Grundwissen 10. Klasse G8

Transkript

1 Leibniz-Gmnsium Altdorf Grundwissen 0. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und eispiele Lösungen I) Kreis und Kugel Die Kreiszhl ist eine irrtionle Zhl, lso ein unendlicher, nicht periodischer Dezimlbruch. erechnungen n Kreissektoren: Rdius r, Mittelpunktswinkel, Fläche A, ogenlänge b A S r ; b S r ; A S br ogenmß: Die Größe eines Winkels knn im Grdmß ( ) oder im ogenmß () ngegeben werden: ; [0 ; 60 ] ; [0 ; ] ; 80 ; 60 erechnungen n der Kugel: Rdius r, Volumen V, Oberfläche O V r ; O r. Ds Dreieck AC ist gleichseitig mit Seitenlänge. M ist der Mittelpunkt von [A]. erechne Inhlt und Umfng der schrffierten Fläche in Abhängigkeit von!. Rechne jeweils in ds ndere Mß um! ) 5 7 b) 0 c),5. ) Wie viel Prozent des zur Verfügung stehenden Rumes bleiben leer, wenn mn eine Kugel in einen möglichst kleinen zlinderförmigen Körper verpckt? b) Vergleiche die Kugeloberfläche mit der Mntelfläche des Zlinders!. A gru A Sektor grpß A gleichseitig + A Sektor klein u gru b groß + b klein , b) ) 0,5,5 c) 60 57, 8. ) V Rest VZ - VK r r r r r VRe st Anteil Rest, % VZ r b) O K r M Z rr r OK Grundwissen 0. Klsse G8 Seite von 8

2 -0,6π -0,π,,0 0,6 0, -0, -0,6 -,0 -, 0,π 0,6π,0π,π,8π Leibniz-Gmnsium Altdorf II) Trigonometrie Sinus, Kosinus m Einheitskreis Für einen beliebigen Punkt P( ) uf dem Einheitskreis gilt: cos ; sin Aus Smmetriegründen gilt: mit [0 ; 90 ] Die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel, 80 -, 80 + und 60 - hben denselben etrg; zum Vorzeichen: vgl. Einheitskreis Trigonometrische Funktionen uf R Für den Winkel im ogenmß sind die trigon. Funktionen f: sin Sinusfunktion f: cos Kosinusfunktion uf gnz R definiert. Ihre Wertemengen sind W [ ; ]. Sie sind periodisch mit der Periode, d.h.: sin ( + k) sin ; cos ( + k) cos llgemeine Sinusfunktion R, 0, b > 0 f () sin (b + c) + d sin [ b ( + b c ) ] + d Amplitude: Periode: b. estimme ekt! ) sin 50 b) cos 5. Für welche Winkel zwischen 0 und 60 gilt: ) sin 0,9580 b) cos 0,9909?. estimme ekt lle mit, für die gilt: ) sin b) cos. f () sin estimme Amplitude, Periode, Verschiebung und Nullstellen der Funktion f für [ ; ] und zeichne!. ) sin 50 sin 0 b) cos 5 cos 5. ) sin 0,9580 Qudrnt III; IV sin (0,9580) 7, , 60 86,7 b) cos 0,9909 Qudrnt II; III cos (0,9909) 7,7 80 7, ,7. ) sin für { 70 ; 90 } lso sin für { ; } b) cos für { 0 ; 50 ; 50 ; 0 } lso { 7 ; 5 ; 5 ; 7 } f () sin Amplitude: Periode: sin (*) Verschiebung: nch rechts (**) Nullst.: wegen (*) und (**) gilt f () 0 für ; ; ; 5 ; ; Verschiebung: um b c nch rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) Verschiebung: um d nch oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) Grundwissen 0. Klsse G8 Seite von 8

