Arbeitsblatt 1 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

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1 1. November 006 Arbeitsbltt 1 Übungen zu Mthemtik I für ds Lehrmt n der Grund- und Mittelstufe sowie n Sonderschulen H. Strde, B. Werner WiSe 06/ Präsenzufgben: 1. Zeige: Sei p eine (un) gerde Zhl, so ist uch p (un)gerde. Hinweis: Es soll die Definition von p ist (un)gerde verwendet werden: Es gibt eine ntürliche Zhl n mit p = n (p = n + 1). Lösung: Aus p = n folgt, dss p = 4n, d.h. dss nicht nur, sondern sogr 4 die Zhl p teilt. p = n + 1 impliziert, dss p = 4n + 4n + 1 = (n + n) + 1 = k + 1 mit k := n + n. Nch Definition von ungerde ist p ungerde.. Zeigen Sie: 3 ist irrtionl. Hinweis: Die reelle Zhl x := 3 ist durch die beiden Eigenschften x > 0 und x = 3 definiert. Zeigen Sie, dss ein Bruch x = p mit ntürlichen Zhlen p und q die Eigenschft q x = 3 nicht erfüllen knn. Dbei drf benutzt werden, dss ein Teiler von p bzw. q uch p bzw. q teilt ws us der eindeutigen Primfktorzerlegung folgt. Lösung: Im Skript (noch nicht in der Vorlesung?) wird der Beweis für geführt. Ein indirekter Beweis. 3 = p ht q 3q = p zur Folge, d.h. 3 teilt p. D die Primfktoren von p dieselben wie die von p sind, nur mit doppelter Vielfchheit, teilt 3 uch p, d.h. es gibt r mit p = 3r. Dnn folgt 3q = 9r, lso q = 3r, lso teilt 3 uch q und somit uch (siehe oben) q. Wenn mn ngenommen ht (und ds drf mn), dss p und q teilerfremd sind, so ht mn einen Widerspruch. Übungsufgben: (Abgbe in den Übungen, Abgbe in Gruppen bis zu drei, Aufgben deutlich mit Nmen und Übungsgruppe versehen) Aufgbe 1: Drucken Sie die ersten beiden Kpitel (Kp. 1: Vorbemerkungen, Kp. Zhlen - erster Zugng) des Skripts us und rbeiten Sie insbesondere ds Kp. durch. Wnn lebten L. Euler und C.F. Guss? Welches sind ihre Vornmen? Wie heißt die www- Adresse, unter der die historische Einordnung sehr vieler berühmter MthemtikerInnen (uf englisch) nchgelesen werden knn? Lösung: Leonhrd Euler, , Johnn Crl Friedrich Guss, , 1

2 history/biogindex.html (diesen Link knn mn in den Vorbemerkungen meines Skripts finden). Wenn mn unter Google die Stichworte Biogrphie, Mthemtiker eingibt, lndet mn uf einer Dtenbnk der Uni Bonn, die ihrerseits uf obige Seite verweist. (6) Welchen rtionlen Zhlen (d.h. welchen gekürzten Brüchen) entsprechen die periodischen, unendlichen Dezimlbrüche x = 0, 31 und x = 0, 14857? Hinweis: Es knn nützlich sein, sich mit dem Mittelstufenstoff Brüche und Dezimlbrüche zu beschäftigen. Ein Them betrifft dbei die Umrechnung von Brüchen ind Dezimlbrüche und umgekehrt. Didktische Aspekte finden Sie unter Bruchzhlen (Didktik der Algebr, PH Weingrten). Lösung: ) 0, 31 = 3/ /100 0, 1 = 5/5, d 0, 1 = 1/9. b) Multipliziert mn x mit 10 6 = , so erhält mn Hierus folgt x = = = 1 7. Siehe Rechner für Brüche (Arndt Brünner) 10 6 x = 14857, = x. Geben Sie Näherungen der drei wichtigsten Konstnten der Mthemtik, nämlich π, e und die (kleine) Goldene Schnittzhl φ uf 1 Stellen nch dem Komm n, z.b. mit Hilfe des Internets. Lösung: π = , e = , ϕ = Zustzfrge (Internet-Recherche!) ( Sonderpunkte): L. Euler ht die Fermt schen Primzhlen untersucht. Ds sind Primzhlen der Form n + 1, wobei n selbst eine er-potenz (wie,4,8,16,3,...) ist. Für welche er-potenz n ht Euler gezeigt, dss n + 1 keine Primzhl ist? Mn knn übrigens zeigen, dss Zhlen der Form n +1 mit einem n, ds keine Zweierpotenz ist, keine Primzhl ist. Ein Beweis knn unter Primzhlgeheimnisse (Uni-Wuppertl) nchgelesen werden. Lösung: Betrchte n = 3 = 5. Dnn ist n = = zerlegbr und dher keine Primzhl. Aufgbe : Guss definiert die Multipliktion von zwei Zhlenpren (, b) und (c, d) durch (, b) (c, d) := ( c b d, d + b c). (1)

