3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
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- Gisela Regina Ziegler
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1 .1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) z. B. 5 5 Der Wert des Produktes ist unhängig von der Reihenfolge der Fktoren. Assozitivgesetz (Verindungsgesetz) c c c z. B Beim Multiplizieren drf mn die Fktoren zu Teilprodukten zusmmenfssen. Neutrles Element 1 z. B. 1 1 ist ds neutrle Element der Multipliktion. Multipliktion mit dem Fktor Null z. B Ist in einem Produkt mindestens ein Fktor Null, so ist ds gnze Produkt Null. Gleichrtige Summnden (Kettenddition und ihre Vereinfchung) Besteht eine Addition us luter gleichen Summnden, so knn sie verkürzt ls Multipliktion geschrieen werden (siehe Aschnitt..) z. B. 4 1 Gleichrtige Fktoren (Kettenmultipliktion und ihre Vereinfchung) Besteht eine Multipliktion us luter gleichen Fktoren, so knn sie verkürzt ls Potenz geschrieen werden (siehe Aschnitt..). 4 4 z. B. 81 Vor- und Rechenzeichen Vorzeichen Rechenzeichen Vorzeichen Vorzeichen 1
2 Vorzeichenregel der Multipliktion Ds Produkt zweier Zhlen mit gleichen Vorzeichen wird positiv, ein solches mit ungleichen Vorzeichen er negtiv... c. d. Allgemein: Ist die Anzhl der negtiven Fktoren gerde, so ist ds Produkt positiv. Ist die Anzhl der Fktoren ungerde, so ist ds Produkt negtiv. Ordnen des Produktes An den Anfng setzt mn die estimmte Zhl und dnch lphetisch die Vrilen. z. B. y 7 x 14xy Punktrechnung vor Strichrechnung Wenn nicht mit Klmmern eine Reihenfolge vorgeschrieen wird, muss immer zuerst die Multipliktion oder Division und erst nchher die Addition oder Sutrktion usgeführt werden z. B. Treten nur Opertionen gleicher Stufe uf, so wird, wenn nicht Klmmern etws nderes vorschreien, der Reihe nch von links nch rechts gerechnet. z. B. 5 8 : 4 : 7 40 : 4 : 7 10 : Schritt. Schritt. Schritt 4. Schritt Multipliktion von einem Term mit einer Summe (Distriutivgesetz) Ein Term wird mit einer Summe multipliziert, indem mn jedes Glied der Summe mit dem Term multipliziert. 5 1c 5 1c 10 6c z. B. Multipliktion von zwei Summen (Distriutivgesetz) Zwei lgerische Summen werden multipliziert, indem mn jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der nderen Summe multipliziert. z. B x y 5 7 x 5 x 7 y 5 y 7 10x 14x 15y 1y Differenzen multipliziert mn gleich wie Summen. Zusätzlich ist die Vorzeichenregel zu echten: 4 e f k 4f 4 k e f e k 8f 1k 6ef 9ek z. B.
3 +. Geometrische Interprettion des Distriutivgesetzes Multipliktion mit einer Summe c c + c Multipliktion mit einer Differenz c c c Multipliktion von zwei Summen c d c d c d c + d Multipliktion von zwei Differenzen c d c + d c d d c
4 . Üungen Multiplizieren Sie folgende Produkte us: 1. m 5n? 15mn. 5? mn m n? 0m n 4. c c? 18 c 5. x 5x? 6. 5? 5x 15 7.? c? 4c 9. x x 1 x 1? x 4x x x x 1 x 5x x 6y x y x y? 15x 5xy 18xy 6y x y 15x 1xy 6y x y 0x 6x y 1xy 45x y 9xy 18y 0x 71x y 7xy 18y Achtung, hüten Sie sich vor folgendem Fehler: 5 c d 5 5 5c 5d 5c 5d 5c 5d 4
5 .4 Binomische Formeln Berechnen Sie den Flächeninhlt der schrffierten Figuren: 1. Binomische Formel doppeltes Produkt Qudrt Qudrt eider Summnden Pr odukt Summe Struktur einprägen:. Binomische Formel doppeltes Produkt Qudrt eider Summnden Qudrt Summe Pr odukt Struktur einprägen: +. Binomische Formel Qudrt Qudrt Summe Pr odukt Struktur einprägen: 5
6 .5 Üung Berechnen Sie mit Hilfe der inomischen Formeln: 1. x y? x xy y. x y? 4x 4xy y. 4y 7? 16y 56y c? c c ? c? 5 10c c 7. x x? x 4x 4x 4 x y? 8. x y???? 9x 1xy 4y 9. x x? 4x ? 11. x 4x x 4x? 16 4x 5 16x 4 1. x 5z x 5z? x 5z x 5z?? x 5z 6
7 Ergänzen Sie die leeren Stellen unter Benutzung der inomischen Strukturen: 5x 7 5x 70x x 5 9x 0x t 7s 4 49s 56st 16t 17. x 4 4 x 4x s 5s 4 5s
