α 360 Mathematik- Grundwissen Klassenstufe 10 Die Kreiszahl π

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1 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Die Kreiszhl π THEORIE BEISPIEL π ist eine irrtionle Zhl. Mn knn durch verschiedene Verfhren Näherungswerte bestimmen. Beispielsweise lässt sich der Wert des Kreisumfngs durch Berechnung des Umfngs von Vielecken einschchteln und dmit π ngeben. π 3, Kreissektor Kreis mit Rdius r und Mittelpunktswinkel α: Länge des Kreisbogens: α b πr 360 Flächeninhlt des Kreissektors: α A πr² br 360 Bogenmß Der Winkel α knn im Grdmß oder im Bogenmß ngegeben werden. Für den Zusmmenhng von Grdmß und Bogenmß gilt: α α π 360 r 4 cm 55 π entspricht 360 bzw. π entspricht im Bogenmß: π π, ,5 im Grdmß: 0, π Volumen der Kugel Ist r der Rdius einer Kugel, so gilt für ds Volumen: V 4 3 πr! r Oberflächeninhlt der Kugel Ist r der Rdius einer Kugel, so gilt für den Oberflächeninhlt: r 5 cm O 4πr²

2 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Sinus und Kosinus m Einheitskreis sin α y ; cosα x Hier ist P (x y) ein beliebiger Punkt uf dem Einheitskreis. sin30 sin50 sin 0 sin330 Die Sinuswerte/Kosinuswerte hben für den spitzen Winkel α sowie für die Winkel 80 - α, 80 + α und α den gleichen Betrg. Ds Vorzeichen lässt sich jeweils us der Drstellung entnehmen. - Die trigonometrischen Funktionen in ( x k ) sin x ( x + k π ) cos x sin + π und cos Für lle x mit 0 x π und lle k Ζ sind die Sinus- und Kosinusfunktion für lle reellen Zhlen definiert. Dbei bestimmt x ds Bogenmß des Winkels. Die Sinus- und Kosinusfunktion sind periodisch mit π, die Wertemenge ist W [- ; ]. - f(x)sinx g(x)cosx Die llgemeine Sinusfunktion c x sin bx + c sin b x + b ( ) Mit x R, 0 und b > 0. Bei geeigneter Whl von, b, c lssen sich beliebige sinusförmige Grphen beschreiben. Dbei bestimmt c > 0( c < 0) eine Verschiebung der Sinuskurve in x- Richtung nch links(bzw. rechts) um b c. Die Amplitude ist durch, die y,5sin (x π) Periode durch π ngegeben. 0 bringt eine b Spiegelung n der x- Achse hinzu.

3 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Sinus- und Kosinusstz Gegeben: Zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks ABC bestehen diese Beziehungen : Sinusstz Die Längen zweier Seiten sind vom Verhältnis wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel: sinα b sin β sinα b sin β c sin γ c sin γ Kosinusstz Für jede Dreiecksseite, deren Gegenwinkel und dessen nliegende Seiten gilt: ² b² + c² bc cosα b² ² + c² c cos β c² ² + b² b cosγ ð Gegeben: ð Lineres Wchstum ( t) f ( ) d f t ist ein lineres Wchstum. d ist die bsolute Änderung pro Zeitschritt. Es gilt: f ( t) f ( t ) + d (schrittweise Berechnung) f ( t) f ( 0) + t d (direkte Berechnung) Lineres Wchstum mit der bsoluten Änderung d 4 und f(0) 3: t 0 3 f(t) f ( t) f ( t ) f ( t) 3 + 4t + 4 Exponentielles Wchstum g( t) ( t ) g( t) g( t ) g( t ) heißt exponentielles Wchstum. g bezeichnet die reltive (prozentule) Änderung pro Zeitschritt. Es gilt: g( t) g( t ) (schrittweise Berechnung) t g( t) g( 0) (direkte Berechnung) Exponentielles Wchstum mit dem Wchstumsfktor,5 und f(0) 4: t 0 3 f(t) ,5 f ( t) f ( t ),5 t f ( t) 4,5 3

4 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Hlbwertszeit T H (Verdopplungszeit T D ) Bezeichnet die Zeit, in der sich der Funktionswert jeweils hlbiert bzw. verdoppelt. Exponentilfunktionen x x b mit > 0 und nennt mn Exponentilfunktionen. Die Funktionswerte sind immer positiv. Der Grph geht durch den Punkt (0/b). Die x- Achse ist Asymptote. Der Grph von x geht us dem x Grphen von x durch Spiegelung n der y- Achse hervor. x x ( 3 )! x ( 3 )! Logrithmen Die Lösung der Exponentilgleichung x b (für > 0, b > 0) ist der Logrithmus von b zur Bsis : x log b Gesetze für ds Rechnen mit Logrithmen log log log ( u v) ( u : v) u log x log x log u + log u log lgu Umrechnungsformel: log u lg u v v log 3 43 lg lg 5; denn: ( 5x) ( 5 : x) lg log lg5 + lg x lg5 lg x 000 lg lg5 lg Whrscheinlichkeitsrechnung Schnittmenge Die Schnittmenge A B zweier Mengen A und B enthält lle Elemente, die zur Menge A und gleichzeitig zur Menge B gehören. 4

