Mathematik PM Rechenarten

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1 Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) + b = b + z.b. 4 + = + 4 Die Summe behält ihren Wert, wenn die beiden Summnden vertuscht werden. Ds Kommuttivgesetz gilt für beliebig viele Summnden: + b + c = + c + b = b + + c = b + c + = c + + b = c + b + Assozitivgesetz (Verbindungsgesetz) ( + b) + c = + (b + c) = + b + c z.b. (5 + 3) + = 5 + (3 + ) = In einer Summe drf mn die Summnden beliebig zu Teilsummen verbinden, ohne dss sich der Wert der Summe ändert. Mit den Klmmern knn ngegeben werden, welche Zhlen zuerst ddiert werden sollen. Klmmern sind ber bei der Addition nicht notwendig. Neutrles Element Setzt mn in der Addition + b für b = 0, so erhält mn: + 0 = 0 + = z.b = = 7 0 heisst in diesem Fll ds neutrle Element der Addition. Abgekürzte Summe Ist beispielsweise folgende Addition uszuführen: + + b + c + + b + c + + c, z.b so werden die Summen nch dem Kommuttivgesetz geordnet: b + b + c + c + c z.b und dnn die gleichen Summnden zusmmengefsst zu 4 + b + 3c. z.b Rechenrten.doc FP Seite 1 von 1

2 . Subtrktion Bei der Subtrktion wird zu einem geordneten Zhlenpr eine dritte Zhl bestimmt, so dss die zweite Zhl dzu ddiert wiederum die erste Zhl ergibt. (Die Subtrktion knn ls die Umkehropertion der Addition betrchtet werden.) b = c Minuend minus Subtrhend gleich Differenz Kommuttivgesetz und Assozitivgesetz b b ( b) z.b. 5 5 Bei der Subtrktion gilt ds Kommuttivgesetz nicht. ( b) c (b c) z.b. (7 3) 1 7 (3 1) Bei der Subtrktion gilt ds Assozitivgesetz nicht. Vertuschbrkeit der Reihenfolge der Subtrhenden b c = c b z.b = 10 5 Die Subtrhenden können beliebig vertuscht werden..3 Verbindung der Addition mit der Subtrktion b c b c z.b Muss eine Differenz zu einer Zhl ddiert werden, so ddiert mn den Minuenden und subtrhiert den Subtrhenden. b c b c z.b Muss eine Summe von einer Zhl subtrhiert werden, so knn mn die Summnden einzeln vom Minuenden subtrhieren. b c b c z.b Wird eine Differenz von einem Ausdruck subtrhiert, so wird der Minuend subtrhiert und der Subtrhend ddiert. b c d b c d b c d z.b Mehrfche Klmmern werden von innen nch ussen schrittweise ufgelöst. Zusmmenfssung (Klmmerregeln) Steht ein Pluszeichen vor der Klmmer, so ändern sich beim Auflösen die Rechenzeichen seiner Glieder nicht. Steht ein Minuszeichen vor der Klmmer, so erhlten beim Auflösen der Klmmer die Glieder entgegengesetzte Rechenzeichen. Treten in einer Aufgbe mehrere Klmmern uf, so löst mn die Klmmern unter Bechtung der Klmmerregeln von innen nch ussen uf.. Rechenrten.doc FP Seite von 1

3 .4 Übungen 1. 9x 3y x y. 3x y x 3 y 3. x 8y 3y y 3x 4. x 4y x 3y 4x 6y 5. 3b b b 5b 4 5b b 30 1b 10 1b b c 5 3b c 9 1c b b 0c 5c 0 13b x 3y 5x 40x 3y 0 0x 3x y 40x b 7 b 1 15 b 4 7b xy 6b 4rs 3xy 8b 16rs xy 4 9b b 7 30b b 1b 17. 3cd cd 6 cd 10 3cd Denksportufgbe Zwei Mthemtiker, die gemütlich beim Abendessen sitzen, unterhlten sich über fmiliäre Angelegenheiten. Dbei interessiert sich der Gst unter nderem uch für ds Alter der drei Kinder seines Freundes. "Versuche, ds Alter meiner drei Kinder zu bestimmen, indem du die folgenden Aussgen geschickt kombinierst", forderte der Mthemtiker seinen Kollegen uf, der dieses Spiel gerne eingeht. "Wenn du die Altersjhre der 3 Kinder miteinnder multiplizierst, erhältst du genu die Zhl 36, wobei wir nur gnze Zhlen berücksichtigen." Nch einer Weile ht der Befrgte die verschiedenen Möglichkeiten erknnt und sgt zu seinem Freund: "Dies ergibt doch 8 Vrinten, und ich knn hierus unmöglich folgern, wie lt deine Kinder sind." "Geh bitte rsch hinus", setzt der Gstgeber die Spielerei fort, "und betrchte meine Husnummer, denn wenn du die gesuchten Altersjhre zusmmenzählst, wirst du dieselbe Zhl erhlten wie meine Husnummer!" Der Freund befolgt den Hinweis, kehrt zurück und schüttelt den Kopf: "Dmit weiss ich ber noch nicht genug, um ds Alter deiner Kinder zu bestimmen, es sei denn, der Älteste hätte eine Vorliebe für Spghetti!" "Dem ist so, ber woher weisst du ds?" frgt der Gstgeber erstunt. "Nun, diese Vermutung wird durch ds Bild n der Wnd bestärkt, und jetzt sge ich dir uch die drei gesuchten Zhlen. Es sind dies...!". Rechenrten.doc FP Seite 3 von 1

