6. Quadratische Gleichungen

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1 6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel ziehen Qudrtwurzeln geben nur us Qudrtzhlen eine gnzzhlige Lösung. Aus llen nderen Zhlen ist die Lösung eine Zhl mit unendlich vielen Dezimlstellen, die im Gegenstz zu Brüchen nicht periodisch ist Diese nicht periodischen, unendlich lngen Dezimlzhlen bilden den Grossteil der irrtionlen Zhlen und ergeben zusmmen mit den rtionlen Zhlen die reellen Zhlen (vgl. Kpitel.). "Qudrierte Zhlen" sind immer positiv. Sowohl eine positive wie eine negtive Zhl ergibt mit sich selber multipliziert immer eine positive Zhl. ( ) 5 5 ( ) ( 5) 5 ber: -5-5 Qudrtwurzeln können nur us positiven Zhlen gezogen werden, nur dnn hben sie eine Lösung. ist in unlösbr Aus negtiven Zhlen hben Qudrtwurzeln in keine Lösung, denn es gibt keine reelle Zhl, die mit sich selber multipliziert, eine negtive Zhl ergibt. Die Gleichung 5 ht zwei Lösungen: nämlich -5 und 5 L { -5 ; 5 } Kontrolle: ( 5) 5 und ± Normlformen der qudrtischen Gleichungen Qudrtische Gleichungen, d.h. Gleichungen mit, können wie folgt unterschieden werden: rein-qudrtische Gleichung: Die Gleichung enthält nur die Vrible. Beispiel: 5 gemischt-qudrtische Gleichung: Die Gleichung enthält die Vriblen und. Beispiel: 8 5 Normlformen sind llgemein gehltene Formen, uf die sich uch komplee Aufgbenstellungen zurückführen lssen. Folgende Normlformen lssen sich unterscheiden: pq-normlform: p q 0 p, q qudrtisches Glied, p lineres Glied, q bsolutes Glied bc-normlform: b c 0, b, c qudrtisches Glied, b lineres Glied, c bsolutes Glied rein-qudrtische Gleichung: - c 0 (oder c) Qudrtische Gleichungen

2 6. Lösen von rein-qudrtischen Gleichungen Gleichungen der Form - c 0 bzw. c heissen rein-qudrtische Gleichungen. Rein-qudrtische Gleichungen können genu zwei, eine oder keine Lösung hben: zwei Lösungen c > 0 ± c c, c L { c ; c } eine Lösung ("Doppellösung") c 0 ± 0 0, 0 L { 0 } keine Lösung c < 0 unlösbr Die Wurzel us einer negtiven Zhl ist in nicht definiert. L { } Beispiele (G ) ) D ± L { 8 ; 8 } b) ( ) ( - ) 0 D ( ) ( - ) 0-0 ± - L { ; } Qudrtische Gleichungen

3 c) 8 D 7 L d) ( - ) ( ) - D L e) 0 D L Qudrtische Gleichungen 5

4 Dozentenseite (mit Lösung) c) 8 D \ { 0 } 7 D \ { 0 } ± L { - ; } L { - ; } d) ( - ) ( ) - D D ( - ) ( ) - usmultiplizieren zusmmenfssen , 6 ± L { -.7 ;.7 } L { -.7 ;.7 } e) 0 D D ± L { } Die. Wurzel us einer negtiven Zhl ist in nicht definiert, lso gibt es keine Lösung. L { } Qudrtische Gleichungen 5

5 6. Lösen von gemischt-qudrtischen Gleichungen Zum Lösen von gemischt-qudrtischen Gleichungen kennen wir mehrere Methoden. Nicht immer sind lle nwendbr oder einfch nwendbr. Es lohnt sich deshlb, sie lle zu kennen und die jeweils m besten geeignete zu wählen. 6.. Fktorzerlegung Die Anwendung der Fktorzerlegung geschieht mit den folgenden Schritten: Definitionsmenge bestimmen Gleichung in die pq-normlform bringen p q 0 Linke Seite in zwei Fktoren (mit Summen) zerlegen ( ) ( ) 0 Zum Finden der Werte für und dient folgende Überlegung: Welche Zhlen und geben miteinnder multipliziert q und zusmmen ddiert p? Die Vorzeichen von p und q sind zu berücksichtigen Lösungsmenge bestimmen L {, } Nchweis / Erklärung: Ein Produkt zweier Fktoren ergibt nur dnn 0, wenn einer der beiden Fktoren 0 ist ( ) ( ) 0 Der. Fktor soll 0 sein d.h Der. Fktor soll 0 sein d.h. 0 Beispiele (G ) ) D ( ) ( - ) 0 Welche Zhlen geben miteinnder drus folgt: -, multipliziert - und zusmmen ddiert -? L { ; } b) ( - 0 ) D , : ( - ) ( - 8 ) 0 Welche Zhlen geben miteinnder drus folgt:, 8 multipliziert 6 und zusmmen ddiert -0? L { ; 8 } Diese Methode eignet sich fst nur dnn, wenn die Lösungen us gnzen Zhlen bestehen. 6 Qudrtische Gleichungen