3 Beispielsweise ergibt sich mit =, b = 1, c =, d = 1, dss (, b) (c, d) = (5, 0). Solche Zhlenpre knn mn in einem ebenen Koordintensystem einzeichnen, mit ls Abszisse und b ls Ordinte. Üblicherweise schreibt mn uch + ib n Stelle von (, b), so dss (1) zu wird. (4) ( + ib) (c + id) := ( c b d) + i( d + b c) () Geben Sie ds Zhlenpr (, 3) ( 7, 4) bzw. ds Podukt ( + 3i)( 7 + 4i) n. Lösung: (, 3) ( 7, 4) = ( 14 1, 8 1) = ( 6, 13) bzw. 6 13i. (6) (c, d) heißt ds multipliktive Inverse von (, b), flls (, b) (c, d) = (1, 0). Sei 0. Mn gebe ds multipliktive Inverse von (, 0) und von (, b) für irgend ein b n. Lösung: ) Gegeben ist. Gesucht ist (c, d) mit (, 0) (c, d) = (1, 0). Vielleicht ist es Ihnen lieber, die Unbeknnten x, y zu nennen. Also: Gesucht ist (x, y) mit (, 0) (x, y) = (1, 0). Nun ist nch Definition der komplexen Multipliktion (, 0) (x, y) = (x, y). Es muss lso x = 1, y = 0 gelten. Wegen 0 folgt y = 0 und x = 1. Ds multipliktive Inverse ist lso ( 1, 0). b) Gegeben sind jetzt und b. Gesucht ist (x, y) mit (, b) (x, y) = (1, 0). Nun ist nch Definition der komplexen Multipliktion (, b) (x, y) = (x by, y + bx). Mn muss ds LGS x by = 1, y + bx = 0 nch x und y uflösen. Dies ist ein Lineres Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten mit, b ls Pltzhlter für die Koeffizienten. Wie löst mn dieses? Am einfchsten zu merken: Mn löse die erste Gleichung nch x uf: x = (1 + by)/ (ds geht wegen der Vorussetzung 0) und setze dies in die zweite Gleichung ein: y + b(1 + by)/ = 0, die mn nch y uflösen knn: y = b. Diesen Wert in x = (1 + by)/ eingesetzt ergibt x =, so +b +b dss sich (, b ) ls ds multipliktive Inverse ergibt. +b +b Bemerkungen: Wenn Sie dieses linere Gleichungssystem ufstellen, ber nicht lösen können: Nchrbeiten! (Duden z.b.). Aufgbe 3: Fliesenleger Crl Schosser kuft (qudrtische) Fliesen in Achter-Pckungen. D fällt ihm uf: Ds ist j wie verhext! Immer, wenn ich eine qudrtische Fläche mit einer ungerden Fliesennzhl n jeder Seite zu fliesen hbe, fehlt mir m Schluss genu eine Fliese oder ich hbe sieben Fliesen über. Finden Sie herus, wrum ds so ist. 3

