Integralrechnung. 1. Stammfunktionen

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1 Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder Tiefpunkte). Hier gehen wir dvon us, die Aleitung zu kennen und die ursprüngliche Funktion wieder zu finden. Wir kehren die Aleitung um, indem wir eine vorgegeene Funktion f integrieren, um eine Stmmfunktion F zu finden. Beispiel: f(x) = x + Welche Funktion ergit geleitet f(x)? F(x) = Stmmfunktion mit F (x) = f(x) = Unestimmtes Integrl Es zeigt sich er, dss lle Funktionen der Form F c (x) = Stmmfunktionen von f sind. Als Lösung erhlten wir eine gnze Schr von Funktionen! Der Tschenrechner liefert uns zu vielen Funktionen eine Stmmfunktion (llerdings immer ohne die Konstnte c). Um eine Eindeutigkeit zu erlngen, muss eine Rndedingung gegeen sein. Beispiel: Der Grph der Stmmfunktion von f(x) = x + soll durch den Punkt P( 4) gehen. F c (x) = = c = F(x) = Aufge. Die Funktion v(t) =.5t.875t (v in m/s, t in s) eschreit die Geschwindigkeit eines Autos während einer Minute (d.h. t 6). Bestimmen Sie ) die mximle Geschwindigkeit, ) den Weg, den ds Auto in der ersten Minute zurücklegt. Lösungen ) v mx = 3 m/s ei t = 4 s; ) 35 m. Seite

2 Integrlrechnung. Flächen unter Kurven Betrchten wir Flächen, die von einem Funktionsgrphen und der x Achse eschränkt werden, so geht es nicht lleine um geometrische Frgen. In der Physik tuchen solche Flächen immer wieder uf. Die Flächeninhlte sind dnn z.b. ein Weg oder verrichtete Areit. Für Spezilfälle lssen sich solche Zusmmenhänge ohne Integrlrechnung herleiten. Hier sollen zwei llgemeine Anleitungen zur Bestimmung von Flächen gegeen werden, die von einem Funktionsgrphen, der sog. Rndfunktion und der x Achse eschränkt werden. Wir setzen vorus, dss die Rndfunktion stetig ist. Die Methoden werden nhnd des gleichen Beispiels gezeigt. Gesucht ist jeweils die Fläche zwischen dem Grphen von f(x) = x +, der x Achse und den eiden Vertiklen ei x = und x = 3... Die Flächenfunktion Wir führen eine Funktion A ein, deren Werte die gesuchten Flächeninhlte liefern, und üerlegen uns, wie wir diese Funktion estimmen können. A(x) sei der Flächeninhlt zwischen den Vertiklen ei und x Wir etrchten nun den schmlen Streifen zwischen x und x+h. Es gilt: 3 Wenn wir nun den Grenzwert etrchten, wenn h gegen stret, so gilt: f(x+h) = f(x) = Ds edeutet, dss die Rndfunktion f die der Flächenfunktion A resp. die gesuchte Flächenfunktion A eine von f ist. A(x) = Zudem gilt die Rndedingung, dss A() = sein muss. Dmit können wir A vollständig estimmen und uch die gesuchte Fläche erechnen. A() = = c = A(x) = A(3) = = Seite

3 Integrlrechnung.. Die Streifenmethode Wir nähern nun die gesuchte Fläche von oen und unten durch eine Reihe von Rechtecken n, deren Flächen wir ufsummieren. Wir ekommen eine Oer- und eine Untersumme Die Näherung wird ntürlich umso esser, je mehr Rechtecke wir für unser Intervll enützen. 3 Anzhl Rechtecke Untersumme Oersumme Mittelwert Wir erhlten für die gesuchte Fläche einen Näherungswert von..3. Die Integrlschreiweise Wenn wir die eiden Methoden vergleichen, so wird klr, dss eide ihre Vor- und Nchteile hen: Die Flächenfunktion ergit exkte Werte, er wir müssen die Stmmfunktion der Rndfunktion estimmen können, ws in mchen Fällen schwierig oder gr unmöglich ist. Die Streifenmethode ergit Näherungswerte. Exkte Werte sind nur schwer oder gr nicht estimmr. Dfür enötigen wir keine Stmmfunktion. Ausgehend von der Streifenmethode kommt mn zu einer Schreiweise für die gesuchte Fläche, die estimmtes Integrl heisst. Betrchten wir die Berechnung der Oersumme im Detil. Die Rndfunktion sei f, die Vertiklen seien ei x = und x =, <. Ds Intervll [;] sei in n Teilstücke der Länge Δx unterteilt. Sei mx f (i) der Mximlwert, min f (i) der Minimlwert von f im i ten Intervll. Dnn gilt für die Oersumme: n O n = mx f (i) Δx U n = i= Für die gesuchte Fläche A gilt: U n A O n Existieren die eiden Grenzwerte von U n und O n für n und sind gleich, dnn gilt: A = lim O n = n Seite 3