4 .5 Multipliktion Besteht eine Addition us luter gleichen Summnden, so knn sie verkürzt ls Multipliktion geschrieben werden. b = c Multipliktor ml Multipliknd gleich Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) b = b z.b. 6 4 = 4 6 Der Wert des Produktes ist unbhängig von der Reihenfolge der Fktoren. Assozitivgesetz (Verbindungsgesetz) b c = ( b) c = (b c) z.b. 4 7 = (4 7) = 4 (7 ) Beim Multiplizieren drf mn die Fktoren zu Teilprodukten zusmmenfssen. Neutrles Element Wird ein Fktor mit 1 multipliziert, so ändert sich der Wert des Fktors nicht. 1 = z.b. 8 1 = 8 1 ist ds neutrle Element der Multipliktion. Vor- und Rechenzeichen (+ ) (- b) = - b Vorzeichen Rechenzeichen Vorzeichen gleich Vorzeichen Vorzeichenregel der Multipliktion 1. b b b. b b b 3. b b b 4. b b b Ordnen des Produktes An den Anfng setzt mn die bestimmte Zhl und dnch lphbetisch die Vriblen. z.b. y x b = b x y. Rechenrten.doc FP Seite 4 von 1

5 Punktrechnung vor Strichrechnung Wenn nicht mit Klmmern eine Reihenfolge vorgeschrieben wird, muss immer zuerst die Multipliktion oder Division und erst nchher die Addition oder Subtrktion usgeführt werden. z.b = (5 4) + (3 8) = = 44 Treten nur Opertionen gleicher Stufe uf, so wird wenn nicht Klmmern etws nderes vorschreiben, der Reihe nch von links nch rechts gerechnet. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Mn multipliziert eine Summe mit einem Fktor, indem mn jedes Glied der Summe mit dem Fktor multipliziert und nchher die Produkte ddiert. c ( + b) = c + b c z.b. 5 (4 + 7) = Beispiele 1. b c bc b 1 6b 4. 3b b 1 3 b 3b 3b 5. b 1 b b b b b b b x 1 x x x x x x x x x x x x x x x 7. x 1 x y 1 x xy x x y 1 x xy y Rechenrten.doc FP Seite 5 von 1

6 .6 Übungen 1. 9x cy. 3 5y 6c b b 3c 4. x y 3z x bc b 4c b 3 5b c 9. 5b c5x 4 3c b b x 5c 4b 4n 1. x y 3m n x y m 3n 13. x y x z x 1 x z 14. b 3 b 15. 3b 4c d x 1 x y 17. x 4y 5z 3x y 6z 18. m 4n 5 6b 8c 3m 4n 9 6b 7c b 43b b Ein zerstreuter Professor htte drei Töchter. Einml wurde er von einem Studenten nch dem Alter seiner Töchter gefrgt. Der Professor ntwortete: Ich bin mir nicht gnz sicher. Ich weiss, dss eine der drei die Jüngste ist. Ds ist nicht besonders überrschend, ntwortete der Student. Welche ist denn die Jüngste? Ds knn ich wirklich nicht genu sgen; entweder Alice oder Mbel. Nun, und welche ist die Älteste? Ds weiss ich uch nicht genu. Ich erinnere mich nur drn, dss entweder Alice die Älteste oder Lilin die Jüngste ist, doch ich knn mich nicht drn erinnern, wer. Welche Tochter ist die jüngste und welche die älteste?. Rechenrten.doc FP Seite 6 von 1

7 .7 Division Wenn c b = ist, dnn gilt: : b = c Dividend durch Divisor gleich Quotient Die Division ist somit die Umkehropertion der Multipliktion. Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) : b b : ( b) z.b. 8 : : 8 Bei der Division gilt ds Kommuttivgesetz nicht. Assozitivgesetz (Verbindungsgesetz) ( : b) : c : (b : c) z.b. (10 : 5) : 10 : (5 : ) Bei der Division gilt ds Assozitivgesetz nicht. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) ( + b) : c = ( : c) + (b : c) z.b. (8 + 4) : = (8 : ) + (4 : ) Die Division und die Null 0 : = 0 weil 0 = 0 z.b. 0 : 5 = 0 weil 0 5 = 0 Ist der Dividend gleich 0, so ist der Quotient uch gleich 0. Aus der Definition der Division ls Umkehrfunktion der Multipliktion ist ersichtlich, dss die Division durch 0 sinnlos ist. Beweis: Wäre : 0 = b, so müsste nch Definition b 0 = ergeben. Wenn ber 0 ist, gibt es keine Zhl b, die diese Gleichung erfüllt. Die Division durch 0 ist somit sinnlos. Vorzeichenregel der Division 1. : b c. : b c 3. : b c 4. : b c. Rechenrten.doc FP Seite 7 von 1

