5 Gleichungen (1. Grades)
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- Artur Dieter Falk
- vor 7 Jahren
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1 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner ls Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinnder verunden, so erhält mn eine Gleichung. Ist eine Vrile in der Gleichung vorhnden, so spricht mn von einer Bestimmungsgleichung. Soll die Bestimmungsgleichung nch der Vrilen (z.b. ) ufgelöst werden, so müssen oft Äquivlenzumformungen vorgenommen werden. Äquivlenzumformungen Mn spricht von einer Äquivlenzumformung, wenn eine Aussgeform A in eine Aussgeform B üergeht, ohne dss n den Lösungen (Erfüllungsmenge) etws geändert wird (Anzhl, Wert). Beispiele für äquivlente Umformungen: Addition von Termen uf eiden Seiten einer Gleichung Multipliktion eider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zhl verschieden von 0. Division durch einen Term verschieden von 0. Achtung Bei folgenden Umformungen einer Gleichung können Lösungen verlorengehen oder scheinr Lösungen hinzukommen:. Wenn eide Seiten der Gleichung mit einem Term multipliziert oder dividiert werden, der die Vrile enthält.. Wenn mn uf eiden Seiten einen Term ddiert oder sutrhiert, der die Vrile im Nenner enthält. Bei den ogennnten Umformungen ist deshl stets die Proe zu mchen (durch Einsetzen ller erhltenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung). Beispiel zu Nr urspr. Gleichung Proe: = ist eine gültige Lösung der umgeformten Gleichung. Beim Einsetzen der Lösungsmenge in die ursprüngliche Gleichung, kommt es zur Division mit Null. Somit ist = eine scheinre Lösung. Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer! L = Beispiel zu Nr. urspr. Gleichung Proe: = ist eine gültige Lösung der ursprünglichen Gleichung. Nch der Erweiterung ist = keine gültige Lösung mehr! Somit ist eine Lösung verlorengegngen!. Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite von 8
2 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Grd der Gleichung (grfisch drgestellt) Gleichungen werden unterschieden nch dem Grd der Uneknnten. Will mn eine Bestimmungsgleichung grfisch lösen, so muss mn sie zunächst in eine Funktionsgleichung umwndeln, die mn grfisch drstellen knn. Ds Umwndeln der Bestimmungsgleichung in eine Funktionsgleichung geschieht in zwei Stufen: Beispiel:. lle Glieder der Gleichung uf eine Seite ringen;. n Stelle der Null die Vrile y setzen Die erhltene Funktionsgleichung lässt sich zeichnen. = = 0 = 0 = y Bestimmungsgleichung Funktionsgleichung Gleichungen. Grdes mit Uneknnten (Linere Gleichungen) z.b. 7 f( ) 0 Lösung Gleichungen. Grdes mit Uneknnten (Qudrtische Gleichungen) z.b. 0 f( ) 8 0 Lösungen Gleichungen. Grdes mit Uneknnten (Kuische Gleichungen) 8 Lösungen z.b. 0 f( ) Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite von 8
3 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes). Zhlengleichungen Um Zhlengleichungen zu lösen, muss mn sie durch äquivlentes Umformen uf die einfchste Form ( =...) ringen. Zu diesem Zweck werden die Terme uf eiden Seiten der Gleichung so lnge verändert, is die einfchste Form erreicht ist. Auf welche Weise ds geschieht, sollen die nun folgenden Beispiele zeigen. Einfche Gleichung: 8 Lösung:. Glieder ordnen: d.h. -Glieder uf die linke Seite, lle nderen Glieder uf die rechte Seite ringen zusmmenfssen. Uneknnte isolieren. Proe: Der Wert der Uneknnten wird in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt. Ist die Aussge whr, so ist der Wert der Uneknnten die Lösung der Gleichung Gleichungen mit Klmmern: Lösung:. Klmmer uflösen. Glieder ordnen. zusmmenfssen 7. Uneknnte isolieren. Proe: Der Wert der Uneknnten wird in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt. Ist die Aussge whr, so ist der Wert der Uneknnten die Lösung der Gleichung. 6. Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite von 8
4 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen mit Brüchen: - 6 Lösung:. Brüche wegschffen 6 6. Klmmer uflösen Glieder ordnen zusmmenfssen 9. Uneknnte isolieren 6. Proe: Der Wert der Uneknnten wird in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt. Ist die Aussge whr, so ist der Wert der Uneknnten die Lösung der Gleichung Gleichungen mit Wurzeln: Lösung:. Wurzel wegschffen 8. Bruch wegschffen. Uneknnte isolieren. Proe: Der Wert der Uneknnten wird in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt. Ist die Aussge whr, so ist der Wert der Uneknnten die Lösung der Gleichung. 8. Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite von 8
5 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes). Üungen zu Zhlengleichungen Alle Gleichungen sind nch der Vrilen ufzulösen c p r p p c c 0... Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite von 8
6 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes). Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite 6 von c c
7 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes). Formeln umwndeln Berechnen Sie die Lösungsmenge für die jeweilige Lösungsvrile:. F r n P r =? 7 0. s v t =? t. m m =? V. n z z =? n z. A r r =? 6. W mv v =? D =? 7. V D d h mm 8. F f m =? r 9. r V r =? 0. =?. c s c =?. c h A h =?. V =?. k h =?. Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite 7 von 8
8 Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes). F L w F W =? FL FW 6. p v =? 7. W K =? 8. A h h =? 9. ges =? u u 0. u r s u r s u =?. =? i. C kr r r r r =?. U r =? 80. f C =? LC v v0. s s0 t v 0 =? 6. C ges C C C C C =? 7. g V g =? g D d 8. A l d =?. Gleichungen ersten Grdes.doc FP Seite 8 von 8
4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Lineare Gleichungen mit Parametern
- - Linere Gleichungen mit Prmetern Neen den lineren Gleichungen mit einer Vrilen zw. einem Pltzhlter existieren uch Gleichungen, die mehrere Uneknnte einhlten. Dei wird die Vrile, die mithilfe von Äquivlenzumformungen
3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
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Mtthis Apsel, 008 Binomische Formeln P Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch! Vervollständige! ) c d) y) y) ) ) y)y ) y y ) c d) y) y) y) y) Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch!
Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet.
5 Polynome 5.1 Definitionen Definition 8 Monom Ein Monom ist ein Produkt us einer reellen Zhl dem Koeffizienten) und beliebig vielen ntürlichen Potenzen von Vriblen dem Nmen des Monoms). Ist ds Monom nur
Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
Rechnen mit rationalen Zahlen
Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)
Aufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen
Deprtment Mthemtik Tg der Mthemtik 5. Juli 008 Klssenstufen 9, 10 Aufge 1. Die Zhl 6 wird us 3 gleihen Ziffern mit Hilfe der folgenden mthemtishen Symole drgestellt: + Addition Sutrktion Multipliktion
Mathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,
Mathematik mit Mathcad. 2.6 Terme. Eine Aussage ist eine Äußerung, von der man entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.
Mthemtik mit Mthcd MK 4.5.0 0_06_Grund_Terme.mcd Mthemtische Aussgen.6 Terme Eine Aussge ist eine Äußerung, von der mn entscheiden knn, ob sie whr oder flsch ist. Es regnet ( ) > 5 ( f ) Mein Auto ht vier
Die Formelsammlung: Meine Mathematische Werkzeugkiste Formel, Skizze Formel, Skizze Beispiel(e)
1. Rechenvorteile, Rechengesetze Summnd 12 plus Summnd 4 ist gleich dem Wert der Summe: 46. Minuend 10 minus Subtrhend 7 ist gleich dem Wert der Differenz: Dividend 10 geteilt durch Divisor 4 ist gleich
Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen ( n) + + +... ++ Eplizite Form: (Gleichung lässt sich nch höchster Ableitung uflösen Implizite Form: + 0 Lösung: Durch eine Funktion Lösungsweg:
Berechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
Kantonale Prüfungen Mathematik I Prüfung für den Übertritt aus der 8. Klasse
Kntonle Prüfungen 0 für die Zulssung zum gymnsilen Unterricht im 9. Schuljhr Mthemtik I Serie H8 Gymnsien des Kntons Bern Mthemtik I Prüfung für den Übertritt us der 8. Klsse Bitte bechten: - Berbeitungsduer:
1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 Eenso, denn 5?
Übungen zu Wurzeln III
A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner
Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.
Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni
Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper