Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

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1 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können vielleicht die Mthemtiker m schlechtesten rechnen. Der Grund hierfür ist und ds ist einzigrtig in den Nturwissenschften -, dss gerde in der Mthemtik prktisch nie irgendeine Berechnung nfällt. Nicht, dss die Mthemtiker lle ihre Berechnungen von ihren Computern erledigen ließen in der modernen Mthemtik kommen einfch so gut wie keine Rechnungen vor. Keith Devlin, Ds Mthe-Gen, dtv, München, S. 66f Gro gesgt ist jedes Prolem, ds mit Hilfe eines Tschenrechners gelöst werden knn, kein mthemtisches Prolem. Keith Devlin, Ds Mthe-Gen, dtv, München, S. 6 Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

2 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr ) Ws ändert sich in der oigen Zeichnung, wenn der Grph der Stmmfunktion nicht durch den Punkt /), sondern durch /) [zw. /-)] verläuft? Ändert sich uch der Term von F? Gilt in jedem Fll F ) f)? Der Grph von F leit jeweils eine Gerde mit der Steigung, die lediglich in y- Richtung prllel verschoen ist. Also F: zw. F:. In jedem Fll gilt F ) f). Auf ds Wssermengen-Zufluss-Modell ezogen edeutet dies lediglich, dss zur Zeit jeweils eine ndere Menge im Wssertnk enthlten ist. Die Mengenänderung im Zeitluf leit er gleich. ) Erläutern Sie, wrum der Grph von F für negtive -Werte uch negtive Funktionswerte ht. D der Grph der Rndfunktion f die Änderung Zufluss) der Stmmfunktion F ngit und F zu Zeit den Wert Wssermenge) ht, er uch vorher schon eine positive Änderung Zufluss) durch f) eschrieen ist, muss der Wert Wssermenge) von F links von kleiner ls sein. ) Zeichnen Sie jeweils f) und den zugehörigen Grph F) für ) f) ) f) - c) f) edeutet, dss F üerll die Steigung ht. D F) folgt F). In llen Fällen estätigt sich der Zusmmenhng zwischen Grph und Fläche. In Beispiel ) ist zu echten, dss die Fläche unterhl der -Achse liegt, lso Gefälle zw. Afluss) repräsentiert. Entsprechend sind die Wertveränderungen der zugehörigen Stmmfunktion negtiv. ) Begründen Sie: Wenn nicht festgelegt wird, dss der Grph der Stmmfunktion durch den Ursprung verläuft, so git es unendlich viele verschiedene mögliche Stmmfunktionsgrphen. Diese unterscheiden sich jedoch nur um eine Verschieung in y-richtung.. D eim Aleiten konstnte Glieder wegfllen, sind unendlich viele verschiedene Funktionen Stmmfunktionen zu einer gegeenen Rndfunktion. Nämlich mindestens lle in y-richtung verschoenen Funktionen. Dies wird möglich, wenn nicht F) gefordert wird. Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

3 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr. Ds sind uch schon lle möglichen Stmmfunktionen, denn es gilt: Flls F und G zwei Stmmfunktionen von f sind, dnn gilt [F) G)] F ) - G ) f) f). Die Aleitung der Differenz von F und G ht üerll die Steigung, dmit muss ihr Grph wgerecht sein, lso ein eine Konstnte c R. Also gilt: F) G) c F) G) c. F und G unterscheiden sich lso höchstens um eine Verschieung in y- Richtung. ) ) f)> im Intervll [; ] edeutet positive Steigung Zufluss), lso dss die Stmmfunktion Wssermenge) im gesmten Intervll steigt. Die Gesmtsteigung entspricht der Flächenmßzhl zwischen dem Grph der Rndfunktion f und der -Achse und diese knn m Grph der Stmmfunktion Wssermengenfunktion) ls Differenz der Funktionswerte Wssermengen) zu Beginn [F)] und m Ende des Intervlls [F)] gelesen werden F F) - F). ) f)< im Intervll [; ] edeutet negtive Steigung Afluss), lso dss die Stmmfunktion Wssermenge) im gesmten Intervll fällt. Ds Gesmtgefälle entspricht der Flächenmßzhl zwischen dem Grph der Rndfunktion f und der -Achse und diese knn m Grph der Stmmfunktion Wssermengenfunktion) ls Differenz der Funktionswerte Wssermengen) zu Beginn [F)] und m Ende des Intervlls [F)] gelesen werden. Die Flächenmßzhl ist in diesem Fll lso die Gegenzhl der Differenz der Funktionswerte F -F) - F)). 6) ) f) ) f) c) f) 7) Skizze für c und d größer ls. Berechnet mn die Fläche zwischen der Rndfunktion f: c, c R und der -Achse im Intervll [; ], so ist die Flächenmßzhl c-c. Diesen Wert erhält mn, wenn mn ei einer elieigen Funktion F: c d F)-F) erechnet. ) ) Fläche unterhl der -Achse im Intervll [-; ] F, Fläche oerhl der -Achse im Intervll [; ] F, Stmmfunktion: F) ; Wertedifferenz im Intervll [-;]: F) - F-),, ) Fläche unterhl der -Achse im Intervll [-; ] F, Fläche oerhl der -Achse im Intervll [; ] F Stmmfunktion: F) ; Wertedifferenz im Intervll [-;]: F) - F-),, Bildet mn die Differenz Fläche oerhl der -Achse Zufluss) Fläche unterhl der -Achse Afluss) im Intervll, so ist dies gleich der Wertänderung der Stmmfunktion in diesem Intervll. c) Fläche unterhl der -Achse im Intervll [-; ] F, Fläche oerhl der -Achse im Intervll [; ] F, Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

