Grundwissen Jahrgangsstufe 9

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1 Grundwissen Jhrgngsstufe 9 GM 9. Qudrtwurzeln und die Menge der reellen Zhlen QUADRATWURZELN Unter der Qudrtwurzel us einer Zhl (kurz: Wurzel us, Schreibweise ) versteht mn diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt gleich ist. ist lso die nichtnegtive Lösung der Gleichung x². Zum Beispiel ht die Gleichung x² 6 die positive Lösung und die negtive Lösung. Also ist 6. Die Zhl oder der Term unter dem Wurzelzeichen heißt Rdiknd. Ds Ermitteln des Werts einer Qudrtwurzel nennt mn Wurzelziehen oder Rdizieren. Mn bechte: ist nur definiert, wenn 0. ², flls 0 und ², flls < 0. Zusmmenfssend schreibt mn: ². DIE MENGE DER REELLEN ZAHLEN Jede rtionle Zhl lässt sich ls Bruch mit einer gnzen Zhl im Zähler und einer ntürlichen Zhl im Nenner schreiben. Die Dezimldrstellung einer rtionlen Zhl ist entweder endlich (z.b. 0, 75 ) oder periodisch (z.b. 0, 6 ). Es gibt Zhlen, die sich nicht in der beschriebenen Art ls Bruch drstellen lssen. Ihre Dezimldrstellung ist unendlich und nicht periodisch. Solche Zhlen heißen irrtionle Zhlen. ist eine irrtionle Zhl, wie lle Qudrtwurzeln, wenn nicht ds Qudrt einer rtionlen Zhl ist. Die Menge der rtionlen Zhlen und die Menge der irrtionlen Zhlen bilden zusmmen die Menge R der reellen Zhlen. 8 RECHNEN MIT QUADRATWURZELN Addieren und Subtrhieren von Qudrtwurzeln Es gilt: c ± b c ( ± b) den gleichen Rdiknden besitzen. c. Mn knn lso Wurzelterme ddieren bzw. subtrhieren, wenn sie Beispiel: ( 6) ( ) Mn bechte: Wurzelterme mit verschiedenen Rdiknden knn mn nicht zusmmenfssen. Insbesondere ist in der Regel b b! Beispiel: 9 6 7, ber Also Multiplizieren und Dividieren von Qudrtwurzeln Es gilt: b b und. Mn knn lso Wurzelterme multiplizieren bzw. dividieren, b b indem mn die Rdiknden multipliziert bzw. dividiert. Beispiel: Mn bechte: ( ). Im Gegenstz zu: 6

2 Teilweises Rdizieren Mnchml lässt sich der Rdiknd so in ein Produkt zerlegen, dss mn die Wurzel us einem oder mehreren Fktoren ziehen knn. Dies ermöglicht ein teilweises Rdizieren. Beispiele: b c 8 b c b b c b c ² ist nicht negtiv, brucht lso keine Betrgsstriche. D b³ unter der Wurzel steht, knn b nicht negtiv sein. b brucht deshlb keine Betrgsstriche. c ² c (vgl. S. 6 oben). b Brüche und Bruchterme mit Wurzeln im Nenner Durch Erweitern eines Bruches bzw. eines Bruchterms knn mn Wurzeln im Nenner beseitigen. Ebenso können durch Kürzen Wurzeln im Nenner eines Bruchs oder Bruchterms entstehen. 6 * 6 6 Beispiele: * Hier wird mit erweitert. * * Hier wird mit gekürzt. Bechte: ( ) x * x x * Hier wird mit x gekürzt. x 7

3 GM 9. Die Stzgruppe des Pythgors In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die dem rechten Winkel nliegenden Seiten werden Ktheten gennnt. In jedem rechtwinkligen Dreieck besteht zwischen den Längen der Ktheten und der Länge der Hypotenuse eine besondere Beziehung, die bereits im Altertum beknnt wr, der sog. Stz von Pythgors: In jedem rechtwinkligen Dreieck ht ds Qudrt über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhlt wie die Qudrte über den beiden Ktheten zusmmen. Mit den Bezeichnungen us der nebenstehenden Abbildung gilt: ² b² c² Der Kehrstz des Stzes von Pythgors gilt ebenflls: Wenn für die Längen, b und c der drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung ² b² c² erfüllt ist, dnn ist dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c. Zur Stzgruppe des Pythgors gehören noch zwei weitere Sätze: Höhenstz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt über der Hypotenusenhöhe flächengleich dem Rechteck, ds die Hypotenusenbschnitte ls Seitenlängen ht. Kurz: h² pq Kthetenstz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt über einer Kthete flächengleich dem Rechteck, ds den dieser Kthete nliegenden Hypotenusenbschnitt und die Hypotenuse ls Seitenlängen ht. Kurz: ² cp und b² cq Anwendungen des Stzes von Pythgors Digonle im Qudrt Höhe im gleichseitigen Dreieck Länge einer Strecke im Koordintensystem d h Der Anstz ² ² d² liefert: d Der Anstz h liefert: h Für die Länge der Strecke [PQ] gilt: PQ ( x x ) ( y y ) Q P Q P 8

4 GM 9. Qudrtische Funktionen und Gleichungen Eine Funktion der Form y x² bx c bzw. f(x) x² bx c mit, b, c R, 0, heißt qudrtische Funktion. Ihr Grph ist eine Prbel. y Die einfchste qudrtische Funktion ist die Funktion y x². Ihr Grph (vgl. 7 Zeichnung rechts) ist eine sog. Normlprbel. Ihr tiefster Punkt heißt Scheitel und ht die Koordinten (0 0). Sie ist chsensymmetrisch zur 6 y Achse. Alle nderen Prbeln entstehen us der Normlprbel durch Verschiebung und/oder zentrische Streckung m Scheitel. Es gilt: > 0 Die Prbel ist nch oben geöffnet. < 0 Die Prbel ist nch unten geöffnet. > Die Prbel ist enger ls die Normlprbel. < Die Prbel ist weiter ls die Normlprbel. Mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung knn mn den Funktionsterm in die Scheitelform überführen. v.6d x Beispiel: Qudrtische Funktion y 0,5x² x 0,5 usklmmern y 0,5(x² x ) Qudrtische Ergänzung y 0,5(x² x ( ) ( ) Qudrtischen Term bilden y 0,5((x )² ) Zusmmenfssen y 0,5((x )² ) Äußere Klmmer uflösen y 0,5(x )² Aus der Scheitelform knn mn die Koordinten des Scheitels der Prbel blesen. y (x d)² e Die Prbel ht den Scheitel S(d e). ) 7 6 y Beispiel: y 0,5(x )² Die Prbel ht den Scheitel S( ). Sie ist chsensymmetrisch zur Gerde x. Wegen 0,5 ist die Prbel nch oben geöffnet und weiter ls die Normlprbel. Die zugehörige qudrtische Funktion ht die Wertemenge W [ ; [. urven v.6d 5 Die Schnittstellen eines Funktionsgrphen mit der x Achse heißen Nullstellen. Eine Prbel knn keine, genu eine oder zwei Nullstellen besitzen. Mn bestimmt diese meist mit Hilfe der Lösungsformel für qudrtische Gleichungen x 5 6 Qudrtische Gleichung x² bx c 0 Lösungsformel x, b ± b c Beispiel: 0,5x² x 0 0,5 b c x x, ± x 0,5 ± 0,5 9

5 Der in der Lösungsformel uftretende Rdiknd D b² c heißt Diskriminnte der qudrtischen Gleichung. Die Diskriminnte mcht eine Aussge über die Anzhl der Lösungen der zugehörigen qudrtischen Gleichung und dmit über die Anzhl der Nullstellen der zugehörigen qudrtischen Funktion. Es gilt: D > 0 Die Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen. D 0 Die Gleichung besitzt genu eine Lösung. D < 0 Die Gleichung besitzt keine Lösung. Besitzt ein qudrtischer Term eine oder zwei Nullstellen, so knn mn ihn fktorisieren. Umgekehrt knn mn us der fktorisierten Form des Terms seine Nullstellen blesen. ) Fktorisieren durch Ausklmmern: x² bx 0 x(x b ) 0 Nullstellen: x 0, x b Zur Erinnerung: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer seiner Fktoren Null ist! Beispiel: x² 6x 0 x(x ) 0 x 0, x b) Fktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln: x² dx d² (x d)² Nullstelle: x d x² dx d² (x d)² Nullstelle: x d Beispiel: x² 6x 9 (x )² Nullstelle: x c) Fktorisieren durch Kluges Rten: Mnche qudrtischen Terme lssen sich durch kluges Rten und Ausprobieren fktorisieren. Beispiel: x² x 6 (x ± )(x ± ) Durch Überlegen und Ausprobieren findet mn: x² x 6 (x )(x ) Nullstellen: x, x d) Fktorisieren mit Hilfe der Nullstellen: Ist beknnt, dss der Term x² bx c die Nullstellen x und x besitzt, so knn mn ihn in der Form (x x)(x x) schreiben. Beispiel: Der Term x² 8x 0 ht die Nullstellen x 5 und x. Also ist x² 8x 0 (x 5)(x ). 0

6 GM 9. Linere Gleichungssysteme mit drei Unbeknnten Ds Lösen mncher Probleme us der Mthemtik oder ihren Anwendungen erfordert ds Lösen eines lineren Gleichungssystems mit mehr ls zwei Unbeknnten. In GM 8.5 sind drei Verfhren zum Lösen linerer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten drgestellt. Auch beim Lösen von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten knn mn sich unterschiedlicher Methoden bedienen. Es genügt ber, eine dieser Methoden sicher zu beherrschen. Beispiel: (I) x y z (II) x y z 0 (III) 9x y z 5. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht druf, ds Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten uf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten zurückzuführen. Dzu löst mn eine der drei Gleichungen nch einer Vriblen uf und setzt den Term in die beiden nderen Gleichungen ein. (I) nch z: z x y in (II): x y x y 0 ergibt (II) : x y in (III) : 9x y x y 5 ergibt (III) : 8x y 8 Jetzt ist ein Gleichungssystem mit den (II) (III) : 0x 0 zwei Gleichungen (II) und (III) und den x zwei Unbeknnten x und y zu lösen. in (III) : 8 y 8 [Vgl. dzu uch GM 8.5.] y 0 in (I): z ( ) 0 Die Lösung des Gleichungssystems ist ds Zhlentripel ( ; 0 ; ), die Lösungsmenge L {( ; 0 ; )}.. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht uf dem Additionsverfhren. Ziel ist jeweils, dss nch der Addition zweier Gleichungen eine Vrible wegfällt. Dher wird vor der Addition meist (mindestens) eine der zwei verwendeten Gleichungen mit einer geeigneten Zhl multipliziert. (I) x y z ( ) ( 9) (II) x y z 0 (III) 9x y z 5 (I) x y z (II) 6y z ( ) (III) 6y 8z (I) x y z (II) 6y z Ds Gleichungssystem ht jetzt Dreiecksform (III) 5z 0 und knn von unten nch oben gelöst werden. (III) z in (II) : 6y y 0 in (I) : x 0 x L {( ; 0 ; )}

7 GM 9.5 Potenzen mit rtionlen Exponenten Die n-te Wurzel Unter n (sprich: n-te Wurzel us ) versteht mn für n N \ {} und diejenige nichtnegtive reelle Zhl, deren n-te Potenz den Wert ht. Für n N \ {} und R 0 ist lso n 0 und ( ) n n n. Im Ausdruck heißt die Zhl bzw. der Term unter der Wurzel Rdiknd. n bezeichnet mn ls Wurzelexponenten. Beispiele: 6 6, weil 6 6 0, 006 0,, weil 0, 0,006 Bechte: Auch wenn der Tschenrechner 8 usrechnen knn, ist 8 dennoch nicht definiert! R 0 Die Gleichung x n Die Gleichung x n knn zwei Lösungen, genu eine Lösung oder keine Lösung hben: n gerde n ungerde Beispiele: 0 L 0 x 5 L { > 0 L { n ; n } L { n } 0 L {0} L {0} < 0 L { } L { n } x { ; } 0 } x 6 6 L { } x L { } Potenzen mit rtionlen Exponenten Wurzeln knn mn uch ls Potenzen schreiben: und somit n n n für n N \ {} und R m m n für n N \ {}, m Z und R 0 Mit dieser Festlegung knn mn die Definition von Potenzen uch uf rtionle Exponenten erweitern. Beispiel: Für ds Rechnen mit Potenzen mit rtionlen Exponenten gelten die selben Gesetze wie für ds Rechnen mit Potenzen mit gnzzhligen Exponenten (vgl. GM 8.5):. Potenzen mit gleicher Bsis werden multipliziert (dividiert), indem mn die gemeinsme Bsis beibehält und die Exponenten ddiert (subtrhiert).. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem mn die Bsen multipliziert (dividiert) und den gemeinsmen Exponenten beibehält.. Eine Potenz wird potenziert, indem mn die Exponenten multipliziert.

