DEMO. Algebraische Kurven 2. Ordnung ohne xy-glied INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL

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1 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied Üersicht üer lle möglichen Formen und Gleichungen Text Nr DEO tnd 1. Juli 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR CHULATHEATIK

2 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied Vorwort Dieser Text ist nicht gnz einfch, denn es geht um oft komplizierte Gleichungen. Um diese in die sogennnte ittelpunktsform zu ringen, wird immer wieder die ethode der qudrtischen Ergänzung verwendet. ir ht ds Erstellen dieses Textes pß gemcht, weil immer wieder etws Interessntes herusgekommen ist. Der Text ist noch nicht fertig. Es kommen u.. uch einige Triningsufgen dzu. Inhlt 1 Definition einer lgerischen Kurve. Ordnung 3 Identifizierung von Kurven. Ordnung ohne x-glied.1 Kreise?. Ellipsen? 6.3 Hpereln? 8. Preln? 11 DEO

3 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 3 1 Definition Die enge ller Punkte Px, die eine Gleichung dieser Form (oder ähnlicher) lösen heißt lgerische Kurve. Ordnung. Ax BxC DxEF 0 Drunter sind folgende eknnte Kurven (Beispiele) Kreise: Ellipsen Hpereln x r Ursprungskreis Liegt der ittelpunkt in x x r x x : zw. 1 Ursprungsellipse zw. Liegt der ittelpunkt in x : xx zw. x xxk 0 x 0 1 xx x x x k 0 in x-richtung geöffnete Ursprungshperel: x 1 zw. x 0 Liegt der ittelpunkt in x : xx zw. 1 xx x x x k 0 in -Richtung geöffnete Ursprungshperel: x 1 zw. DEO Liegt der ittelpunkt in xx x : x 0 1 x x zw. x x x k 0 Preln: in x-richtung geöffnete Ursprungsprel: px Liegt der cheitel in x : px x zw. pxk 0 in -Richtung geöffnet: x x c

4 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied.1 Kreise? Identifizierung von Kurven. Ordnung ohne x-glied 11 (1) x x3 0 erkml: Die Koeffizienten von x und sind gleich. Neue Anordnung: x x 3 Dnn knn es sich um einen Kreis hndeln. 11 x 3 9 Qudrtische Ergänzung: 3 x x 11 9 x 3 Die zunächst fehlenden Qudrte werden uf eiden eiten ergänzt. Ergenis: 3 x 9 Es liegt ein Kreis vor mit dem ittelpunkt Allgemeine Form: (1) x 16x xx r und dem Rdius 3. Diese Gleichung ht ds Kreis-erkml. n sollte dnn die Koeffizienten von x und uf 1 ringen, lso durch dividieren. Dnn kommt mn uf die Form (1) (1c) x x Die in (1) durchgeführte qudrtische Ergänzung führt hier uf 9 x x x mit dem Ergenis: DEO x D die umme zweier Qudrte nie negtiv werden knn, ht diese Gleichung keine Lösungsmenge. ie stellt lso die leere enge dr. 5 (1d) x x 3 0 Die in (1) durchgeführte qudrtische Ergänzung führt hier uf x x 3 0 x 3 mit dem Ergenis: 3 x 0 3 Diese Gleichung ht nur einen Punkt ls Kurve :

5 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 5 Verllgemeinerung: Gegeen ist eine Gleichung der Form: Dnn knn ein Kreis vorliegen. x cx d e 0 Umformung: Qudrtische Ergänzung: Fllunterscheidung: Ist Ist Ist c d e x x 0 c d e x x x c d c d e x x c d c d c d e c x d c d e 0, liegt ein Kreis vor. c d e 0, liegt ein Punkt vor. c d e 0, liegt die leere enge vor. DEO

6 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 6. Ellipsen? () 9x 5 5x erkml: D die Koeffizienten von x und die gleichen Vorzeichen hen, knn es sich um eine Ellipse hndeln () Neue Anordnung: Koeffizienten usklmmern: 9x 5x x 6x x 3 1 Qudrtische Ergänzung: 9 x 6x x Ergenis:. Ergenis: 9 x :5 x Ds ist eine Ellipse mit 3 1 und den Hlchsen 5, 3 16x 9 6x x 9 6x Neue Anordnung: 16x 6x DEO Koeffizienten usklmmern: 16 x x 9 71 x 1 Qudrtische Ergänzung: 16 x x x 1 16 x :1 1. Ergenis:. Ergenis: x Ds ist eine Ellipse mit 1 und den Hlchsen 3,

7 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 7 (c) 16x 9 6x 18x x 9 6x 18x 80 0 Der Unterschied zu () liegt im Asolutglied 80. Dher folgt nders ls dort: 16 x x x 1 1. Ergenis:. Ergenis: 16 x :7 x Diese Gleichung stellt die leere enge dr, weil die umme zweier positiver Zhlen nie negtiv sein knn. (6) 16x 9 6x 18x x 9 6x 18x x x x 1 Ergenis: Diese Gleichung stellt nur den Punkt 1 dr. Gegeen ist eine Gleichung der Form: 16 x Verllgemeinerung: x cx d e 0 Wir nehmen ohne Einschränkung n, dss und verschiedene positive Zhlen sind. Dnn knn eine Ellipse vorliegen. Umformung: Qudrtische Ergänzung: DEO x cx d e c d x x e x c d c c d d c d x x e z x c d Fllunterscheidung: Ist z > 0, liegt eine Ellipse vor. Ist z = 0, liegt ein Punkt vor. Ist z < 0, liegt die leere enge vor. Achtung: und edeuten in dieser Rechnung nicht die Hlchsen der Ellipse.

