Mathematik Rechenfertigkeiten

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1 27 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 8. August 27

2 Inhltsverzeichnis Grundlgen der Integrlrechnung 2. Definition und Bedeutung Ds unbestimmte Integrl Ds bestimmte Integrl Prtielle Integrtion 3 Integrtion durch Substitution 3 4 Uneigentliche Integrle 7

3 Grundlgen der Integrlrechnung Wir hben in den letzten Tgen die Ableitung, respektive ds Differenzieren, kennengelernt. Nun kommen zweiten grossen Gebiet der Anlysis, der Integrlrechnung. Ziel des ersten Teils ist es zu zeigen, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen dem Ausrechnen des Flächeninhltes unter dem Grphen einer Funktion f und dem Finden einer Funktion F mit der Eigenschft F = f, einer sogennnten Stmmfunktion von f. Im zweiten und dritten Teil werden wir einige Integrtionsregeln und -methoden behndeln, welche uns helfen, eine gegebene Funktion f zu integrieren. Schliesslich werden wir uns im vierten und letzten Teil noch mit sogennnten uneigentlichen Integrlen beschäftigen.. Definition und Bedeutung Wir betrchten eine Funktion f(x), welche überll ist. Wie gross ist die Fläche, welche zwischen dem Grphen der Funktion und der x Achse sowie den vertiklen Gerden x = und x = b liegt? f b Wir teilen diese Fläche in n Stücke uf, und zwr so, dss wir sie einerseits von unten und ndererseits von oben pproximieren: 2

4 f b Wir bruchen folgende Bezeichnungen: Innere Treppenfläche U n : Äussere Treppenfläche O n : Die dunkel schttierte Fläche Die dunkel schttierte plus die hell schttierte Fläche Unterteilen wir nun die Fläche in immer kleinere Stücke, so wird die Approximtion immer besser. Anders gesgt, bekommen wir den korrekten Flächeninhlt, sobld wir n lufen lssen. Definition. Flls lim U n = lim O n, n n wird dieser Limes ls bestimmtes Integrl bezeichnet, und wir schreiben b f(x)dx. Für eine positive Funktion entspricht lso ds Integrl gerde der Fläche unter der Kurve. Bemerkung. Für eine stetige Funktion ist obige Bedingung immer erfüllt. Es gibt ber Funktionen, bei welchen ds nicht mehr zutrifft. Betrchte, x Q [,] f(x) =, x / Q [,] Dnn gelten U n = und O n = für lle n N und somit lim n U n = = lim n O n. Der Grph dieser Funktion lässt sich nicht zeichen, d der Wert beliebig schnell zwischen und 3

5 hin und her springt. In diesem Fll ist uch nicht klr, ws die Fläche unter diesem Grphen sein soll. Dies erfordert eine tiefergehende Behndlung der Integrtionstheorie. Beispiel. Wir betrchten die Funktion f(x) = x 2 und wollen die Fläche von bis zu einer Zhl b berechnen (in der Grfik unten ist b = 5) Wir unterteilen die Fläche zuerst wieder in n Teile und pproximieren sie von oben sowie von unten Wir werden folgende Formel benutzen: n k= k 2 = n(n+)(2n+) 6 4

6 Wir erhlten für die äussere Treppenfläche O n = b ( ) 2 b n + b ( ) 2 2b n n + b ( ) 2 3b n n + + b ( nb n n n ( (b = b ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 2b 3b nb n n n n n = b3 ( n 2) n 3 ( ) ( ) n(n+)(2n+) = b3 (n 2 +n)(2n+) 6 n 3 6 ( ) ( 2n 3 +3n 2 +n = b n + ) 6n 2 = b3 n 3 = b3 n 3 ) 2 lso ( lim O n = lim b 3 n n 3 + 2n + ) = b3 6n 2 3. Auf die gleiche Art und Weise erhlten wir für die innere Treppenfläche und für den Limes U n = b n 2 + b n ( ) 2 b + b n n ( ) 2 2b + + b n n = b3 ( (n ) 2) n 3 ( ) = b3 (n )n(2(n )+) n = b ( lim U n = lim b 3 n n 3 2n + ) = b3 6n 2 3. Die zwei Grenzwerte stimmen überein, und somit erhlten wir ( (n )b n ) 2 ( 3 2n + ) 6n 2 b x 2 dx = b3 3. 5