8 GM 9.6 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tngens im rechtwinkligen Dreieck In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Länge der Gegenkthete dieses Winkels Sinus eines Winkels Länge der Hypotenuse Länge der Ankthete dieses Winkels Kosinus eines Winkels Länge der Hypotenuse Länge der Gegenkthete dieses Winkel Tngens eines Winkels Länge der Ankthete dieses Winkels C Mit den Bezeichnungen nebenstehender Figur gilt: b sin α, c b cos α, c tn α b A α c β B Beispiele:. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Kthete 5 cm und die Größe des Winkels β 70 beknnt. Dmit knn mn die fehlenden Seiten und Winkel leicht berechnen. 5 cm cosβ c,6 cm c cosβ cos70 b tnβ b tnβ 5 cm tn70,7 cm oder: ² b² c² b c² ² (,6 cm)² (5 cm)²,7 cm. Bei einem gleichschenkligen Dreieck ABC (vgl. Abbildung) beträgt die Bsislänge c 8 cm, der Winkel n der Spitze γ 0. Berechne die Schenkellänge, die Höhe und die Größe der Bsiswinkel. α (80 γ) 75 (Winkelsumme im Dreieck) Die Höhe h uf die Bsis zerlegt ds gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. tn h α h c tnα 8 cm tn75,9 cm c c c cosα cosα cm cos75 5,5 cm C γ h oder: ² ( c) ² ² h² ( c) ² (,9 cm)² ( cm)² 5, cm h Bechte: Wenn mn mit gerundeten Werten weiterrechnet, können sich leicht bweichende Werte ergeben! A α c α B

9 Die Steigung einer Gerde Wir betrchten zunächst nur Gerden mit positiver Steigung: Die Steigung einer Gerde im Koordintensystem ergibt sich us dem Steigungsdreieck. Die drgestellte Gerde ht die Steigung m. Der Winkel α zwischen der Gerden und der (nch rechts verlufenden) x-achse heißt Steigungswinkel der Gerden. Mn findet ihn im Steigungsdreieck wieder. Dort gilt: tn α. Die Steigung einer Gerden ist lso gleich dem Tngens des Steigungswinkels: m tnα α y O α x Bemerkung: Diese Beziehung gilt uch, wenn die Steigung der Gerde negtiv und der Steigungswinkel größer ls 90 ist. Zusmmenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tngens Zwischen Sinus, Kosinus und Tngens bestehen folgende Zusmmenhänge: cosα sin(90 α), sinα cos(90 α) sinα tn α cos α ( ) ( ) sinα cosα (Trigonometrischer Pythgors)