4 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996- Stmmfunktion: F) ; Wertedifferenz im Intervll [-;]: F) - F-), -, In llen Fällen gilt: Bildet mn die Differenz Fläche oerhl der -Achse Zufluss) Fläche unterhl der -Achse Afluss) im Intervll, so ist dies gleich der Wertänderung der Stmmfunktion Wssermengenänderung) in diesem Intervll. 9) Bestimmen Sie die Stmmfunktion G zur Rndfunktion g: : -, indem Sie die Üerlegungen von der Rndfunktion f: üertrgen. ) Berechnen Sie für diesen Fll noch einml konkret O und U. Bechten Sie dei die Regel für ds Aufstellen der Oer- und Untersummen Wir erechnen nun die Oer- und Untersumme für <, und n : O [ ] Breite [größtes f) größtes f) ] usgeklmmert usgerechnet. U [ ] 7 Breite [kleinstes f) kleinstes f) ] usgeklmmert usgerechnet. ) Berechnen Sie für > und für < noch einml konkret O und U. Bechten Sie dei die Regel für ds Aufstellen der Oer- und Untersummen! Wir erechnen nun die Oer- und Untersumme für n : U [ ] 6 Breite [größtes f) größtes f) ] usgeklmmert usgerechnet.

5 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr O [ ] Breite [kleinstes f) kleinstes f) ] usgeklmmert usgerechnet. Im Vergleich zur Rndfunktion f: sind hier Oer- und Untersumme jeweils negtive Werte wegen der negtiven Funktionswerte!). Außerdem erscheinen Oer- und Untersumme vertuscht, weil im negtiven Bereich größer den kleineren Betrg edeutet. Oersumme edeutet lso nicht, dss die Fläche gnz gedeckt sein muss, sondern lediglich, dss die größten f)-werte zur Berechnung herngezogen werden. ) Führen Sie die schnittsweisen Untersuchungen ) is ) us ) uch für durch! ) < < Der Anschuung entnimmt mn, dss die Fläche ls Differenz zweier Flächen ufgefsst werden knn: F F F - F ) < Weil <, gilt us Symmetriegründen: F ) < < Mn entnimmt der Anschuung: F F ) < < F F F - F ) Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

6 Seite 6 Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr ) Die Flächen sind ei eiden Funktionen gleichgroß ) F 6 ) F c) F ) 9 d) F ) ) 6 6 e) ) ) F ) c) F 9 ) F ) ) d F c) d e) d , ), 6 ) d d) d ) 6,,7 6 6 ), -,7 Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

7 Seite 7 Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr 6) Fertigen Sie zu jeder Regel eine Skizze n, die diese Regel vernschulicht!.regel: O ist Oersumme für f) Ô ist Oersumme für f) O [ ] Ô Dssele gilt für die Untersummen. D ds Integrl üer die Oer- und Untersummen geildet wird, üerträgt sich ds Ausklmmern uch uf ds Integrl.. Regel: Mit der Addition der Funktionswerte werden uch die mimlen minimlen) Funktionswerte in den Intervllen ddiert. Dmit ist der Grenzwert der Summe von zwei Funktionen gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Summnden, us denen die Funktion zusmmengesetzt wurde und umgekehrt.. Regel: D die Intervlllänge eträgt, muss uch ds Integrl den Wert hen siehe Regel zum Bilden der Oer- und Untersumme!).Regel: f ) d f ) d f ) d. Regel siehe. Regel!) Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