7 .2 Ds unbestimmte Integrl Eine Funktion F(x) heisst Stmmfunktion der Funktion f(x), flls F (x) = f(x). Wenn F(x) eine Stmmfunktion von f(x) ist, dnn bezeichnet mn f(x)dx = F(x)+C ls unbestimmtes Integrl. Dbei ist C R eine Konstnte, die sogennnte Integrtionskonstnte. D die Ableitung einer Konstnten ist, können wir jeweils eine Konstnte ddieren, ohne dss sich die Ableitung ändert. Stmmfunktionen sind dher nicht eindeutig. Zwei Stmmfunktionen unterscheiden sich ber lediglich durch eine Konstnte. Es reicht us, die Integrle von ein pr wichtigen Funktionen zu kennen, um integrieren zu können. Zusmmen mit den Eigenschften der Integrtion sowie wie mit den Methoden prtielle Integrtion (Kpitel 2) Substitution (Kptiel 3) können wir sehr viele Integrle berechnen. Es gibt jedoch Funktionen, deren Stmmfunktionen sich nicht ls eine geschlossene Funktionsgleichung bestimmen lssen. Drum gleich zu Beginn die unbestimmten Integrle der wichtigsten Funktionen (überprüfen durch Ableiten): x dx = 2 x2 +C x n dx = n+ xn+ +C, wobei n R\{ } e x dx = e x +C dx = ln( x )+C x sin(x) dx = cos(x)+c cos(x) dx = sin(x)+c D eine Stmmfunktion bestimmt wird, indem mn die Opertion des Ableitens umkehrt, überrscht es nicht, dss es nlog zu den Ableitungsregeln uch entsprechende Integrtionsregeln gibt. Die ersten beiden dieser Regeln sind die Konstnten- und die Summenregel. 6

8 Eigenschften: c f(x) dx = c f(x) dx für c R (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx.3 Ds bestimmte Integrl Wir hben gesehen, dss ds bestimmte Integrl b f(x) dx die Fläche zwischen dem Grphen der positiven Funktion f(x) und der x-achse zwischen den Integrtionsgrenzen und b ngibt. Im Unterschied zum unbestimmten Integrl ist dies eine Zhl, keine Funktion. Zusätzliche Eigenschften: Für c b gilt: b f(x) dx = c f(x) dx+ b c f(x) dx Vertuschen der Integrtionsgrenzen: b f(x) dx = b f(x) dx Die Berechnung des bestimmten Integrls der Funktion y = x 2 wr nur möglich, d eine Formel für die Summe der Qudrtzhlen existiert. Wenn ber schon die Integrtion einer so einfchen Funktion schwierig ist, wie soll dnn ds bestimmte Integrl komplizierterer Funktionen berechnet werden? Die entscheidende Idee ist der sogennnte Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, der grob gesgt besgt, dss zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integrl, zwei grundlegend verschiedenen Konzepten, eine sehr enge Beziehung besteht. Konkret ist die Aussge folgende: und wir schreiben uch b f(x) dx = F(b) F() 7

9 b f(x) dx = F(x) b Beispiele. () 5 3 x 3 dx = x = = = 36 (b) Gesucht ist die Fläche, die zwischen der y-achse, dem Grphen von e x und der konstnten Funktion y = e eingeschlossen ist Der Schnittpunkt von e und e x liegt bei, dher sind und die Integrtionsgrenzen. (e e x ) dx = ex e x = e e ( ) = Bis jetzt hben wir immer Funktionen f betrchtet. Ws pssiert mit dem Flächeninhlt, wenn die Funktion negtiv wird? Flächen unterhlb der x Achse werden negtiv gezählt (denn bei der Berechnung der jeweiligen Ober- und Untersumme wird die Intervlllänge (positiv) mit dem Funktionswert (negtiv!) multipliziert). 8

10 + + Beispiel. Wir wollen die Fläche zwischen dem Grphen von sin(x) und der x Achse zwischen und 2π berechnen: Berechnen wir 2π sin(x)dx = cos(2π)+cos() = + =, entspricht dies nicht der Fläche. Die Fläche oberhlb der x-achse und diejenige unterhlb der x-achse heben sich gegenseitig uf. Die Fläche ber entspricht dem Integrl 2π sin(x) dx. Wir teilen die Funktion in die positiven und in die negtiven Teile uf:, flls x π sin(x), flls π x 2π und erhlten somit 9

11 2π sin(x) dx = π sin(x)dx+ 2π π ( sin(x))dx = cos(x) π +cos(x) 2π π = cos(π) ( cos())+cos(2π) cos(π) = ( )++ ( ) = 4. Ds Vorgehen bei der Flächenberechnung (Fläche zwischen einem Grphen und der x-achse, bzw. zwischen zwei Grphen) ist lso folgendes:. Mn berechnet die Nullstellen der Funktion. (Soll die Fläche zwischen zwei Grphen berechnet werden, muss mn die Schnittpunkte bestimmen.) 2. Mn integriert von Nullstelle zu Nullstelle (bzw. von Schnittpunkt zu Schnittpunkt). Dbei wird ds Integrl negtiv, wenn der Grph unter der x-achse verläuft. Die Fläche ist dnn der entsprechende positive Wert. 3. Mn ddiert schliesslich die verschiedenen Flächeninhlte, um so die Gesmtfläche zu erhlten.

12 2 Prtielle Integrtion Die Prtielle Integrtion entspricht der Produktregel der Differentition, welche lutet: (f g) = f g +f g, respektive etws umgeformt f g = (f g) f g. Durch Integrtion beider Seiten erhlten wir f g dx = (f g) dx f gdx D h dx = h+c für jede Funktion h, entspricht dies f g dx = f g f g dx (+C) Dies nennt mn die prtielle Integrtion. Die zu integrierende Funktion muss lso usgedrückt werden können ls Produkt zweier Funktionen f(x) g (x). Diese Regel gilt sowohl für unbestimmte ls uch für bestimmte Integrle. In solchen Formeln wird die Konstnte C häufig weggelssen, d sie in den unbestimmten Integrlen bsorbiert werden knn. Überhupt muss mn mit Formeln, die unbestimmte Integrle enthlten vorsichtig sein. Die Version für bestimmte Integrle nimmt folgende Form n: b f g dx = f(x) g(x) b b f g dx Beispiele. () Um xcos(x) dx zu bestimmen, wählen wir die Funktionen: f(x) = x f (x) = g (x) = cos(x) g(x) = sin(x) Dnn gilt: xcos(x) dx = f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx =xsin(x) sin(x) dx = xsin(x)+cos(x)+c.

13 Zur Kontrolle, dss dies uch die richtige Stmmfunktion ist, können wir die Stmmfunktion bleiten: (xsin(x)+cos(x)+c) = sin(x)+xcos(x) sin(x)+ = xcos(x), ws der ursprünglichen Funktion entspricht. Wir hben lso richtig integriert! e 2 (b) Für ln(x) dx betrchten wir: f(x) = ln(x) g (x) = f (x) = x g(x) = x Dmit gilt: e 2 ln(x) dx = e 2 e 2 e 2 ln(x) dx = xln(x) x x dx = e 2 ln(e 2 ) ln() x e 2 = e 2 2 ln() e 2 + = e

14 3 Integrtion durch Substitution Die prtielle Integrtion entsprch der Produktregel. Gibt es uch so etws wie eine Kettenregel für Integrle? Ttsächlich gibt es eine Regel, die besonders geeignet ist, Integrle von verschchtelten Funktionen zu berechnen. Allerdings ist es so, dss diese Regel, die Substitutionsregel, nicht für jede verschchtelte Funktion zum Ziel führt. Wenn die zu integrierende Funktion jedoch von der Form f(g(x))g (x) ist, ds heisst, ds Integrl ht folgende Form f(g(x))g (x) dx, dnn können wir die Funktion g(x) durch eine Vrible u ersetzen und dnch über u integrieren. Nicht immer ist diese Form einfch bzulesen. Vermuten wir, dss wir Substitution nwenden können, probieren wir es einfch us, und zwr wie folgt: (i) Suche eine Funktion, welche wir ersetzen wollen (üblicherweise die innere Funktion der Verschchtelung): u = g(x). (ii) Leite u nch x b: du dx = g (x), wobei du dx u nch x ist. eine ndere Schreibweise für die Ableitung von (iii) Löse diese Gleichung nch dx uf: dx = du du. Es hndelt sich bei zwr nicht um g (x) dx einen wirklichen Bruch (es ist bloss eine Schreibweise). Es stellt sich jedoch herus, dss mn in vielen Situtionen (so uch hier) dmit Rechnen drf, wie wenn es ein Bruch wäre. (iv) Ersetze im Integrl g(x) durch u und dx durch du. Flls es ein bestimmtes Integrl ist g (x) und Integrtionsgrenzen und b vorkommen, werden diese ersetzt durch u() und u(b). g(x) u dx du g (x) Integrtionsgrenzen, b u(), u(b) (v) Ds g (x) sollte sich nun ruskürzen, so dss im Integrl kein x mehr vorkommt. Pssiert ds nicht, können wir nicht Substitution nwenden oder wir müssen eine ndere Substitution vornehmen. Sonst weiter zum nächsten Schritt. Mn knn uch die Vrible x durch die neue Vrible u usdrücken, x = g (u). Ddurch wird ds neue 3