4 Integrlrechnung Für den Grenzwert ht sich folgende Schreiweise, die von Gottfried Wilhelm Leinitz (646 76) stmmt, etliert: A = f(x) dx Bestimmtes Integrl Ds symolisiert dei die unendliche Summe und dx die Breite der elieig schmlen Rechtecke. Wenn wir die Flächenfunktion A(x) wieder verwenden, so gilt: A() = F() F() = f(x)dx D die Differenz zweier Werte der Stmmfunktion F verwendet wird, ist es nicht relevnt, welche der Stmmfunktionen F von f wir für die Berechnung verwenden. Die Konstnte c entfällt uf jeden Fll. Für unser Beispiel mit f(x) = x + und den Grenzen und erhlten wir A = = = Wir fssen zusmmen: Stz: Ist f(x) für x und stetig und F eine Stmmfunktion von f, so gilt für die Fläche A, die von der x Achse, dem Grphen von f und den eiden Vertiklen x = und x = eschränkt wird: A = F() F() A = f(x) dx Bestimmtes Integrl Aufge. Der Stz oen ist ewusst für f(x) formuliert. Hier sollen Sie untersuchen, ws pssiert, wenn uch f(x) < gelten drf. Betrchten Sie dzu die Rndfunktion f(x) = x 4x. Ws liefert ds estimmte Integrl in den Intervllen [;3], [;5] resp. [4;7]? Ws können Sie us den Berechnungen oen schliessen? Seite 4

5 Integrlrechnung Beispiel: f(x) =.5x 3x+4 Wie gross ist die Fläche, welche der Grph von f und die x Achse für x 5 einschliessen? Die Berechnung der Nullstellen zeigt, dss der Grph im Bereich von is 5 zweiml die x Achse schneidet: x = und x =. Wir erechnen die gesuchte Fläche nun in 3 Schritten: A = x f(x)dx = = x f(x) dx = = A = x A 3 = 5 f(x)dx = = x A = A +A +A 3 = Die Berechnung des folgenden estimmten Integrls liefert zwr uch einen Wert, er nicht den Flächeninhlt A. Die Unterteilung vorher wr lso nötig! 5 f(x) dx = = A Aufgen 3. ) Bestimmen Sie die Fläche, welche der Grph von sin(x) und die x Achse zwischen zwei Nullstellen einschliessen. ) Bestimmen Sie die Fläche, welche der Grph von 3 cos(x) und die x Achse für x π einschliessen. 4. Die Krft einer Feder ei der Auslenkung x wird durch F(x) = x ngegeen ( ist die Federkonstnte und ht die Einheit N/m). ) Welche Areit muss verrichtet werden, um die entspnnte Feder um.5 m useinnder zu ziehen? ) Welche Areit muss verrichtet werden, um die Feder, die ereits.3 m useinnder gezogen ist, uf.8 m zu strecken? Lösungen: 3) ; ). 4) 5 J, ) 55 J. Seite 5

6 Integrlrechnung 3. Flächen zwischen Kurven Wir wollen die Resultte des letzten Kpitels verllgemeinern, indem wir sttt einer Funktion f und der x Achse zwei Funktionen f und g zur Begrenzung einer Fläche nehmen. Die x Achse ist uch durch eine Funktion eschreir: g(x) =. Wir mussten echten, o f oerhl oder unterhl der x Achse verlief. Entsprechend wichtig wren die Nullstellen. Dies lässt sich einfch uf zwei elieige Funktionen üertrgen. Wichtig ist, welche Funktion oen verläuft und wo sich die Grphen schneiden. Stz: Sind f und g zwei Funktionen mit g(x) f(x) für lle x mit x, so ist der Flächeninhlt A zwischen den eiden Grphen von is gleich A = g(x) f(x)dx Beispiel: f(x) = x 9x+8 und g(x) = x +7x Welche Fläche egrenzen die eiden Grphen? Dzu müssen wir zuerst die Schnittpunkte der Grphen estimmen: = = = x = = x = A = = Aufgen 5. Üerzeugen Sie sich von der Richtigkeit der Rechnung und des Stzes von oen, in dem Sie die gesuchte Fläche us luter Flächen zusmmensetzen, die zwischen einem der eiden Grphen und der x Achse liegen. 6. Bestimmen Sie die schrffierte Fläche, die von den Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) egrenzt wird. Tipp: Nützen Sie die Symmetrie der schrffierten Fläche us! Lösung: 6). Seite 6