8 .6 Division Die Division von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: Wenn c ist, dnn gilt: : c Dividend Divisor Quotient Die Division ist somit die Umkehropertion der Multipliktion. Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) : : z. B. 8: : 8 Bei der Division gilt ds Kommuttivgesetz nicht. Assozitivgesetz (Verindungsgesetz) : : c : : c z. B. 10:5 : 10: 5: Bei der Division gilt ds Assozitivgesetz nicht. Distriutivgesetz (Verteilungsgesetz) : c : c : c z. B. 8 4 : 8: 4 : Die Divison und die Null 0 : 0 weil 0 0 z. B. 0 :5 0 weil Ist der Dividend gleich 0, so ist der Quotient uch gleich 0. Aus der Definition der Division ls Umkehrfunktion der Multipliktion ist ersichtlich, dss die Division durch 0 sinnlos ist. Beweis: Wäre : 0, so müsste nch der Definition 0 ergeen. Wenn er 0 ist, git es keine Zhl, die diese Gleichung erfüllt. Die Division durch 0 ist somit sinnlos. Vorzeichenregel der Division : c.. : c c. : c d. : c 8
9 Merke: : : Die Vorzeichen von Zähler und Nenner können miteinnder vertuscht werden. Ein Vorzeichen vor dem Bruchstrich knn in den Zähler oder in den Nenner gercht werden. Sonderfälle D 1 ds neutrle Element der Multipliktion ist, gilt: : 1 :1.7 Üungen Berechnen Sie den Quotienten: 1. 8: 4? x : 18xy? 9x 1 18xy y. 8xy 4xz 4 : 4x? 8xy 4xz 4 1 y z 4x 4x 4x x 4. 16x 1 8y : 4? 16x 1 y 1 16x y 5. 1x 9y : 4x y? 9
10 .8 Multiplizieren und Dividieren mit dem TI Beispiel ? Einge: Entwick(( 1)(4 ^ 1)) Ergenis: Hinweis: Die Funktion Entwick() multipliziert den Term us. Sie ist üer erreichr. Die Berechnung wird mit der Tste usgeführt. Beispiel u v w? Einge: Entwick((u v w) ^ ) Ergenis: u uv uw v vw w Hinweis: Es wird nur ein Teil des Resulttes ngezeigt. Der Rest des Resulttes muss mit den Pfeiltsten und gescrollt werden. Die Berechnung wird mit der Tste usgeführt. Beispiel x x 1? x x 1 * x x 1 / * x x 1 Einge: x1 Ergenis: x1 Hinweis: Wenn Sie ds Multipliktionszeichen weglssen, wird der Term nicht vollständig gekürzt. Proieren Sie es us! Tipp: Anzeige kontrollieren, Sie merken nhnd der flschen Schreiweise, dss der Rechner x ls eine Vrile nschut! Die Berechnung wird mit der Tste usgeführt. Beispiel 4 n 8n 4? n 4n 4 Einge: n^ 8n 4 / n^ 4n 4 n Ergenis: n Hinweis: Die Berechnung wird mit der Tste usgeführt. 10
11 .9 Üungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgen: Nummer Seite Bemerkungen 1 (,, d, f und h) 16 Kontrolle mit TI üen ( is h) 16 Kontrolle mit TI üen ( is d) 17 Kontrolle mit TI üen 4 ( is c) 17 Kontrolle mit TI üen 5 ( is c) 17 Kontrolle mit TI üen 11
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
RESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
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Inhlte Brückenkurs Mthemtik Fchhochschule Hnnover SS 00 Dipl.-Mth. Corneli Reiterger. Grundlgen. Summenzeichen, Produktzeichen. Fkultät, Binomilkoeffizient. Potenzen, Wurzeln, Logrithmen. Elementre Funktionen
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Grundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
Mathematik PM Rechenarten
Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen
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Lösungen II.1 5) T(1;1) = 1; T(2;1) = 2; T(1;2) = 5; T(0;5) = 0; T( 1;5) = 29; T(0;1) = 0; T( 2;1) = 2; T = = 3 ; T
Lösungen II. Termwerte berechnen: ) ) b b b) 7 bb 7 b 4 c) + bc 4d d) ( + bc) (4d) + bc d e) b(c+d) bc + bd 4 f) b[c+d ] bc + bd b g) (+b) c 7 c + bc + b c 7 h) b(bc d ) b c bd ) T() 4; T(4) ; T( ) 09
Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:
2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen
9 Rechnen mit Termen Rechnen mit Termen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen.
1 3 Z 1. x 3. x a b b. a weil a 0 0. a 1 a weil a 1. a ist nicht erlaubt! 5.1 Einführung Die Gleichung 3 x 9 hat die Lösung 3.
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wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui
a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert
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c) 75x 14x+33y 100a+26b 77a 80r 35r 45r 97t 97+3t 120x+116y +203z c) 4ab 3ab 5a 2 7ab 9xy 4x 3 y 2x 2 y 5 3x 3 y 2 4x 3xy 5y 8xy 2x 2 3y 2
Aufgbe : Vereinfche so weit wie möglich! 5+7 +3y z 8u 3u+6v r +r 7r s 5t+ +y +5+y 8 +3b c 5u+v 6r +t 8+9 5+b 75 +33y 00+6b 77 80r 35r 5r 97t 97+3t 0+6y +03z u+57v 8v 75w 83z 53w 6c+5d 6c 59g 00+g 00h 33h
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4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
Lineare Gleichungen mit Parametern
- - Linere Gleichungen mit Prmetern Neen den lineren Gleichungen mit einer Vrilen zw. einem Pltzhlter existieren uch Gleichungen, die mehrere Uneknnte einhlten. Dei wird die Vrile, die mithilfe von Äquivlenzumformungen
15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3
4 4.1 Einführung Haben alle Summanden einer algebraischen Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern. Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt. Tipp: Kontrolle
Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z
Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Begriffe, die auf eine Multiplikation oder Division hinweisen
Fachbegriffe der Addition und Subtraktion Bei der Addition werden Zahlen zusammengezählt: 2 + 4 = 6 1. Summand 2. Summand Summe Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen abgezogen. 7 2 = 5 Minuend
Binomische Formeln 1. Veranschauliche die erste binomische Formel grafisch! Vervollständige! x 3. Matthias Apsel, 2008
Mtthis Apsel, 008 Binomische Formeln P Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch! Vervollständige! ) c d) y) y) ) ) y)y ) y y ) c d) y) y) y) y) Vernschuliche die erste inomische Formel grfisch!
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
Am Anfang stand die Algebra
Am Anfng stnd die Alger In diesem Kpitel Sich mit Vorzeichen und Klmmern nfreunden Assozitiv-, Kommuttiv- und Distriutivgesetz kennen lernen Mit Brüchen und Prozenten rechnen Potenzen, Wurzeln und Logrithmen
a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x
Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik
Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS
Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,
Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen
Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe Allgemeine Termumformungen Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl x y z = z y x = x z y =.. x+y+z = z+y+x = x+z+y =.. Ausklmmern:
1 Technisches Rechnen
Technisches Rechnen. Allgemeines Die Elemente des Rechnens sind die Zhlen. Von 0 ngefngen, wird jede nächstgrößere Zhl durch Hinzufügen einer geildet. Die so von 0 n entstehende Zhlenreihe ist nch oen
Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren
Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der
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Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe in Physik (1.6.18) Es gibt einige Dinge, die beim Rechnen in Physik immer wieder ml gebrucht werden. Mnches dvon geht oft schief, weil die Rechenregeln flsch ngewendet
Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3
Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9
Regiomontnus - Gymnsium Hßfurt - Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 9 Wissen und Können Zhlenmengen N Z Q R ntürliche gnze rtionle reelle Aufgen, Beispiele, Erläuterungen N, Z, Q, R Wurzeln (Qudrtwurzel)
Multiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.09.0 Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = 8 0 0 ) 5 5 = 6 b) 7 9 = 8 7 56 b) 5 :
5.6 Gleichsetzungsverfahren
.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a)
Rechnen mit Termen 1. Berechne ds Volumen und die Oberfläche. 2. 3 3 7 2 4b 3. 5 4 8 b 4. Löse die Klmmern uf und fsse zusmmen: ) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7(1 b)+5b(2 ) c) 4b( 3b) 4b( 2 3) 5. Löse die Gleichungen:
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
G2.3 Produkte von Vektoren
G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen
Dreireihige Determinanten
LINEARE ALGEBRA Teil 3 3 Gleichungen mit 3 Uneknnten Gleichungen und Gleichungssysteme Dreireihige Determinnten Dtei Nr. 6 03 Stnd 6. Oktoer 04 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 603 Linere Alger 3
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen Vorrangregeln Die Rechnungsarten zweiter Stufe haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe. Man sagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" Treten in einer
FK03 Mathematik I: Übungsblatt 1; Lösungen
FK03 Mthemtik I: Übungsbltt 1; Lösungen Verständnisfrgen: 1. Woher stmmen die Objekte in einer Menge? Die Objekte einer Menge entstmmen unserer Anschuung und unserem Denken. 2. Welche Drstellungen von
Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8
Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem
x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter