ist S L R n i i L L L i i i F F F ein lineres Gleichungssstem für die Unbeknnten i. Die Stbkräfte ergeben sich dnn us S L L i i i i L i 8. Räumliche Trgssteme 7

8 eispiel: Räumlicher Stbdreischlg Gegeben: F kn, 3 m, b m c m Gesucht: Stbkräfte S, S und S 3 F S α S 3 c Kräftegleichgewicht: S tn α 3 b b α 7, 6 Stbkräfte: 8. Räumliche Trgssteme 8

9 Übung: bgespnnter Mst Gegeben: F kn, b c d 6 m Gesucht: Mstkrft S, Seilkräfte S und S 3 F b S S 3 S c d Kräftegleichgewicht: Stbkräfte: 8. Räumliche Trgssteme 9

10 8. llgemeines räumliches Kräftesstem Eine Kräftegruppe im Rum, deren Wirkungslinien sich nicht in einem gemeinsmen Punkt schneiden, ist ein llgemeines räumliches Kräftesstem. 8.. Moment einer Krft Ds Moment einer Krft beüglich einer chse ergibt sich ls Produkt der Krftkomponenten mit ihren bständen ur eugschse M F F M M M F F und dmit F M M M M F F F M F M F 8. Räumliche Trgssteme

11 8.. Gleichgewicht einer llgemeinen Kräftegruppe Eine räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Krft und ds resultierende Moment für einen beliebigen Punkt Null ist. Dmit lutet die Gleichgewichtsbedingungen für ds llgemeine räumliche Kräftesstem: Kräftegleichgewicht: F F F Momentengleichgewicht: P P P M M M Die Kräftegleichgewichte lssen sich durch Momentengleichgewichte für verschiedene eugspunkte oder um weitere chsen erseten. Insgesmt lssen sich ber nicht mehr ls 6 unbhängige Gleichgewichtsbedingungen n einem strren Körper ufstellen. 8. Räumliche Trgssteme

12 eispiel: Konsole Gegeben: G 5 kn, m Gesucht: Stbkräfte F 8. Räumliche Trgssteme

13 Übung: etonpltte Gegeben: m, α 45, h,4 m, ρ,6 to/m 3, g 9,8 m/s Gesucht: Gewichtskrft G, Stütenkräfte und und Seilkräfte S und S S 3 G S α h 8. Räumliche Trgssteme 3

14 8..3 Räumliche Lgerungen Wie beim ebenen Fll entstehen Kräfte in einem Lger, ds trnsltorische Freiheitsgrde sperrt und Momente, wenn die Drehung behindert wird. Je nch nhl der uftretenden unbhängigen uflgerrektionen können räumliche Lger ein- bis sechswertig sein. Einwertiges Pendellger (Sondernfertigung) Foto: Mgeb Einelne Lger können i. llg. nur geringe Momente ufnehmen, d diese u hohen enspruchungen im Lger führen. In der Pris werden dher mehrere Lger so ngeordnet, dss llein die Lgerkräfte usreichen, einen Körper sttisch bestimmt u lgern. Die Momente werden ls sttisch überählige nicht berücksichtigt. 8. Räumliche Trgssteme 4

15 Lgerungstp Smbol Lgerrektion Loslger, Seil, Kontktfläche Rollenlger Kugelgelenk Momentenstüte Rdillger, Schiebehülse Führung, illger, Schrnier Wertigkeit Einspnnung 6 8. Räumliche Trgssteme 5

16 eispiel: Gelgerter Winkelträger Gegeben: q kn/m, F kn, F kn, m Gesucht: uflgerrektionen F q F 8. Räumliche Trgssteme 6

17 ... Fortsetung 8. Räumliche Trgssteme 7

18 eispiel: Torsionsblken Gegeben: F kn, F kn,,5 m Gesucht: Lgerrektionen F F 8. Räumliche Trgssteme 8

19 Übung: Umwelt-mpus irkenfeld Eingespnnter Winkelträger Gegeben: F 3 kn, F kn, F kn, L m,,5 m Gesucht: uflgerrektionen L F F F 8. Räumliche Trgssteme 9

20 8..4 Schnittgrößen Entsprechend der nhl der unbhängigen Freiheitsgrde treten bei einem räumlichen Sstem sechs Schnittgrößen uf. Die Eintrgung der Schnittgrößen erfolgt nch den Regeln der Voreichenkonvention positives Schnittufer M Q Q n r T M N Hierbei ist N die Normlkrft, T ds Torsionsmoment, Q und Q sind die Querkräfte und M und M die iegemomente. T M Q Q n r M negtives Schnittufer 8. Räumliche Trgssteme

21 eispiel : bgewinkelter Träger - kn F q F - kn kn - kn kn kn 8. Räumliche Trgssteme

22 ...Fortsetung 8. Räumliche Trgssteme

23 ...Fortsetung 8. Räumliche Trgssteme 3

24 ... Fortsetung - kn F kn - kn kn kn q kn/m F kn N-Linie - kn kn T-Linie Q-Linie M-Linie 8. Räumliche Trgssteme 4

25 eispiel: Räumlicher Träger Gegeben: Lsten und uflgerkräfte Gesucht: Schnittgrößenverluf im lken - kn F kn F kn T knm kn -,5 kn kn,5 kn 8. Räumliche Trgssteme 5

26 ...Fortsetung 8. Räumliche Trgssteme 6

27 ...Fortsetung - kn F kn F kn N-Linie kn -,5 kn kn Q-Linie T knm,5 kn T-Linie M-Linie 8. Räumliche Trgssteme 7

28 eispiel : Riemenscheibe (F 3 kn, F 9 kn,,5 m, α 6 ) F btrieb α F 8. Räumliche Trgssteme 8

29 Übung: Z-Träger Gegeben: F kn, F kn, T,5 knm,,5 m Gesucht: uflgerkräfte und Schnittgrößenverluf F F T 8. Räumliche Trgssteme 9

30 ... Fortsetung N-Linie - kn F kn,5 kn kn F kn T,5 knm,5 kn -4 kn - kn T-Linie Q-Linie M-Linie 8. Räumliche Trgssteme 3

31 Ergänung: Räumlicher Träger Gegeben: F kn, F kn, M knm,,5 m F F F F M F M M F M F F D M Für Ssteme, deren Lger nicht in einer Ebene liegen, lssen sich keine entkoppelten Momentengleichungen ufstellen. M F F 8. Räumliche Trgssteme 3

32 3 8. Räumliche Trgssteme Die Gleichgewichtsbedingungen stellen ein lineres Gleichungssstem für die unbeknnten uflgerrektionen dr: F F F M D in diesem Fll die erechnung der unbeknnten uflgerrektionen von Hnd ufwändig ist, soll ds Gleichungssstem numerisch (.. mit dem Guß schen Elimintionsverfhren) gelöst werden.... Fortsetung

33 33 8. Räumliche Trgssteme Mit Hilfe eines progrmmierbren Tschenrechners oder eines geeigneten Progrmms (.. MTL) erhält mn die Lösung :,5 kn, 3,5 kn,,5 kn,,5 kn Sett mn die Zhlenwerte F kn, F kn, M knm,,5 m ergibt sich ds Gleichungssstem in Mtrienschreibweise: 6... Fortsetung: [K] {} {F} [K] Koeffiientenmtri {} Unbeknntenvektor {F} Konstntenvektor