8 Merke: : b : b b b b Die Vorzeichen von Zähler und Nenner können miteinnder vertuscht werden. Ein Vorzeichen vor dem Bruchstrich knn in den Zähler oder in den Nenner gebrcht werden. Sonderfälle D die Multipliktion 1 = ergibt, gilt: : = 1 : 1 = Beispiele 8b 1. 8b: 4 b 4 9x 9 18xy. x : 18xy 1 y 8xy 4xz 4 8 : 4x y z 4x 4x 4x 3. xy 4xz 4 1 x 4. 16x 1b 8y: 4 16x 1b y 1b16x y Achtung: Keine Klmmer! 5. 1x 9y: 4x 3y 3 1x 9y 0 3. Subtrhieren. Zurückmultiplizieren 1. Glied Dividend durch 1. Glied vom Divisor. Rechenrten.doc FP Seite 8 von 1

9 .8 Polynomdivision Schritt für Schritt Hinweis: Rot (fett) drgestellt sind jeweils diejenigen Teile, die in dem betreffenden Schritt für die Rechnung genutzt bzw. ls Ergebnis dieses Rechenschritts erhlten werden. Die Terme sind bereits geordnet! 1. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x 9. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x+4 -(x 3 +x ) : 5x +9x+4. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x x 3 +x. -(5x +5x) 4x+4 -(4x+4) 0 3. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x -(x 3 +x ) 5x +9x+4 Kontrolle mit zurückmultiplizieren: 3 x 1 x 5x 4 x 6x 9x 4 4. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x -(x 3 +x ) 5x +9x+4 : 5. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x -(x 3 +x ) 5x +9x+4 5x +5x. 6. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x -(x 3 +x ) 5x +9x+4 -(5x +5x) 4x+4 7. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x+4 -(x 3 +x ) 5x +9x+4 -(5x +5x) 4x+4 : 8. (x 3 +6x +9x+4):(x+1)=x +5x+4 -(x 3 +x ) 5x +9x+4 -(5x +5x) 4x+4 4x+4.. Rechenrten.doc FP Seite 9 von 1

10 .9 Übungen 1. cx cy 8x 8y: x y. 1x 11xy 3x 15y 5y: 3x 5y 3. 30x 4bx 35y 30by : 5 4b 4. 4x 1bx 8cx: 4x 5. 16c 3b : 4b c 6. 9x 18x : b 8b : 5 b b : b 9. 39y 5by 91cy: 13y 10. 1x y 35xy 7y : 7xy q 5p : 4q 5p 1. x xy y : x y : x 15x : 7 5x 15. x 10x 5: x 10x x 9y : 7x 3y 17. m mn : m 18. 1m 35mp 3n 7p : m n 3p x y 3x xy xy x y: x y c 18c 33c 35: c x x y 6xy 1y : 3x y. 3 x x 13x 1 : x x 7. Rechenrten.doc FP Seite 10 von 1

11 .10 Verbindung der Multipliktion mit der Division Steht ein Multipliktionszeichen vor der Klmmer, so knn die Klmmer weggelssen werden. b c b c z.b b : c b : c z.b. 8 : 4 8 : 4 Steht ein Divisionszeichen vor der Klmmer, so muss, wenn die Klmmer weggelssen wird, ds Divisionszeichen in der Klmmer durch ein Multipliktionszeichen und ds Multipliktionszeichen in der Klmmer durch ein Divisionszeichen ersetzt werden. : : b : c : b c z.b. 1: 6 : 3 1: 63 b c : b : c z.b. 1: 3 1: : 3 Entsprechend ist vorzugehen, wenn Klmmern gesetzt werden. b c b c z.b b : c b : c z.b. 10:5 10:5 c : b : c z.b. 1: 6 1: 6 : : b c z.b. 18: : 3 18: 3 : b : b : c. Rechenrten.doc FP Seite 11 von 1

12 .11 Übungen 1. 6b 9 3b c 5 c b 16 b x 9x y 4xy 16y : x 3xy 4y b 6x 7y 9z 5x 8y 8z 4 5b b 6x 7y 9z 5x 8y 8z 4 5b 5. x y z x 3y z 3x b : b 7. 1 : 1 p y 8. 4y 6x 3 5b x 6y 3b 9. b 1 b u 3u v uv u uv u v 1 : u v x 8 8 y 5 x 5y c 34cb 39d 51bd : c 3d u 7v 4u 36v : u 3v x 3x xy xy x y y: x 1 y 15. x 4y 5z 3x y 6z x y 16. 4x 3y b b : b 19. x 5 1 : x 1 0. Von einem gewissen Demochres, der c. 310 v. Chr. in Griechenlnd gelebt ht, heisst es: Ein Viertel seines Lebens verlebte er ls Junge, ein Fünftel ls Jugendlicher, ein Drittel ls Mnn in den besten Jhren und dreizehn Jhre ls lter Mnn. Wie lt wurde er?. Rechenrten.doc FP Seite 1 von 1