8 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 8.3 Hpereln? (3) x 9 16x erkml: D die Koeffizienten von x und verschiedene Vorzeichen hen, knn es sich um eine Ellipse hndeln Neue Anordnung: x 16x Koeffizienten usklmmern: x x 9 9 x 1 Qudrtische Ergänzung: x x z36 x 1 Alles ws links ergänzt worden ist, muss uch rechts ergänzt werden: x :36 Zusmmenfssen: Kürzen: x x Diese Gleichung stellt eine Hperel mit dem ittelpunkt 1 dr, mit = 3 und = (3) 9x 5 5x Neue Anordnung: 9x 5x Koeffizienten usklmmern: 9 x 6x 5 81 x 3 1 Qudrtische Ergänzung: Zusmmenfssen: DEO 9 x 6x z5 x x :5 Ergenis: x Diese Gleichung stellt eine in -Richtung geöffnete Hperel mit dem ittelpunkt 3 1 dr, mit = 5 und = 3

9 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 9 (3c) 9x 16 1 :1 zw. 9x 16 0 (3d) x x x Ursprungshperel. x Gerdenpr. n sieht, dss sich n telle einer Hperel uch ein Gerdenpr ergeen knn. In diesem Fll ist ds schnell zu erkennen, nicht jedoch im folgenden Fll: x 9 16x Neue Anordnung: x 16x Koeffizienten usklmmern: x x 9 7 x 1 Qudrtische Ergänzung: x x z0 x 1 Zusmmenfssen: x n erhält ein Gerdenpr: 91 x 9 1 x 1 x Ohne Betrg: 1 x 7 1. Gerde: x 1 x Gerde: x 1 x. ie schneiden sich in DEO

10 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 10 Verllgemeinerung: Gegeen ist die Gleichung. x cx d e 0 Wir nehmen nun n, dss und verschiedene Vorzeichen hen. Dnn führt mn eine qudrtische Ergänzung durch und kommt uf die Form: c c d d c d x x e z x c d Fllunterscheidung: 1. Ist z 0, dnn liegt eine Hperel vor. Diese ist in x-richtung geöffnet, wenn und z dssele Vorzeichen hen. Wenn nicht, ist sie in -Richtung geöffnet.. Ist z = 0, erhält mn ein sich schneidendes Gerdenpr: DEO

11 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 11. Preln? x cx d e 0 1. Fll: = 0, 0, mn knn zu = 1 mchen. Es knn sich um eine Prel hndeln, deren Achse prllel zur x-achse ist. () 8x 0 zw. 8x () (c) (d) Allgemeine Form: px für eine Ursprungsprel, die in -Richtung geöffnet ist. Allgemeine Form: x 0 zw. px für eine Ursprungsprel, die nch links geöffnet ist. 10x 6 0 Umordnen für ds Ziel: px x 10x 6 Qudrtische Ergänzung: x 10x 6 10x3 Ergenis: 10x 3 Ds ergit eine Prel mit dem cheitel 3 Umordnen: x8 0 x 8 Ausklmmern: x Ds ergit eine Prel mit dem cheitel die nch links geöffnet ist. 0,, die nch rechts geöffnet ist. DEO (e) 9 0 zw. 9 3 Ds sind zwei Prllelen zur x-achse. (f) (g) ergit 1, 3 Ds ist eine Prllele zur x-achse ergit 1, 1 9 oder. Ds sind zwei Prllelen zur x-achse.

12 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 1. Fll: = 0, 0, mn knn zu = 1 mchen. Es knn sich um eine Prel hndeln, deren Achse prllel zur x-achse ist. (h) (i) (j) (k) (l) zw. x 3 0 x 3 x 1 3 Prel in -Richtung, nch oen geöffnet. cheitel: 0 1,5 x x Vrinte:.Vrinte: x x 5 x1 x x 5 x Prel in -Richtung mit 1 3 x x 5 x x 5 x 1 3.Vrinte: Aleitung: 3 x x x 1 f x x x 5 f' x x cheitel: Leere enge! f' x 0 x 1 f x1, x x x x6 0 x1, Ds ergit zwei Prllelen zur -Achse: x 3 und x. DEO x 10x5 0 x1, 5 Ds ist die Gleichung einer Prllelen zur -Achse.

13 5301 Algerische Kurven. Ordnung ohne x-glied 13 Verllgemeinerung: x cx d e 0 Wenn einer der eiden Koeffizienten oder ungleich Null ist, knn eine Prel vorliegen. Ist 0 und = 0, dnn ist die Achse der möglichen Prel prllel zur x-richtung, ist 0 und = 0, dnn ist die Achse der möglichen Prel prllel zur -Richtung. Es liegt genu dnn keine Prel vor, wenn folgendes der Fll ist: () 0, = c = d = 0: e 0 e Ist 0 erhält mn zwei Prllelen zur x-achse, ist e ist 0 die leere enge. e e e 0, die x-achse. () 0, = c = d = 0: x e 0 x e e Ist 0 erhält mn zwei Prllelen zur -Achse, ist 0, die -Achse. e ist 0 die leere enge. (c) Für = d = 0: x cx e 0 Ds knn zu einer oder zwei Prllelen zur -Achse führen oder zur leeren enge. (d) Für = c = 0: d e 0 Ds knn zu einer oder zwei Prllelen zur x-achse führen oder zur leeren enge. DEO