Quadratische Gleichungen und Funktionen

Transkript

1 Qudrtische Gleichungen und Funktionen

2 Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter Anteil, b und c sind Koeffizienten Beisiel: 7 8 Sollte sein, würde der erste Summnd zu Null linere Gleichung Beisiel: 8 8

3 Allgemeine Form b c Normlform Koeffizient ist nicht vorhnden lso. Übliche Benennung der beiden nderen Koeffizienten mit und. Reinudrtische Gleichung c Lineres Glied fehlt. Qudrtische Gleichung ohne Absolutglied b Absolutes Glied konstntes Glied fehlt.

4 Fktorisierte Form b Mnchml knn mn eine udr. Gleichung nicht gleich erkennen. Ausmultilizieren der Klmmern: b b b b b c b Sonderfll b b c b b c b b c b c c b Sonderfll b

5 Reinudrtische Gleichung c uch Wenn mn us einer Zhl > die Qudrtwurzel zieht, erhält mn stets Lösungen 5

6 Qudrtische Gleichungen ohne Absolutglied, lso Gleichungen der Form ² b, knn mn lösen, indem mn usklmmert. Mn erhält b. Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Fktoren gleich null ist. Diese Gleichung ht immer zwei Lösungen, und -b. Beisiel b L { ; } 6

7 7 Beisiel ; L Nullrodukt usklmmern : 6 6 : Probe

8 Erste binomische Formel b²² bb² Plus-Formel Zweite binomische Formel -b²²-bb² Dritte Binomische Formel b*-b²-b² Minus-Formel Plus-Minus-Formel

9 Wrum? Zur Lösung Q.Gl. oder um diese in die Scheitelunktform zu bringen!. Sofern die Zhl vor der udrtischen Vrible keine ist, dividiert durch diese.. Findet herus ds ist die Zhl die vor der einfchen Vrible steht. Bildet nun :. Dmit erhltet ihr die udrtische Ergänzung. Schfft bei eurer Gleichung die lleinstehende Zhl ohne Vrible uf die ndere Seite 5. But die udrtische Ergänzung in die Gleichung ein 6. Bildet den Klmmerusdruck Beisiel: 8 : Zhl vor udrtischer Vriblen Division durch diese herusfinden Zhl vor der einfchen Vriblen udrtische Ergänzung bilden durch die lleinstehende Zhl ohne Vrible uf die ndere Seite udrtische Ergänzung in die Gleichung einbuen 6 Klmmerusdruck bilden In die Klmmer schreiben wir ein und dhinter nun :, lso - : -. Ds Qudrt hinter der Klmmer nicht vergessen!

10 . Sofern die Zhl vor der udrtischen Vrible keine ist, dividiert durch diese.. Findet herus ds ist die Zhl die vor der einfchen Vrible steht. Bildet nun :. Dmit erhltet ihr die udrtische Ergänzung. Schfft bei eurer Gleichung die lleinstehende Zhl ohne Vrible uf die ndere Seite 5. But die udrtische Ergänzung in die Gleichung ein 6. Bildet den Klmmerusdruck Beisiel : : ,65 Zhl vor udrtischer Vriblen herusfinden udrtische Ergänzung bilden durch die lleinstehende Zhl ohne Vrible uf udrtische Ergänzung in die Gleichung einbuen Klmmerusdruck bilden Division durch diese Zhl vor der einfchen Vriblen und dhinter die ndere Seite

11 . Fktor vor dem us den ersten beiden Termen usklmmern. Findet herus ds ist die Zhl die vor der einfchen Vrible steht. Bildet nun :. Dmit erhltet ihr die udrtische Ergänzung. Qudrtische Ergänzung 5. Ausmultilizieren 6. Binomische Formel nwenden Beisiel: f. Ausklmmern. Zhl vor herusfinden. berechnen. Qudr. Ergänzung 5. Ausmultilizieren der überschüssigen Zhl us[.] 6. Binomische Formel nwenden b b b

12 . Ausklmmern. Zhl. Qudr. Ergänzung 5. Ausmultilizieren der überschüssigen Zhl us[.] 6. Binomische Formel nwenden 7. Gleichung nch uflösen vor herusfinden. berechnen : b b b D die Wurzel us 5 sowohl 5 ls uch -5 sein knn, ist eine Fllunterscheidung notwendig. Fll: rechte Seite ist Fll : rechte Seite ist -5 5 L { ;8 }

13 Normlform der udrtischen Gleichung: f² Formel : ± Diskriminnte : D Die Diskriminnte D bestimmt die Anzhl der Lösungen einer udrtischen Gleichung. D D D > L { ; } zwei Lösungselemente D L {} ein Lösungselement D < L {} kein Lösungselement

14 Eine udrtische Gleichung der Form mit Normlform lässt sich mithilfe der -- Formel lösen. Wichtig ist hierbei, dss der Koeffizient vor dem ² - Term ist. R, Formel ± : Beisiel:, 8 : 6 : ± Formel lösbr lso ositiv D bestimmen Formel Formel ± :

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16 b c Der Grh einer solchen udrtischen Funktion heißt Prbel. Normlform einer udrtischen Funktion mit y Sonderfll mit, b und c Normlrbel mit y ² 6

17 Einfluss des Fktors uf Prbel y ² Normlrbel Streckung > Stuchung < Nch oben geöffnet > Nch unten geöffnet < Scheitelunkt: ist der tiefste nch oben offene Prbeln bzw. der höchste nch unten offene Prbeln Punkt des Grhen. Etremstelle: -Koordinte des Scheitelunktes. Etremwert: y-koordinte des Scheitelunktes. Hochunkt: Ist der Scheitelunkt die höchste Stelle des Grhen, so wird dieser Punkt ls Hochunkt bezeichnet. Tiefunkt: Ist der Scheitelunkt die tiefste Stelle des Grhen, so wird dieser Punkt ls Tiefunkt bezeichnet. Der Grh einer beliebigen udrtischen Funktion knn durch Verschieben und Strecken der Normlrbel erzeugt werden. 7

18 Prbelgleichung: fd Gesucht ist die Gleichung einer Normlrbel, die um 6 Einheiten nch rechts verschoben ist. f6 Auf ds richtige Vorzeichen chten. Obwohl die Prbel nch rechts lso in ositiver Richtung verschoben ist, brucht mn ein negtives Vorzeichen. Grund dfür ist, dss die Formel fd lutet. Die Lösung für unsere Aufgbe erhlten wir, wenn wir d 6 einsetzen. Gesucht ist die Gleichung einer Normlrbel, die um Einheiten nch links verschoben ist. f Die Lösung für unsere Aufgbe erhlten wir, wenn wir d - einsetzen. f 8

19 Prbelgleichung: fd Gesucht ist die Gleichung einer Normlrbel, die um 6 Einheiten nch oben verschoben ist. f 6 Allgemein können wir die Normlrbel nch oben verschieben, wenn wir eine konstnte Zhl c ddieren. f c Gesucht ist die Gleichung einer Normlrbel, die um Einheiten nch unten verschoben ist. f - Allgemein können wir die Normlrbel nch oben verschieben, wenn wir eine konstnte Zhl c ddieren. f c

20 Die Scheitelunktform einer udrtischen Funktion lutet fd e Die Koordinten des Scheitelunktes lssen sich in dieser Form leicht blesen: Sd e Beisiel: Gegeben ist eine udrtische Gleichung in Scheitelunktform f Der Scheitelunkt der Prbel ist demnch: S.