10 GM 9.7 Zusmmengesetzte Zufllsexperimente Setzt sich ein Zufllsexperiment us mehreren Schritten zusmmen, so spricht mn von einem zusmmengesetzten oder mehrstufigen Zufllsexperiment. Zusmmengesetzte Zufllsexperimente lssen sich durch Bumdigrmme vernschulichen. Dbei vermerkt mn n jedem Zweig die zugehörige Whrscheinlichkeit. Der Summenwert der Whrscheinlichkeiten uf den Zweigen, die von einem Verzweigungspunkt usgehen, muss dbei stets betrgen. Bei der Berechnung von Whrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse helfen die sog. Pfdregeln:. Die Whrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Whrscheinlichkeiten uf den Zweigen des Pfdes, der zu diesem Ergebnis führt.. Die Whrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Whrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Beispiele:. Florin geht ufs Oktoberfest. Er möchte dort m Schießstnd eine Rose schießen. Nüchtern ht er eine Treffsicherheit von 80 %. Nch einer Mß Bier sinkt sie uf die Hälfte. Florin schießt einml im nüchternen Zustnd und ein weiteres Ml nchdem er eine Mß Bier getrunken ht. Bumdigrmm: T bedeutet Florin trifft. T ist ds Gegenereignis von T, bedeutet lso, dss Florin nicht trifft. 0,8 0, 0, T 0,6 0, T 0,6 T T T T Berechnung von Whrscheinlichkeiten: A Florin trifft bei beiden Schüssen. A {TT} P(A) 0,8 0, 0, % B Florin trifft nur beim zweiten Schuss. B { T T} P(B) 0, 0, 0,08 8 % C Florin trifft genu einml. C {T T ; T T} P(C) 0,8 0,6 0, 0, 0,8 0,08 0,56 56 % D Florin trifft mindestens einml. D ist ds Gegenereignis von D Florin trifft keinml. P(D) P(D ) 0, 0,6 0, 0,88 88 %. Mindestens einml -Ereignisse Wie groß ist die Whrscheinlichkeit beim fünfmligen Würfeln mindestens eine 6 zu werfen? E Beim fünfmligen Würfeln mindestens eine 6. E Beim fünfmligen Würfeln keine 6. Zu E gehören im Bumdigrmm Äste, zu E gehört dgegen nur ein Ast. Er trägt uf llen Zweigen die Whrscheinlichkeit dfür, beim Würfeln keine 6 zu werfen, lso 6 5. Somit ist P(E) P(E ) ( 6 5 ) 5 59,8 %. 5

11 GM 9.8 Fortführung der Rumgeometrie Ds gerde Prism Ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zueinnder prllele, kongruente n-ecke und dessen Seitenflächen Rechtecke sind, heißt gerdes Prism. Der Abstnd der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Prisms. Die Seitenflächen bilden zusmmen den Mntel des Prisms, lle Flächen des Prisms bilden zusmmen seine Oberfläche. Für ds Volumen des Prisms gilt: Volumen Grundflächeninhlt Höhe V G h Der gerde Kreiszylinder Jeder gerde Kreiszylinder ht ls Grund- und Deckfläche zueinnder prllele Kreisflächen mit dem gleichen Rdius r. Der Abstnd der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Zylinders. Schneidet mn die Mntelfläche längs einer Mntellinie uf, so lässt sie sich zu einem Rechteck brollen, dessen Seitenlängen die Zylinderhöhe h und der Umfng U der Grundfläche sind. Für den Oberflächeninhlt gilt: O r²π rπh Für ds Volumen des Zylinders gilt: Volumen Grundflächeninhlt Höhe V G h r²πh Die Pyrmide Eine Pyrmide ist ein Körper, der von einem n-eck ls Grundfläche und n Dreiecken ls Seitenflächen berndet wird. Auch hier bilden die Seitenflächen den Mntel des Körpers. Mntelfläche und Grundfläche zusmmen bilden die Oberfläche der Pyrmide. Die Seiten der Grundfläche heißen Grundknten, die übrigen Seiten der Seitenflächen heißen Seitenknten der Pyrmide. Sind lle Seitenknten gleich lng, so spricht mn von einer gerden Pyrmide. Der Abstnd der Spitze von der Grundfläche ist die Höhe h der Pyrmide. Für ds Volumen der Pyrmide gilt: Volumen Grundflächeninhlt Höhe V G h 6

12 Der gerde Kreiskegel Ein gerder Kreiskegel ist ein Körper, der von einem Kreis mit der Rdiuslänge r ls Grundfläche und einem Mntel berndet wird. Die Verbindungsstrecke der Spitze S mit dem Mittelpunkt des Grundkreises steht uf der Grundfläche senkrecht. Die Länge dieser Verbindungsstrecke heißt Höhe h des Kegels. Grundfläche und Mntelfläche bilden zusmmen die Oberfläche des Kegels. Schneidet mn den Mntel längs einer Mntellinie (Länge s) uf, so lässt er sich zu einem Kreissektor brollen. Für den Mntelflächeninhlt gilt: Für den Oberflächeninhlt gilt: M rπs O r²π rπs Für ds Volumen des Kegels gilt: Volumen Grundflächeninhlt Höhe V G h r²πh 7