6 c) 0 D L d) 6 ( 8) D L Qudrtische Gleichungen 7

7 Dozentenseite (mit Lösung) c) 0 D D ( 5 ) ( - ) 0 Welche Zhlen geben miteinnder drus folgt: -5, multipliziert -0 und zusmmen ddiert? L { -5 ; } L { -5 ; } d) 6 ( 8) D \ { - } D \ { - } 6 ( 8) ( ) ( ) 6 ( 8) usmultiplizieren 6 8-6, : 0 ( ) ( - 6 ) 0 Welche Zhlen geben miteinnder drus folgt: -, 6 multipliziert - und zusmmen ddiert -? L { - ; 6 } L { - ; 6 } Qudrtische Gleichungen 7

8 6.. Qudrtische Ergänzung Die Technik der Fktorzerlegung funktioniert fst nur dnn, wenn die Lösungen gnzzhlig sind. Im ndern Fll ist es prktisch unmöglich, die entsprechenden Summnden der beiden Fktoren heruszufinden. In diesen Fällen führt die Methode der qudrtischen Ergänzung zum Ziel. Sie bsiert uf den binomischen Formeln. Ds Anwenden dieser Methode ist nhnd von zwei Vrinten erläutert, bei denen sich nur die Schritte und unterscheiden: Überlegung vi binomische Formeln (mthemtisch korrekt, ber etws bstrkt) "Volkstümliches Rezept" (weniger bstrkt) Beispiel mit der. binomischen Formel (G ) ) D Vriblen und uf die linke, Konstnte uf die rechte Seite der Gleichung trennen (flls der Fktor vor ist, muss die Gleichung noch durch diesen dividiert werden) 8-7 Überlegung vi binomische Formeln Linke Seite der Gleichung ls Teil einer. oder. binomischen Formel uffssen 8-7 ( b ) b b Wert für b herusfinden: 8-7 b b d.h. b 8 b Fehlendes Glied b ( sog. "qudrtische Ergänzung") uf beiden Seiten ddieren b -7 b ( ) Volkstümliches Rezept Hlbieren Sie den Koeffizienten von (d.h. die Zhl vor dem inkl. Vorzeichen), und ddieren Sie uf beiden Seiten der Gleichung ds Qudrt dieser hlbierten Zhl. Koeffizienten von (inkl. Vorzeichen) durch dividieren: 8 : Also muss uf beiden Seiten der Gleichung ( ) ddiert werden ( ) Schritte bis nlog zur Lösung links Linken Teil ls binomische Formel schreiben: ( ) -7 6 ( ) 9 ± 9 -, ± 9 Wurzel usrechnen, ± , - - L { 7 ; } 8 Qudrtische Gleichungen

9 Beispiel mit der. binomischen Formel (G ) b) D Vriblen und uf die linke, Konstnte uf die rechte Seite der Gleichung trennen : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) - 6 Überlegung vi binomische Formeln Volkstümliches Rezept Linke Seite der Gleichung ls Teil einer. oder. binomischen Formel uffssen - 6 Hlbieren Sie den Koeffizienten von (d.h. die Zhl vor dem inkl. Vorzeichen), und ddieren Sie uf beiden Seiten der Gleichung ds Qudrt dieser hlbierten Zhl. ( - b ) - b b b b d.h. b 6 b - b b ( - ) Koeffizienten von durch dividieren: ( -6 ) : - Also muss uf beiden Seiten der Gleichung ( - ) ddiert werden. - 6 ( - ) ( - ) ( - ) Schritte bis nlog zur Lösung links ( - ) 9 ( - ) - ±, ± Wurzel usrechnen, ± , L { 0. ; 6. } c) - 0 D L Qudrtische Gleichungen 9