7 Integrlrechnung 4. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ist f(x) im Intervll [;], so hen wir ereits festgehlten, dss f(x)dx = F() F() mit F (x) = f(x) gilt. Im letzten Kpitel hen wir uch zugelssen, dss f(x) < wird. An der oeren Gleichung ändert sich ddurch er nichts. Sie gilt weiterhin. Wir formulieren deswegen den folgenden Stz: Stz: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f(x) im Intervll [;] stetig und integrierr und F (x) = f(x) eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt f(x)dx = F() F(). Genuere Betrchtungen zeigen, dss unter gewissen Umständen die Rndfunktion f nicht stetig sein muss. So können z.b. einzelne Funktionswerte ohne grössere Konsequenzen fehlen. 5. Rechenregeln zu den Integrlen Komplizierte Integrle können mit Hilfe einfcher Regeln in kleinere zerlegt werden. Diese Regeln stellen die Umkehrung der entsprechenden Aleitungsregeln dr. Zwei sind sowohl für die Berechnung von Stmmfunktionen wie uch für estimmte Integrle nwendr. Stmmfunktionen Bestimmtes Integrl Summe (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Konstnter Fktor c f(x)dx = c f(x)dx c f(x)dx = c f(x)dx Änderung der Integrtionsgrenzen f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx Es git noch weitere Regeln, die hier nicht ufgelistet sind, insesondere die prtielle Integrtionsregel und die Regel für die Integrtion durch Sustitution. Diese eiden stellen die Umkehrung der Produkt- und der Kettenregel dr. c c Die oen ufgelisteten Regeln lssen sich recht einfch eweisen. Hier ls Beispiel die Beweise für die Summenregel: (f(x) + g(x))dx = (F(x)+G(x))+c = F(x)+c f +G(x)+c g mit c = c f +c g = Seite 7

8 Integrlrechnung (f(x) + g(x))dx = = = Aufge 7. Beweisen Sie die nderen Regeln nlog zu den gezeigten Beispielen! Seite 8

9 Integrlrechnung 6. Rottionskörper Ds estimmte Integrl knn nicht nur zur Berechnung von Flächen, sondern uch für Volumen verwendet werden. Besonders einfch ist dies ei Rottionskörpern, deren Drehchse die x Achse ist. Wir gehen dvon us, dss wir die Begrenzung eines Körpers durch den Grphen einer Funktion f kennen. Die Hülle des Rottionskörpers entsteht dnn durch rotieren des Grphen um die x Achse. Die Funktion f(x) git den Rdius des Körpers n der Position x n. In Kpitel hen wir eine Fläche durch viele schmle Rechtecke ngenähert. Jetzt verwenden wir für ein Volumen dünne Kreisscheien. Diese entstehen durch Rottion der Rechtecke um die x Achse. Ds Verfhren ist lso völlig nlog. Sttt der Höhe des Rechtecks kennen wir mit f(x) den Rdius der Scheie. Ist die Dicke der Scheie Δx, dnn erechnet sich ds Volumen einer Scheie so: ΔV = Durch Verkleinern von Δx und dmit von ΔV können wir ein Volumen elieig genu nnähern. Erfreulicherweise ist die Berechnung der Volumen uch mit dem estimmten Integrl möglich. Ds Vorgehen ist uch hier gnz nlog zur Berechnung von Flächen. Stz: Sei f(x) für x. Ds Volumen des Körpers im Bereich von is, der durch Rottion des Grphen von f um die x Achse entsteht, ist gegeen durch V = π f (x)dx Beispiel: Sei f(x) =.5x +x+, = und = 4. Ds Grphenstück egrenzt ein fssähnliches Volumen, wenn es um die x Achse rotiert wird. Rndfunktion Rottionskörper Wie gross ist ds Volumen des Fsses? V = = Seite 9

10 Integrlrechnung 7. Uneigentliche Integrle Wenn ei einem estimmten Integrl eine oder eide Schrnken gegen + oder lufen, sprechen wir von einem uneigentlichen Integrl. Wir erechnen dnn einen Grenzwert, der ntürlich nicht für jede Funktion existieren muss. Auf Flächenerechnungen ezogen, können wir uneigentliche Integrle ls oere Schrnke möglicher Flächen verstehen. Dzu ds folgende Beispiel. Beispiel: Sei f(x) = /x. Wie gross knn die Fläche unter dem Grphen von f mit = und > mximl werden? Mit = : A = x dx = Mit = : A = = Allgemein: A = = Grenzwert: A = lim A = = Ein uneigentliches Integrl wird lso erechnet, indem zuerst die Schrnke durch eine llgemeine Konstnte usgedrückt, dnn ds zugehörige estimmte Integrl erechnet und schliesslich die Konstnte gegen + oder geschickt wird. Der Tschenrechner versteht uch diese Vrinte: A = dx = x Aufgen 8. Bestimmen Sie die uneigentlichen Integrle. ) f(x) = /x mit = und = +. ) f(x) = e x mit = und =. c) Rottionskörper mit Rndkurve f(x) = /x und = und = +. Lösungen: 8) + ; ) ; c) π/3. Seite