15 (vi) Es gilt nun: f(g(x))g (x) dx = f(u)du b respektive f(g(x))g (x) dx = u(b) u() f(u)du Ds neue Integrl entspricht lso dem lten Integrl. (vii) Beim unbestimmten Integrl müssen wir wieder g(x) für u einsetzen, um die Lösung zu bekommen. Bemerkung. Ansttt ds bestimmte Integrl mit Integrtionsgrenzen direkt zu lösen, knn ds Integrl uch zuerst nur unbestimmt, ds heisst ohne Integrtionsgrenzen, betrcht werden. Dnn müssen nch dem Lösen des Integrls und der Rücksubstitution (u durch g(x) ersetzen) noch die Integrtionsgrenzen eingesetzt werden. Beispiele. () Wir wollen ds Integrl xe x2 dx lösen und setzen dfür u(x) = x 2. Es folgt, dss du du = 2x, und somit dx = dx 2x. Wir erhlten somit xe x2 dx = xe u du 2x = e u du 2 = 2 eu +C = +C. 2 ex2 (b) Nun ein bestimmtes Integrl. Wir berechnen x+ dx: Integrl durch die Substitution eher komplizierter ls einfcher. In seltenen Fällen knn ds trotzdem zielführend sein. Dies ist ber eher etws für Fortgeschrittene und wird hier nicht vorkommen. 4

16 Wir setzen u = x+ und erhlten du dx =, lso du = dx. x+ dx = = u() u() 2 u du u 2 du = 2u 2 2 = Bemerkung. Vergleich Prtielle Integrtion Substitution: Wnn benutzen wir prtielle Integrtion, wnn die Substitution? Grundsätzlich können wir drei Punkte festhlten.. Finden wir im Integrl eine Funktion einer Funktion, eine Verschchtelung lso? Also so etws wie f(g(x))? Substitution (d.h. g(x) ersetzen) 2. Werden im Integrl zwei Funktionen multipliziert, es kommen ber keine Funktionen in Funktionen vor? Prtielle Integrtion 3. Ist ds Integrl nch Anwendung einer der Methoden komplizierter ls vor dem Integrieren, dnn wurde entweder die flsche Methode gewählt, oder es muss etws nderes substituiert oder die prtielle Integrtion nders ngewendet werden. (In seltenen Fällen muss ds Integrl zuerst komplizierter gemcht werden, um es dnn lösen zu können, ber ds ist für Fortgeschrittene.) Es brucht etws Intuition, um jeweils die richtige Methode richtig uszuwählen... Mit etws Übung klppt ds ber schon. Einfch nicht ufgeben und usprobieren. 5

17 Beispiel. Wnn soll welche Methode wie ngewendet werden? Ein pr Beispiele: Funktion Methode Ws wird wie ersetzt? sin( 3x 2 + π 6 ) t cos(t) e y cos(y) 5x ln(x) ln ( ) 8 3x ln(x) x x 2 cos(x) (3x 2 5) 6 6

18 4 Uneigentliche Integrle Frgestellung: Knn mn eine nicht beschränkte Fläche berechnen? Ws pssiert, wenn die Integrtionsgrenzen unendlich oder Polstellen der Funktion sind? Fll : Knn mn die Fläche unter dem Grphen von f(x) uf dem Intervll [A, [ messen? A Wenn N lim f(x) dx N A existiert, dnn nennt mn dies ein uneigentliches Integrl und schreibt: A f(x) dx Beispiel. Wir lösen ds Integrl N x n dx = lim x e x dx. ex n xe x dx mit prtieller Integrtion: f(x) = x f (x) = g (x) = e x g(x) = e x 7

19 N N xe x dx = xe x + N e x dx = Ne N e N ( e ) = e N (N +)+ Wegen lim N ( e N (N +)) existiert der Grenzwert und es gilt: xe x dx = lim N N xe x dx =. Fll 2: Knn mn die Fläche unter dem Grphen von f(x) uf einem Intervll messen, welches eine Polstelle bei A beinhltet? B Anlog zum ersten Fll: Wenn B lim α A α existiert, dnn existiert ds uneigentliche Integrl: f(x) dx B A f(x) dx 8

20 Beispiel. Betrchte dx = lim dx. D x ε ε x ε dx = 2 x x ε = 2 2 ε und lim ε ε =, folgt, dss x dx = 2 existiert. Beispiel. Betrchte x dx = lim ε ǫ x dx. D ε x dx = ln(x) ε = ln() ln(ε) = ln(ε) für ε, existiert x dx nicht. 9