M Umformen von Termen

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1 M 7.. Umformen von Termen In Jhrgngsstufe 7 wird ds Fundment einer Schritt für Schritt ufzuuenden Alger gelegt. Dem Umformen von Termen kommt dei eine grundlegende Bedeutung zu. Im Lehrpln heißt es Die Schüler lernen, uf der Grundlge der Rechengesetze für rtionle Zhlen Terme ngemessener Komplexität in äquivlente Terme umzuwndeln. Hier ist der deutliche Hinweis enthlten, dss monotones, rein schemtisches Üen, ei dem der Schwierigkeitsgrd der Aufgen nur üer die Komplexität der Terme gesteuert wird, nicht im Vordergrund stehen soll. Keinesflls ist drn gedcht, den Schwerpunkt des Unterrichts uf ds schlonenhfte Berechnen derrt komplexer Terme wie 8 x [ x ( y) x ( y )]( y + x) + ( y) ( x ) ( y x) oder x y x x ( x y ) x x y y + zu legen. Vielmehr soll intensives, vrintenreiches Üen, ds uch den konstruktiven Umgng mit Schülerfehlern einezieht, zu einem für die Jhrgngsstufe däquten Mß n Rechenfertigkeit führen. Die inomischen Formeln sind kein Lerninhlt in Jhrgngsstufe 7, sie werden gemäß Lehrpln erst im Zusmmenhng mit qudrtischen Funktionen in Jhrgngsstufe 9 eingeführt. Allenflls können sie in den Jhrgngsstufen 7 oder 8 ls Spezilfll des Ausmultiplizierens von Summen nklingen; eine systemtische Themtisierung ist jedoch noch nicht esichtigt. Auf die Potenzgesetze wird in Jhrgngsstufe 8 näher eingegngen; in Jhrgngsstufe 7 wird mn flls erforderlich ei Termumformungen uf die Definition der Potenz zurückgreifen ( Azählen gleicher Fktoren ). Lut Lehrpln soll in einfchen Fällen uch fktorisiert werden. Es ist nur drn gedcht, ds Distriutivgesetz in elementrer Form nzuwenden. Die Eineziehung der inomischen Formeln schließt sich us, d sie nicht im Lehrpln der Jhrgngsstufe 7 enthlten sind. Es genügt folglich, den größtmöglichen gemeinsmen Fktor zw. einen vorgegeenen Fktor us mehreren Summnden uszuklmmern. Link zu Beispielufgen: Zusmmenfssen und Ausmultiplizieren von Termen Fktorisieren von Termen

2 Beispielufgen zum Zusmmenfssen und Ausmultiplizieren von Termen Die folgenden Aufgen weisen hinsichtlich der ngestreten Rechenfertigkeit ein Niveu uf, ds erreicht und gehlten werden soll. Unter dem Aspekt der Differenzierung werden jedoch weitere Aufgen, die von diesem Niveu weichen, von den Schülern ereitet werden.. Fsse jeweils zusmmen ) ( ) ( 5, ) [Kommentr: Die Schüler sollten in der Lge sein, diese Termumformung lediglich durch Kopfrechnen durchzuführen.] ) x[ 5xy ( 6yx 9y )] y( x ) c) ( ) 0,5 c : c ( ) d) (, 5u + v)( u + 5v) e) ( x 7)( x + ) x( x ) () f) ( + )( 5, + ) ( ) g) ( 0, x x + x)( x )( x x ) ( x ) [Kommentr zu den Teilufgen f und g: Ds unreflektierte Ausmultiplizieren von Summen führt ei diesen Aufgen zu erhelichem Mehrufwnd.] h) (, 5x )( y + x) ( x )x 0 i) ( ) + [ 0, 5 ( ) ] [Kommentr: Hier knn uf die flsche Anwendung des Distriutivgesetzes ( ) = 6 eingegngen werden.]. Welcher der folgenden Terme ist zum Term x ( x) äquivlent? Kreuze n. 9 6x 9 6x 9 x 9 x 6x x [Kommentr: Die inomischen Formeln sind n dieser Stelle nicht notwendig; ds Qudrt stellt lediglich einen Spezilfll eim Ausmultiplizieren von Summen dr.]. Üerlege, us wie vielen Summnden die Summe esteht, die mn nch dem 5 Ausmultiplizieren des Terms ( + ) ( + ) ( c ) erhält. Kreuze n.