10 Dozentenseite (mit Lösung) Beispiel mit der. binomischen Formel (G ) b) D Vriblen und uf die linke, Konstnte uf die rechte Seite der Gleichung trennen : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) - 6 Überlegung vi binomische Formeln Volkstümliches Rezept Linke Seite der Gleichung ls Teil einer. oder. binomischen Formel uffssen - 6 Hlbieren Sie den Koeffizienten von (d.h. die Zhl vor dem inkl. Vorzeichen), und ddieren Sie uf beiden Seiten der Gleichung ds Qudrt dieser hlbierten Zhl. ( - b ) - b b b b d.h. b 6 b - b b ( - ) Koeffizienten von durch dividieren: ( -6 ) : - Also muss uf beiden Seiten der Gleichung ( - ) ddiert werden. - 6 ( - ) ( - ) ( - ) Schritte bis nlog zur Lösung links ( - ) 9 ( - ) - ±, ± Wurzel usrechnen, ± , L { 0. ; 6. } c) - 0 D D b b d.h. b b Vrinte: "Volkstümliches Rezept" Koeffizienten von durch dividieren (-) : -6 - (-6) - (-6) ( - 6 ) - 6 Schritte bis nlog zur Lösung links ( - 6 ) - 6 ± 6, ± 6 Wurzel usrechnen, ± 6-6, 6 8 L { ; 8 } L { ; 8 } Qudrtische Gleichungen 9

11 d) ( ) ( - ) - 0 D L e) D L 0 Qudrtische Gleichungen

12 Dozentenseite (mit Lösung) d) ( ) ( - ) - 0 D D ( ) ( - ) b b d.h. b b ( 0.5 ) Vrinte: "Volkstümliches Rezept" Koeffizienten von durch dividieren : Schritte bis nlog zur Lösung links ( 0.5 ) ± , ± Wurzel usrechnen, ± , L { - ; } L { - ; } e) D D b b d.h. b 8 b Vrinte: "Volkstümliches Rezept" Koeffizienten von durch dividieren 8 : Schritte bis nlog zur Lösung links ( ).5 6 ( ) 0.5 ± , ± 0.5 Wurzel usrechnen, ± , L { -8.5 ; 0.5 } L 8.5 ; 0 Qudrtische Gleichungen

13 6.. pq-formel Neben den beiden mthemtischen Methoden der Fktorzerlegung und der qudrtischen Ergänzung gibt es uch Lösungsmethoden, die uf Formeln bsieren: die pq- und die bc-formel der qudrtischen Gleichungen. Hben wir eine qudrtische Gleichung, bei der vor dem der Fktor steht, lässt sich die pq-formel nwenden. Normlform: p q 0, p ± p q Die mthemtische Herleitung der pq-formel können Sie im Kpitel 6.. nchvollziehen. Allgemeines Lösungsvorgehen: Definitionsmenge bestimmen Gleichung in die pq-normlform bringen (wenn nötig), und die Werte für p und q bestimmen Achtung: Die Vorzeichen von p und q uch übernehmen. Werte für p und q in der Formel einsetzen (inkl. Vorzeichen ) Vriblen und usrechnen Lösungsmenge bestimmen Beispiele (G ) ) - 0 D Wir bestimmen zuerst p und q. (flls der Fktor vor ist, muss die Gleichung noch durch diesen dividiert werden) - 0 p q Die Vorzeichen gehören zu p und q dzu Die Werte für p und q in der Formel einsetzen: p, q -, ± (-) Vriblen und usrechnen:, ±, ± 5, ± L { 7 ; } Qudrtische Gleichungen

14 b) D Gleichung in die pq-normlform bringen: : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) p q Die Werte für p und q in der Formel einsetzen: p -, q, - ± - Vriblen und usrechnen:,.5 ±.5,.5 ±. 5,.5 ± L { 0.8 ;.6 } c) - 5 D L Qudrtische Gleichungen

15 Dozentenseite (mit Lösung) b) D Gleichung in die pq-normlform bringen: : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) p q Die Werte für p und q in der Formel einsetzen: p -, q, - ± - Vriblen und usrechnen:,.5 ±.5,.5 ±. 5,.5 ± L { 0.8 ;.6 } c) - 5 D D p q, ± ( 5),.5 ±.5 5,.5 ± 56. 5,.5 ± 7.5-6, 9 L { -6 ; 9 } L { -6 ; 9 } Qudrtische Gleichungen

16 d) D L e) D L Qudrtische Gleichungen

17 Dozentenseite (mit Lösung) d) D \ { 0 ; } D \ { 0 ; } ( ) ( - ) zusmmenfssen -, 0 : 0-0 p q, ±, ±, ± 0, ± 0, L { } L { } e) D D -, : p q, ± ( 7), ± 7, ±, ± , L { -. ; 5. } L { -. ; 5. } Qudrtische Gleichungen