4 Lösung: Eine ungerde Zhl ht die Form n + 1 mit n IN. Eine qudrtische Fläche mit n + 1 Fliesen n jeder Seite benötigt (n + 1) Fliesen. Binomische Formel ergibt (n + 1) = 4(n + n) + 1 = 4n(n + 1) + 1. Teilt mn diese Zhl durch 8, ergibt sich stets der Rest 1, d n(n + 1) eine gerde Zhl ist (einer der beiden Fktoren muss gerde sein). Diese Aufgbe stmmt us einem Tg der Mthemtik n der LMU für die 7./8. Jhrgngsstufe. Unter der Benutzung von modulo knn dies uch so beschrieben werden: = 1 mod 8, flls ungerde ist. Aufgbe 4: () Im Folgenden werden wir Rechtecke mit den Kntenlängen und b betrchten. Dbei sei 0 < b. Zwei Rechtecke mit gleichem Quotienten b ( Kntenverhältnis ) heißen ähnlich. Mn erhlte durch Hlbierung eines Rechtecks entlng der längeren Seite ein zum Ausgngsrechteck ähnliches Rechteck. Wie groß ist ds Kntenverhältnis b? Lösung: Es muss b = b gelten, d ds hlbe Rechteck ls längere und b ls kürzere Kntenlänge ht (Zeichnung!). Nenne x := b. Dnn folgt (Bruchrechnung!!!) us obiger Gleichung x =, lso x =. DIN A-Formte!! x Mn erhlte durch Abtrennen eines Qudrtes mit Kntenlänge ein zum Ausgngsrechteck ähnliches Rechteck. Wie groß ist ds Kntenverhältnis b? Lösung: Es muss b = gelten, d ds Restrechteck die die längere Knte und b die kürzere b ht (Zeichnung!). Nenne x := b b. Dnn schreibt sich = ls x 1 = 1 (Bruchrechnung!) bzw. die b x qudrtische Gleichung x x 1 = 0. Positive Lösung ist gemäß Vorlesung 1 die große Goldene Schnittzhl Φ. (1) Mn erhlte durch Anfügen eines Qudrtes mit Kntenlänge b ein zum Ausgngsrechteck ähnliches Rechteck. Wie groß ist ds Kntenverhältnis b? Lösung: Es muss +b = b gelten. Nenne x := b. Dnn folgt = x. Wie oben. b x Oder: Folgt direkt us dem vorngegngenen Punkt, d ds Anfügen ds Abtrennen wieder rückgängig mcht. (b) Aus einem gleichschenkligen Dreieck in Abb. 1 (Schenkel und Bsis c) mögen durch Zerschneiden entlng BD zwei gleichschenklige Dreiecke ABD (ein spitzes) und BCD (ein stumpfes) entstehen. Ersteres ist zum Ausgngsdreieck ABC ähnlich, d die Bsiswinkel übereinstimmen. 1 Zur Not muss mn es nchrechnen. 4

5 Abbildung 1: Goldenes Dreieck Welche Winkel besitzen diese Dreiecke? Lösung: Die benutzten Winkelsätze: ) In einem Dreieck ist die Winkelsumme 180 Grd und b) In einem gleichschnekligen Dreieck sind die Bsiswinkel gleich. Benenne den Winkel bei C mit γ und die Bsiswinkel bei A und B jeweils mit α. Die Winkelsätze ergeben α = 7 und γ = 36 Grd: Der Winkel bei B wird durch BD hlbiert und ist γ, d er sich ufteilt in den Bsiswinkel γ von BDC und dem Winkel vom schrffierten Dreieck ABD, ds zu ABC ähnlich ist. Also gilt α = γ und wegen α + γ = 180 (Winkelsumme im Dreieck) folgt die Behuptung, wenn mn diese beiden lineren Gleichungen nch α und γ uflöst. Wie groß sind c und c x? Lösung: Ds schrffierte und ds Ausgngsdreieck sind ähnlich, dher ist c = c x. Wegen der Gleichschenkligkeit des stumpfen Dreiecks ist x = c, bzw. = x + c, worus nch gleichem Muster wie oben folgt, dss c = Φ. (1) Geben Sie eine sinnvolle Definition eines Goldenen Dreiecks und stellen Sie eine Beziehung zwischen Ihrem Goldenen Dreieck und den gleichschenkligen Dreiecken in Abb. 1 her. Lösung: Ein goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Bsis und Schenkel b und b = Φ oder b = Φ. Mn ht Goldene Dreiecke in Abb. 1, ein spitzes (Schenkel/Bsis = Φ, Bsiswinkel 7 Grd, Dreieck ABC) und ein stumpfes (Bsis/Schenkel = Φ, Bsiswinkel 36 Grd, Dreieck BDC). 5