3 . Nenne die Fehler, die eim Ausmultiplizieren pssiert sind. 6 ( x + )( x ) x ( 7x y) = 6x + 6 7x x y [Kommentr: Bei dieser Aufge werden die llgemeinen mthemtischen Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren gefordert. Ihr Stellenwert ist momentn im Vergleich zur Kompetenz Mit symolischen, formlen und technischen Elementen der Mthemtik umgehen noch nchrngig. Im Sinne einer umfssenden mthemtischen Bildung sollten jedoch lle in den KMK- Bildungsstndrds gennnten Kompetenzen gleichermßen Eingng in den Unterricht finden.] 5. Der Spielfeldrnd eines Fußllfeldes der Breite und Länge l soll von den Zuschuern den Astnd x hen. Christin, Monik und Peter schreien Terme uf, die den Flächeninhlt der Sicherheitszone eschreien: x Christin: (l + x) x + ( + x) x l Monik: (x + l) (x + ) l x Peter: x (l + x + x) + x Sicherheitszone ) Beschreie gegeenenflls mit Hilfe einer Skizze wie die drei jeweils ihren Term gefunden hen könnten. ) Zeige, dss die Terme äquivlent sind. c) Klus stellt den Term l x + x uf und ehuptet, dss dieser uch den Flächeninhlt der Sicherheitszone eschreit. Ws meinst du dzu? d) In der Münchner Allinz-Aren ist ds Spielfeld 05 m lng und 68 m reit. Der Sicherheitsstnd eträgt 7,5 m. Welchen Flächeninhlt ht die Sicherheitszone? 6. Welche der folgenden Terme sind äquivlent? ) x : x ( x x) x x x ) x + c) 0,5x x x ( ) d) x x( 8 + x) 0,5 x e) x( x) + 0,5x x :

4 Beispielufgen zum Fktorisieren von Termen Die Aufgen is weisen ein Niveu uf, ds erreicht und gehlten werden soll die inomischen Formeln sind nicht im Lehrpln der Jhrgngsstufe 7 enthlten. Unter dem Aspekt der Differenzierung werden jedoch weitere Aufgen, die von diesem Niveu weichen, von den Schülern ereitet werden.. Schreie jeweils ls Produkt: ) + ) 6uv uv c) rs 7r s + 5r s t d) e) p q 6pq x y + xy xy f) Klmmere jeweils ( ) us: +,,, g) Klmmere us: + h) Klmmere us: i) Klmmere x y us: 5 x y x y x y. Der Term soll ls Produkt geschrieen werden. Kreuze jeweils n, + o richtig oder flsch fktorisiert wurde: richtig ) ( + ) ) ( + ) flsch c) ( + ) d) ( ) ( ) e), 5( + ) 0. Beschreie mit Worten, welche Fehler jeweils gemcht wurden. ) = ( ) ) xy + x y = xy ( y + x) xy

5 . Wofür stehen jeweils die Pltzhlter Δ zw. Ο? ) z z z ( z z) z( z z Ο) + + = + ) x y xy = xy ( Ο ) 5. ) Ds geildete Dreieck ht den Flächeninhlt +. Ws lässt sich drus üer die Länge der Seite ussgen? (Tipp: Schreie die Summe ls Produkt.) ) Ds geildete Trpez ht den Flächeninhlt Ws lässt sich drus üer seine Höhe ussgen? (Tipp: Schreie die Summe ls Produkt.) c +. [Kommentr: Im Sinne systemtischen Wiederholens ietet es sich vor Bereitung dieser Aufge n, kurz uf die Herleitung der Flächenformel für ds Trpez einzugehen.] 5