18 Qudrtische Gleichungen 6.. Mthemtische Herleitung der pq-formel Die Gleichung p q 0 soll gelöst werden. Wir wollen beweisen, dss drus die beiden folgenden Lösungen resultieren: q p p und q p p. Schritt Auf beiden Seiten der Gleichung q subtrhieren p q 0 p -q. Schritt Auf beiden Seiten der Gleichung p ddieren ( qudrtische Ergänzung) q p p p. Schritt Linke Seite in Fktoren zerlegen nch der. binomischen Formel: ( b) b b q p p. Schritt Wurzel ziehen q p p ± 5. Schritt Auf beiden Seiten der Gleichung p subtrhieren q p p q p p

19 6..5 bc-formel Hben wir eine qudrtische Gleichung, bei der vor dem ein Fktor ungleich 0 und ungleich steht, lässt sich die bc-formel nwenden. Normlform: b c 0, b ± b c Die mthemtische Herleitung der bc-formel können Sie im Kpitel 6..6 nchvollziehen. Anmerkung: Mit einer Division durch lässt sich zwr jede bc-form einer qudrtischen Gleichung uf die beknnte pq-form zurückführen. b c 0 : b c 0 p q : Ist der Fktor vor dem keine einfche ntürliche Zhl oder ergeben die beiden Divisionen keine gnzen Zhlen, so knn die Anwendung der pq-formel llerdings kompliziert werden : Aus diesem Grund ist zusätzlich zur pq-formel uch eine bc-formel entwickelt worden. Mit der bc-formel lässt sich diese Aufgbe einfcher lösen ls mit der pq-formel. Qudrtische Gleichungen 5

20 Allgemeines Lösungsvorgehen: Definitionsmenge bestimmen Gleichung in die bc-normlform bringen (wenn nötig) und Werte für, b und c bestimmen Achtung: Die Vorzeichen von, b und c uch übernehmen. Werte für, b und c in der Formel einsetzen (inkl. Vorzeichen ) Vriblen und usrechnen Lösungsmenge bestimmen Beispiele (G ) ) D Werte für, b und c bestimmen: b c Werte für, b und c in der Formel einsetzen: 7, b -7, c 6, -(-7) ± (-7) - ( 7 6) 7 Vriblen und usrechnen:, 7 ± 89 68, 7 ±, 7 ± 7, L ; 7 9 b) 5 D \ { - ; } ( - ) ( ) 5 ( ) ( - ) ( ) ( - ) b c Werte für, b und c in der Formel einsetzen: 5, b -, c -5, -(-) ± (-) - ( 5 (-5)) 5 Vriblen und usrechnen:, ± ( '080), ± '5 0 0, -.8, 6 L {.8 ; 6 } ± Qudrtische Gleichungen

21 c) 0 D L d) 8 5 D L Qudrtische Gleichungen 7

22 Dozentenseite (mit Lösung) c) 0 D D 0 0 b c, ± ( ), ± , ± 6, ± 6 -, L ; L ; d) 8 5 D D b c, ± ( 8 ( 5)) 8, ± , ± 69 6, ± 6 -, 5 8 L ; 5 8 L ; 5 8 Qudrtische Gleichungen 7

23 e) 5 5 D L 8 Qudrtische Gleichungen

24 Dozentenseite (mit Lösung) e) 5 5 D \ { ; 5 } D \ { ; 5 } 5 5 (-) ( - ) ( - 5) ( ) ( ) ( ) ( 5) 5 ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( ) usmultiplizieren zusmmenfssen , : b c, ( 9) ± ( 9) ( ), 9 ± 6 6 8, 9 ± 97 8, 9 ± , L { 0. ;.5 } L { 0. ;.5 } 8 Qudrtische Gleichungen

25 6..6 Mthemtische Herleitung der bc-formel Die Gleichung b c 0 soll gelöst werden. Wir wollen beweisen, dss drus die beiden folgenden Lösungen resultieren: b b c und b b c. Schritt b c 0 uf beiden Seiten der Gleichung durch dividieren (Die Division durch ist erlubt, weil 0 ist.) b c c 0 uf beiden Seiten der Gleichung subtrhieren. Schritt b c uf beiden Seiten der Gleichung b ddieren b b b c ( qudrtische Ergänzung). Schritt Linke Seite in Fktoren zerlegen nch der. binomischen Formel: ( b) b b b b c. Schritt Wurzel ziehen b ± b c 5. Schritt Wurzel uf der rechten Seite vereinfchen b c b c b c b c drus folgt: b ± b c 6. Schritt Auf beiden Seiten der Gleichung b subtrhieren b b c b b c b b c b b c Qudrtische Gleichungen 9

26 6..7 Lösungsdiskussion Qudrtische Gleichungen können genu zwei, eine oder keine Lösung hben. Ds hängt dvon b, ob der Ausdruck in der Wurzel der Lösungsformel grösser, gleich oder kleiner ls 0 ist. Der Ausdruck in der Wurzel heisst Diskriminnte (D) [Diskriminnte Bestimmende]. bei der pq-formel: D p q bei der bc-formel: D b c Es ergeben sich somit Fälle (hier ufgezeigt nur n der pq-formel): D > 0 zwei Lösungen - 0, ± ( ), ±, ±, ± -, L { ; } y y - D 0 eine Lösung ("Doppellösung") 0, ± y 5, ±, ± , ± 0 -, L { } -5 y D < 0 keine Lösung 0, ±, ±, ± keine Lösung, d in nicht definiert ist L { } y y Nähere Informtionen zur grfischen Vernschulichung der Lösung finden Sie in Kpitel. 0 Qudrtische Gleichungen

27 6.5 Sätze von Viet Der frnzösische Mthemtiker Viet (50 60) ht folgende interessnten Zusmmenhänge uf Grund der pq-formel herusgefunden: Die Multipliktion der beiden Lösungen einer qudrtischen Gleichung ergibt q. Die Addition der beiden Lösungen einer qudrtischen Gleichung ergibt den gleichen Wert wie p, ber mit umgekehrtem Vorzeichen (lso -p). In mthemtischer Schreibweise: Flls p q 0 und, je Lösungen der Gleichung sind, dnn gilt: q -p Die Vorzeichen gehören zu p und q dzu Mit den Sätzen von Viet besitzen wir ein gutes Hilfsmittel, um die Korrektheit der Lösungen von qudrtischen Gleichungen zu überprüfen. ) L { -7 ; 5 } Lösungskontrolle: q ( -7 ) 5-5 Lösungskontrolle, d q -5 -p ( -7 ) 5 - Lösungskontrolle, d -p - b) - 0 L { ; } Lösungskontrolle: q Lösungskontrolle, d q -p Lösungskontrolle, d -p - ( - ), d.h. -p Jede bc-normlform knn mit der Division durch in eine pq-normlform überführt werden; drus folgt, dss die Sätze von Viet ngewndt uf die bc-form so ussehen: c b Die Vorzeichen gehören zu, b und c dzu c) L { -0.5 ; } d) 6-0 L { - ; } Lösungskontrolle: c ( -0.5 ) - Lösungskontrolle, d c - Lösungskontrolle: c ( - ) -8 Lösungskontrolle, d c -8 b ( -0.5 ).5 Lösungskontrolle, d b 7.5 b ( - ) - Lösungskontrolle, d b 6 - Qudrtische Gleichungen

28 6.6 Qudrtische Gleichungen mit zwei Unbeknnten Auch bei zwei Vriblen ( und y) knn es im Verluf der Ausrechnung zu qudrtischen Gleichungen kommen. Dies führt dzu, dss die Lösung us zwei Zhlenpren besteht. Beispiele (G ) ) () 6y 6 ( ) (y ) () y 6 D \ { 0 }, D y \ { } () 6y 6 ( ) (y ) usmultiplizieren 6y 6 (y y 6) usmultiplizieren 6y 6 y 6 y 6, - y, ()' 7 y y () y 6 ( y - 6 ) (y 6) (y 6) usmultiplizieren 6y 8 y 6 6 ()' 6y 8 y Gleichsetzungsverfhren (Gleichungen ()' und ()' gleichsetzen) 7 y 6y 8 -, - y, y : y Ausrechnen der. Vriblen ( in Gleichung ()' einsetzen) y y 7 y y 7 (y ) 6y y (y ) usmultiplizieren 8y 98 6y 8y 8y zusmmenfssen y 0 8y 8y - y, 0 8y 6y 0 0 : y y 55 0 y, ( ) ± ( ) ( 55) y, ± y.75, y 5 y, ± 8 8 y, ± 8 9 Ausrechnen der. Vriblen (y, in die Umformung von Schritt einsetzen) y einsetzen: y.75 y einsetzen: y 5 L {(.75) ; ( 5 ) } Qudrtische Gleichungen

29 b) () y () ( ) y 5 D L Qudrtische Gleichungen

30 Dozentenseite (mit Lösung) b) () y () ( ) y 5 D D () y : ()' y () ( ) y 5 6 y 5 5 ()' y Gleichsetzungsverfhren (Gleichungen ()' und ()' gleichsetzen) 0 0 b c Ausrechnen der. Vriblen, ± ( ), ±, ± 9, ± -.5, - Ausrechnen der. Vriblen (hier:, in Gleichung ()' einsetzen) einsetzen: y (.5) y y einsetzen: y ( ) y 7 y L { ( -.5 ) ; ( - 7 ) } L { ( -.5 ) ; ( - 7 ) } Qudrtische Gleichungen

31 c) () 8 5 y () y D L Qudrtische Gleichungen

32 Dozentenseite (mit Lösung) c) () 8 5 y () y D \ { - } \ { - ; 0 } D \ { - }, D y \ { - ; 0 } oder D \ { - } \ { - ; 0 } () 8 5 y () ( - ) ()' y y Additionsverfhren () 8 5 y ()' y y 6 y 5 8 Ausrechnen der. Vriblen 6 y ( y ) y y (y ) 6y y (y ) usmultiplizieren y 6 6y y 6y zusmmenfssen 9y 6 y 6y y, 6y y y 6 0 : y y 0 y - y - 0 p q y, ± ( ) y, 0.5 ±. 5 y, 0.5 ±.5 y -, y Ausrechnen der. Vriblen (hier: y, in Gleichung () einsetzen) y einsetzen: ( ) 6 y einsetzen: ( ) L ( ) ; L ( ) ; Qudrtische Gleichungen

33 6.7 Qudrtische Gleichungen mit Prmetern Zusätzlich zu den Konstnten knn eine qudrtische Gleichung uch noch Prmeter enthlten. Ds Anwenden der vier Lösungsmethoden bleibt grundsätzlich gleich, erfordert ber oft ein hohes Mss n Konzentrtion. Beispiele (G ) ) - 0 Lösungsmethode "Fktorzerlegung" D ( - ) ( - ) 0 L { ; } b) Lösungsmethode "pq-formel" D p, q -0.75, ± ( 0.75 ) ± ± 0.5 ± -.5, 0.5 L {.5 ; 0.5 } c) ( ) 0 Lösungsmethode "bc-formel" D, b ( ), c, ( ) ± ± ( ) ± ± ( ± ( ) ), 8 L ; 0 Qudrtische Gleichungen 5

34 d) D L e) D L 6 Qudrtische Gleichungen

35 Dozentenseite (mit Lösung) d) D D ( - ) - 0 ( - ) - 0 p q, ± ( ), ±,, ±, ( ) ( ) ±, - ± ± L { - ; } L { - ; } e) D 0 D 0 -, ( ) ( - - ) 0 b c, ( ) ± ( ), L,, ; ± ± 6 8 ± ( ) ( ) L ; Achtung: Dmit keine Division durch 0 entsteht, folgt: 0. Ist in D bereits so festgelegt. Es entfällt somit, 0 bei der Lösungsmenge zu ergänzen. 8 6 Qudrtische Gleichungen

36 Eigene Notizen / Anmerkungen Qudrtische Gleichungen 7

37 8 Qudrtische Gleichungen

38 Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Diese Aufgben können Sie im Kopf und ohne Tschenrechner lösen ) 6 b) 5 0 c) 9 9 d) 5 e) 9 f) 6 8 g) 0 h) j) 9 i) k) ( )( ) l) ( )( 5) 5 Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der Fktorzerlegung. ) b) 5 0 c) 9 d) e) 0 7 f) g) 7 8 h) 0 i) j) k) ( 8)( 7) l) Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der Methode des qudrtischen Ergänzens. ) 0 b) 5 c) 5 d) 6 e) ( ) 5 f) ( ) ( ) 0 g) ( ) ( ) h) ( 6).5 i) ( ) j) ( 5) ( ) k) ( 5 ) ( 5) l) 0 Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der pq-formel. ) 0 b) 0 c) 8 0 d) 5 e) f) g) 0 h) 5 66 i) 0 j) 0 9 k) ( )( ) l) ( )( ) 70 Qudrtische Gleichungen 9

39 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Diese Aufgben können Sie im Kopf und ohne Tschenrechner lösen ) 6 D L { -8 ; 8 } b) 5 0 D L { -5 ; 5 } c) 9 9 D L { 0 } d) 5 D L { 0 } e) 9 D L { - ; } f) 6 8 D L { - ; } ± g) 0 D L { } h) 9 D L { - ; } i) 6 6 D L { - ; } j) 98 D L { -7 ; 7 } k) ( )( ) D L { - ; } l) ( )( 5) 5 D L { -5 ; 5 } Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der Fktorzerlegung. ) D L { - ; } b) 5 0 D L { -9 ; -5 } c) 9 D L { -8 ; 6 } d) D L { ; 5 } e) 0 7 D f) D L { ; } L ; 5 g) 7 8 D L { ; 5 } h) 0 D L 5 5 i) 0 D L 0 00 j) D L { - ; 6 } k) ( 8)( 7) D L { -0 ; 9 } ; 5 ; l) 0 D L 9 8 ; Qudrtische Gleichungen 9

40 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der Methode des qudrtischen Ergänzens. ) 0 D L { - ; } b) 5 D L { -.5 ;.5 } c) 5 D L {.5 ; } d) 6 D L { - ; 7 } e) ( ) 5 D L { ;.68 } f) ( ) ( ) 0 D L { - ; } g) ( ) ( ) D L { -.56 ;.56 } h) ( 6).5 D i) ( ) D L { -.5 ; } j) ( 5) ( ) D L { -.5 ; } k) ( 5 ) ( 5) D L { -0.9 ; 5.9 } l) 0 D L { - ; } L ;. 5 Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der pq-formel. ) 0 D L { - ; - } b) 0 D L { 0.8 ;.6 } c) 8 0 D L { - ; } d) 5 D L { - ; 5 } e) D L { - ; } f) D L { ; } g) 0 D L { - ; } h) 5 66 D L { - ; 6 } i) 0 D L { -5.7 ;.7 } j) 0 9 D L { ; 9 } k) ( )( ) D L { -7 ; 8 } l) ( )( ) 70 D L { -5.7 ; 6.7 } Qudrtische Gleichungen 9

41 Aufgbe 6.5 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der bc-formel. ) b) 8 c) d) 0 0 e) 5 f) g) 0 h) i) 5 8 j) k) ( )( ) 0 l) ( )(5 ) 5 Aufgbe 6.6 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. ) 5 0 b) c) 5 d) ( ) ( ) ( )( ) e) g) 6 f) 0.5 h) 6 i) ( )( ) ( 5) 6 j) 6 Aufgbe 6.7 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. ) 8 6 b) c) 5 d) e) 6 f) 7 g) 8 h) 8 9 i) 7 9 j) k) 6 7 l) m) p) n) q) 5 o) r) Qudrtische Gleichungen

42 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.5 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge mit Hilfe der bc-formel. ) D L { -5 ; } b) 8 D L ; c) D L { -. ; } d) 0 0 D L { -.6 ; 7.6 } e) 5 D L f) D L ;. ; 5 g) 0 D L { - ;.5 } h) D L i) 5 8 D L ; 8 ; 7 j) D L { -. ;.5 } k) ( )( ) 0 D L ; l) ( )(5 ) 5 D L { -0.6 ; 0.86 } 0 Qudrtische Gleichungen

43 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.6 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. ) 5 0 D L { -5 ; } b) D L ; c) 5 D L ; d) ( )( ) ( )( ) D L { 0 ; } e) 6 D \ { } L { - ; 6 } f) , - D \ { - } L { - } g) D \ { ; } L { } h) D \ { -½ ; } L { ;.8 } D L { - ; } i) ( )( ) ( 5) 6 j) 6 D L. ; 5 Qudrtische Gleichungen 0

44 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.7 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. 8 ) 6 D \ { 0 } L { ; } b) D \ { 0 } L ; c) 5 D \ { -5 } L { -7 ; } d) e) f) g) h) i) j) k) l) D \ { - ; } L { 0.7 ; 6.6 } 6 D \ { } L { -6 ; 5 } D \ { - } L { - ; 8 } D \ { } L { -5 ; 6 } D \ { - } L { -6 ; } 7 D \ { 9 } L {.6 ; 0.79 } D \ { -¾ } L ; 8 5 ; 5 6 D \ { 7 } L D \ { 5.5 } L { ;.5 } 5.5 m) 6 8 D \ 0 ; L ; 6 8 n) o) 6 D \ { -6 ; 0 } L { ; 6 } D \ { -½ ; 0 } L { -0. ;. } 5 0 p) D \ { -5 ; 0 } L 5, ± q) D \ { 0 ; } L { } -.5, r) 6 8 D \ { } L { -.5 } 5 ; b Qudrtische Gleichungen

45 Qudrtische Gleichungen Aufgbe 6.8 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. ) ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) ( - ) b) ( 5 ) ( ) 6 c) ( ) ( ) ( ) - d) ( - ) - ( - 8 ) e) ( - ) - ( ) 6 - f) g) 5 h) i) j) 6 k) 9 8 l) 00 7 Aufgbe 6.9 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. (Hierbei hndelt es sich um ufwändige und nspruchsvolle Zustzufgben.) ) b) 8 8 c) d) e) f) 6

46 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.8 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. Wenden Sie verschiedene Lösungsverfhren n. ) ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) ( - ) D L { - ; - } b) ( 5 ) ( ) 6 D L { -7 ; } c) ( ) ( ) ( ) - D L { - ;.5 } d) ( - ) - ( - 8 ) D \ { } L { 0 ; 5 } e) ( - ) - ( ) 6 - D L ; 6 f) D \ { - ; } L { 0 ; 6 } g) 5 D \ { - ; 5 } L { - ; 9 } h) D \ { ; } L.; 5 i) , 5 D \ { -5 ; 5 } L { 0 } j) 6 D \ { - ; } L { - ; } 8 k) 9 0, D \ { - ; } L { 0 } l) -7, D \ { 7 } L { -7 } Qudrtische Gleichungen

47 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.9 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. (Hierbei hndelt es sich um ufwändige und nspruchsvolle Zustzufgben.) ) -, D \ { - } L { } b) 8 8 D \ { 0 ; 8 } L { -8 ; - } c) D \ { - } L { } -, d) D \ ; L ; e) D \ -, ½ ; L { - } f) 6 D \ ; L 7.; 5 Qudrtische Gleichungen

48 Aufgbe 6.0 ) () y - () y ( - ) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. b) () y - () y y - c) () - y 8 () y.5 6 d) () 5y y () y e) () y () 5 y g) () 5 y () y 6 f) () 6 y () y h) () 5 y 5 () 9 5 y 5 Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. ) 8 9 b) 8 0 c) d) b 0 e) f) ( ) g) ( ) h) b b i) j) k) l) m) o) q) s) u) w) y) n) p) ( ) r) b b t) v) ( ) ( ) ) z) Qudrtische Gleichungen

49 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6.0 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. ) () y - () y ( - ) D L ( 6.; 5) b) () y - () y y - D L ( ) ; c) () - y 8 () y.5 6 D \ { -6 }, D y L. ;.{ ( ) ( 6 6) } d) () 5y y () y D, D y \ { } L ( 6 ) ; e) () y () 5 y D \ { - }, D y L { ( 0-6 ) ; ( 8 6 ) } f) () 6 y () y D \ { - ; 0 }, D y \ { } { ( 75) ( 5) } L ;. g) () 5 y () y 6 D \ { 0 }, D y \ { } { (.75 ) ( 0 ) } L ; h) () 5 y 5 () 9 5 y 5 D \ { 0 ; }, D y \ { 5 }.5, y { }, 9, y 5 L { ( 9 5 ) } Qudrtische Gleichungen

50 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in der Grundmenge. ) 8 9 D L { -9 ; } b) 8 0 D L { - ; } c) D L { ; 5 } d) b 0 D L b b ; b e) D L { ; } f) ( ) D 0 L ; D L { ; } g) ( ) h) D b b 0 b 0 L ; b i) D \ { 0 } L ; 0 j) D \ { 0 } 0 { } L ; k) D \ { 0 } 0 { } L ; l) D \ { 0 } L ; m) n) D \ { 0 } 0 { } L ; D \ { 0 } L { ; } D \ { 0 } o) 0 { } L ; ( ) p) D \ { 0 } L { ; } Qudrtische Gleichungen

51 Dozentenseite (mit Lösung) Aufgbe 6. Fortsetzung q) D \ { 0 } L { ; } r) D \ { 0 } L { } s) b b D \ { 0 } 0 { } L ; t) D \ { } L { ; 0 } u), 0 D \ { 0 ; } L { } ( ) v) ( ) D \ { 0 } L ; 0 w) D \ { 0 } oder D \ { 0 } - { } L ; ) D 0 L { } ; y) D \ { } L ; D \ { 0 } z) 0 L ; b Qudrtische Gleichungen