8 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr 7) Formulieren Sie die Regeln in Worten.. Regel: Ein konstnter Fktor leit eim Integrieren erhlten.. Regel: Ds Integrl einer Summe ist gleich der Summe der Integrle der Summnden.. Regel: Ds Integrl mit der Intervlllänge ht den Wert.. Regel: Addiert mn zwei Integrle derselen Funktion mit direkt neinnder nschließenden Intervllen, so knn ds Integrl vom Beginn des ersten zum Ende des zweiten Intervlls geildet werden. 6. Regel: Ds Integrl ändert ds Vorzeichen, wenn mn die Intervllgrenzen vertuscht. ) Begründen Sie, wrum für die Berechnung der Fläche F nicht zwischen negtiven und positiven Funktionswerten der Rndfunktionen f und g unterschieden werden muss. Weil die Differenz der Funktionswerte entscheidend ist und diese ist nch Whl der Differenz in diesem Intervll positiv. 9) ) )d ) ) 7 ) ) ) ), )d 7 6 ) 6 )d ,6 6 6 )d 6,6 c) 6 )d ) ) 6 )d 6 Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

9 Seite 9 Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996- ) ) F F F F ) )d )d ) ) ) ) ) 9 ) - 6 ) ) F F F )d )d [ ] ) ) ) [ ],, c) F F F )d )d )d )d )) ) ) )) ) ) )) ) ) )) ) ) ) ) ) 6 ),,

10 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr d) Ergenis: F,7 e) F )d,7 f) F F F 6)d - 6)d 6 6 6) ) ) 6) 6 g) Ergenis: F Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

11 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996- h) F F F F )d )d )d ) ) ) ) Es sind jeweils die Schnittstellen durch Lösen von f)g) zu erechnen und es ist eine qulittive Skizze nzufertigen. ) F F f ))d g) ))d ) )d [ ] ) Ergenis: c) Ergenis: d) Ergenis: e) Ergenis: F,6 F, F F f) Ergenis: g) Ergenis: F, F,

12 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr ) Ws ändert sich in der Beweiskette des Huptstzes, wenn < gilt? Die Division durch - ) mit < ) ergit: I ) I ) f min[, y] ) f m[, y] ) Die Ungleichungskette wird wegen der Division durch eine negtive Zhl umgedreht. Beim Üergng zum Grenzwert entsteht wieder diesele Gleichung. I ) I ) ) Jemnd sgt der Term sei uf zwei Arten interpretierr:. Art: Die durchschnittliche Steigung der Integrlfunktion im Intervll [ ; ].. Art: Der Durchschnitt der f) -Werte der Rndfunktion im Intervll [ ; ]. Nehmen Sie Stellung! zu: Ds ist richtig, denn der Zuwchs der Funktionswerte steht im Zähler und wird durch die zugehörige Intervlllänge dividiert. Also erhält mn die Durchschnittssteigung der Integrlfunktion. I ) I ) zu: Gilt für eine Funktion g im gesmten Intervll g) c eine Konstnte), so ergit sich für die Fläche F zwischen dem Grph von g und der -Achse: F c ) I ) - I ). Mn erhält lso diesele Änderung der Integrlfunktion wie ei f. Der Wert c knn lso ls Mittelwert der Funktionswerte interpretiert werden. ) Wrum könnte der Huptstz ohne die Stetigkeit der Rndfunktion nicht ewiesen werden? ) Ohne die Vorussetzung der Stetigkeit könnte nicht gefolgert werden, dss lim f min[, y] ) f ) gilt. Wenn der Grph von f etw n der Stelle eine Sprung hätte, dnn wäre dieses nicht korrekt. ) Wo steckt im Beweis die Idee der Oer- und Untersummen? In der Flächenschätzung nch oen und unten findet mn die Idee der Oer- und Untersumme wieder. 6) Fertigen Sie zu den folgenden Rndfunktionen die entsprechende Beweisskizze für den Huptstz n. Integrlfunktion, Beschriftungen etc.) Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

13 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr 7) Der Grph der Funktion f: und eine Prllele zur - Achse egrenzen eine Fläche. Bestimmen Sie die Prllele so, dss der Flächeninhlt ) ) 6 c) eträgt. ) F ) d ) ) c) ) Wie ist zu wählen, dmit die eiden Flächen F und F gleichgroß sind? ) d Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-

14 Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr 9) Auf dem Grph der Funktion f: - liegt der Punkt P/). ) Bestimmen Sie die Tngente im Punkt P n den Grph von f. ) Berechnen Sie den Inhlt der Fläche, die von dem Grph von f, der Tngente und der y-achse eingeschlossen wird. ) Ergenis m f ); P/) einsetzen ergit): t) ) F ))d )d ) Bestimmen Sie den Inhlt der Fläche, die zwischen dem Grph der Funktion f: - und der Tngente im Hochpunkt liegt. Ergenisse: - HP ist H/) - Die Tngentengleichung im HP ist y - Die Schnittstellen von Tngente und Grph sind ±. F ))d )d,6 ) Welche Steigung muss die Gerde g: m hen, dmit sie mit dem Grph von f: eine Fläche mit dem Inhlt einschließt?. Berechnung des Schnittstelle s ergit: m m m m m. F m m m m ) d m m m 6 Alle Angen ohne Gewähr! Stefn Gärtner 996-