5 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge A A B zweier Mengen A und B enthält lle Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. Vierfeldertfel Die Ereignisse A und B ermöglichen eine Zerlegung der Ergebnismenge Ω in vier Teilmengen: A B, A B, A B und A B. Jedes Ergebnis ω gehört dbei einer Teilmenge n. Trägt mn die Whrscheinlichkeiten der Ereignisse A B, A B, A B, A Bein, so treten die Whrscheinlichkeiten von ls Splten- bzw. Zeilensummen uf. A, A, B, B B A ( A B) 30% B P A B 5% P ( ) A P ( A B) 0% P ( A B) 35% P ( B) 40% P ( B 60% ) P(A 55%) P(A 45%) P(Ω 00%) Jede Vierfeldertfel ist Ausgngspunkt zweier Bumdigrmme. Entweder wird in der. Stufe nch A und A und in der. Stufe nch B und B unterschieden oder umgekehrt. Bedingte Whrscheinlichkeit Sind A und B Ereignisse eines Zufllsexperiments mit P( A) 0so ist die bedingte Whrscheinlich- keit P A ( B) die Whrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der Bedingung des Eintretens von A. P Es gilt: ( ) ( A B) P A B P( A) Im Bumdigrmm knn die bedingte Whrscheinlichkeit P A ( B) unmittelbr bgelesen werden, jedoch nicht die bedinge Whrscheinlichkeit P B ( A). Diese knn mit einer us dem Bumdigrmm entwickelten Vierfeldertfel ermittelt werden. Häufig ist es dbei übersichtlicher, zunächst mit Anzhlen und nschließend mit Whrscheinlichkeiten zu rbeiten. /stochstik/stochstische- unbhengigkeit/su_bumdigrmm.jpg 5

6 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Potenzfunktionen Funktionen: 𝑥 𝑎 𝑥! (𝑛𝜖Ν) Gerde Exponenten: 𝑎 > 0: 𝑊 ℛ!! 𝑎 < 0: 𝑊 ℛ!! - chsensymmetrisch bzgl. y- Achse. Ungerde Exponenten: 𝑎 > 0: 𝑊 ℝ 𝑎 < 0: 𝑊 ℝ - punktsymmetrisch bzgl. Koordintenursprung. 𝑥 0,5𝑥! 𝑥 0,𝑥! Polynome Polynom: Term us Summen von gleichen Vriblen mit zugehörigen Koeffizienten. Der höchste Exponent heißt Grd des Polynoms. Gnzrtionle Funktionen Eine Funktion mit einem Polynom ls Funktionsterm heißt uch gnzrtionle Funktion. Eigenschften gnzrtionler Funktionen Der Summnd mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt ds Verhlten einer gnzrtionlen Funktion. Ist eine Nullstelle einer gnzrtionlen Funktion f vom Grd n, dnn lässt sich f(x) in der Form 𝑓 𝑥 (𝑥 𝑎) 𝑔(𝑥) schreiben. g(x) erhält mn durch Polynomdivision: 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 : (𝑥 𝑎) Grd n bedeutet höchstens n Nullstellen. k- fche Nullstelle bei 𝑥 𝑎, wenn 𝑥 𝑎 in der fktorisierten Form k- ml vorkommt. Polynom: 𝑥! 5𝑥! + 𝑥! 3 Koeffizienten: 𝑎! ; 𝑎! 𝑎! 0; 𝑎! 5; 𝑎! 0; 𝑎! ; 𝑎! 0; 𝑎! 3 Grd: 7 𝑓: 𝑥 4𝑥! 4𝑥! + 𝑥 + ; der Grd von f ist 3. 4𝑥! bestimmt ds Verhlten des Grphen für betrgsmäßig große x- Werte. 𝑥 4𝑥! 4𝑥! + 𝑥 + 6

7 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Verschieben von Funktionsgrphen g x f x + + b bedeutet, dss g us dem Grphen von f durch Verschiebung um in x- Richtung und um b in y- Richtung entsteht. Beispiel: Verschiebung von links nch rechts um so wie von unten nch oben um Links: f(x) x! Rechts: g(x) (x )! + Strecken von Funktionsgrphen g x k f(x) bedeutet, dss g gegenüber f in y- Richtung mit dem Streckungsfktor k gestreckt ist. h x f(kx) bedeutet, dss h gegenüber f in x- Richtung mit dem Streckungsfktor k gestreckt ist. f(x)sinx g(x)sin(x) Spiegeln von Funktionsgrphen g x f x bedeutet, dss g durch Spiegelung n der x- Achse us f hervorgeht. f(x) e!! g(x) e! h x f( x) bedeutet, dss h durch Spiegelung n der y- Achse us f hervorgeht. Symmetrie von Funktionsgrphen Achsensymmetrie bzgl. der y- Achse: f x f(x) PunktsymmetrieGeben Sie hier eine Formel ein. bzgl. des Koordintenursprungs: f x f(x) f(x) x! x! + 0,5 Kommen im Funktionsterm nur x- Potenzen mit gerden/ungerden Exponenten vor, so ist der Grph chsensymmetrisch/punktsymmetrisch. 7

8 Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Grenzwerte im Unendlichen ist ein Grenzwert der Funktion f, wenn die Funktionswerte von f für beliebig groß werdende x- Werte der Zhl beliebig nhe kommen. Schreibweise: lim!!! f x y e!! + 0,5 Hinweis: Aufgben und weitere Erklärungen in gut drgestellter Form für ds Grundwissen der 0.Klsse findet ihr uf folgender Internetseite: digitl/linksnzeige.php?schulrt&them00&key #unterthem 8