3 Leibniz-Gmnsium Altdorf III) Eponentilfunktion und Logrithmus Lineres Wchstum: f (t) f (0) + dt Konstnter bsoluter Zuwchs in gleichen Zeitschritten; d bezeichnet die bsolute Änderung pro Zeitschritt. Eponentielles Wchstum: f (t) f (0) t Konstnter Wchstumsfktor in gleichen Zeitschritten; - bezeichnet die reltive/prozentule Änderung pro Zeitschritt. Hlbwertszeit: Zeit, in der sich Fkt.wert jeweils hlbiert Verdopplungszeit: Zeit, in der sich Fkt.wert jeweils verdoppelt Eponentilfunktionen Funktionen der Form f () b > 0, b f (0): Anfngswert/-bestnd > : G f str. mon. steigend 0 < < : G f str. mon. fllend f () > 0 für lle R, b > 0 P ( 0 b ) G f Asmptote von : -Achse Grph von g() erhält mn us Grph von f() d. Spiegelung n der -Achse Logrithmen Die eindeutige Lösung der Eponentilgleichung b nennt mn Logrithmus von b zur sis : b log b g() log ist Umkehrfkt. von f() Rechenregeln: u, v, > 0; () log (uv) log u + log v () log (u : v) log u log v () log u log u () log b lg b : lg (lg: Zehnerlog.) Lösungsstrt. Eponentilgleichungen: Vergleich der Eponenten bei gleicher sis beidseitiges Logrithmieren g()0,5 - - G f f() G g. Ein Sprer legt 000 bei zwei unterschiedlichen nken für jeweils 0 Jhre n: ) Zinsstz i 5 %; Zinsen werden im Folgejhr mitverzinst ( Zinseszins ); b) Zinsstz i 5 %; Zinsen werden m Jhresende usbezhlt. Vergleiche den Kontostnd zu Lufzeitende!. estimme und b so, dss der Grph der Eponentilfkt. f () b durch die Punkte P ( 5) und Q ( 5 0, ) geht!. Löse ohne Tschenrechner! log (5) + log 6. Löse folgende Eponentilgleichungen! ) 6 9 6,5 b) c) ) Unter normlen edingungen vermehren sich Choler-kterien so strk, dss ihre Anzhl stündlich um ds siebenfche steigt. erechne die Verdopplungszeit! b) Anfngs wren es 00 kterien. Wnn werden es unter normlen edingungen ungefähr Millirde kterien sein?. ) k() 000,05 k(0) 000, ,89 b) k() ,05000 k(0) , P > I) 5 b Q > II) 0, b 5 5 II 0 b, d > 0 I 5 b 5 5 in I) 5 b b 65 f() log (5) + log 6 log (5) log + log 6 log (5) log (6) 5 d: log streng monoton,. ) 6 9 6,5 9 b) lg (5 + ) lg 7 ( + )lg 5 lg 7 + lg 7 : lg 5 lg7 : - 0,8 lg5 d: 6 streng monoton c) Substitution: 5 v v 0v ( 0) v/ v (-5) > 5 (-5) Widerspruch: 5 > 0 v 5 > 5 5 > 5. ) f() b8 b b8 ; 8 ; log 8 / Verdopplungszeit: 0 Minuten. b) log lg 0 7 : lg 8 7 : lg 8 7,75 Duer: c. 7 Stunden 5 Minuten 5 Grundwissen 0. Klsse G8 Seite von 8

4 Leibniz-Gmnsium Altdorf IV) Vierfeldertfel und bedingte Whrscheinlichkeit: Vierfeldertfel: Zwei Ereignisse A und ermöglichen die Zerlegung der Ergebnismenge eines Zufllseperiments in vier Teilmengen, so dss jedes Ergebnis genu einer dvon ngehört: A A A A A A Mn knn in die Vierfeldertfel uch die Whrscheinlichkeiten der gennnten Ereignisse eintrgen: A P (A) P (A ) P (A) A P ( A ) P ( A ) P ( A ) P () P ( ) Aus jeder Vierfeldertfel lssen sich zwei umdigrmme bleiten:. Stufe A und A,. Stufe und oder umgekehrt. edingte Whrscheinlichkeit: Sind A und zwei Ereignisse mit P (A) 0, so bezeichnet mn die Wsk. des Eintretens von unter der edingung, dss A bereits eingetreten ist, ls bedingte Whrscheinlichkeit P A (). Es gilt: P A Wählt mn A und A ls. Stufe, so ergibt sich folgendes umdigrmm: P A P A. Auf dem Flughfen von Mllorc wurden deutsche Urluber nch ihren Fremdsprchenkenntnissen befrgt: 70 Urluber gben n, Spnisch sprechen zu können, 60 Reisende sprechen kein Englisch. 50 der befrgten Personen gben n, keine der beiden Fremdsprchen zu beherrschen, ds wren 5 % ller befrgten Personen. ) Stelle mit Hilfe des Tetes eine Vierfeldertfel mit bsoluten Häufigkeiten uf! b) Zeichne ds zugehörige umdigrmm mit dem. Merkml Englischkenntnisse und beschrifte die Äste mit den entsprechenden Whrscheinlichkeiten! c) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss ein befrgter Urluber Englisch und Spnisch beherrscht? d) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss ein befrgter Urluber uch Spnisch spricht, wenn er Englisch beherrscht? e) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss eine befrgte Person uch Englisch spricht, wenn sie Spnisch beherrscht?. Gegeben ist folgendes umdigrmm: Stelle die zugehörige Vierfeldertfel mit Whrscheinlichkeiten uf!. ) 50 5 % von > 00 S S E E b) 7 c) P (ES) 0 % um P (ES) 0 % Tfel 00 0 d) P E (S) 7 P E (S) e) P S (E) P (E S) E S P (E) E 60 0 P (E S) E S 60 6 P (S) S 70 7 A 0, 0,06 0, A 0,5 0,5 0,7 0,59 0, 7 P (A) P (A)P A () 0,0,8 0, P ( A ) P ( A )P A um Tfel Tfel () 0,70,5 0,5 Grundwissen 0. Klsse G8 Seite von 8

5 Leibniz-Gmnsium Altdorf V) Gnzrtionle Funktionen: llgemeine Potenzfunktion vom Grd n: f () n, n N n gerde: > 0 > W f R 0 < 0 > W f R 0 G f chsensmm. n ungerde: W f R G f punktsmm. Polnom vom Grd n: n n + n n , n N Gnzrtionle Funktion p () vom Grd n Eine Funktion p: p (), deren Funktionsterm p () ein Polnom vom Grd n ist, heißt gnzrtionle Fkt. vom Grd n.. Gegeben ist die Funktion f () ) estimme den Grd von f ()! b) estimme die Koeffizienten von f ()! c) estimme ds Verhlten von f () für betrgsmäßig große Werte! d) estimme die Nullstellen von f ()! e) Skizziere den Verluf von! f) estimme die Intervlle uf der Achse, in denen oberhlb der Achse verläuft!. estimme die Funktionsgleichung einer gnzrtionlen Funktion vom Grd 5, die bei eine dreifche und bei eine zweifche Nullstelle ht und deren Grph durch den Punkt P ( 6,5 ) verläuft!. f () ) höchste Potenz: > Grd von f () b), 0, 6, 0 c) f () f () f () d) eine Nullstelle: (errten: Teiler von 0!) ( ) : ( ) - ( + ) ( + 8) einfche NS: - + Vorzeichen- - ( - + ) wechsel 0 weiterer Nullstellen: ( + + ) - ( + ) 0 > - : doppelte NS, kein Vorzeichenwechsel Eigenschften: Ds Verhlten von p () für betrgsmäßig große Werte wird durch den Summnden n n bestimmt. Ist eine Nullstelle von p(), so lässt sich p() in der Form p () ( )g () schreiben mit einem Polnom g () vom Grd n ; ( ) heißt Linerfktor. g () erhält mn durch Polnomdivision: g() p() : ( ). Somit ht p () miml n Nullstellen. ist eine k fche Nullstelle, wenn ( ) in der vollst. fktorisierten Form von p() k ml vorkommt. k ungerde > Vorzeichenwechsel von p () bei k gerde > kein Vorzeichenw. von p () bei f () ( ) ( + ) e) f (0) 8-8 f) f () > 0 für ] ; [ \ { }. f () ( + ) ( ) 6,5 f () 5 (-) 5 > 0,05 f () 0,05 ( + ) ( ) Grundwissen 0. Klsse G8 Seite 5 von 8

6 VI) Eigenschften von Funktionen und ihrer Grphen: Verschieben von Funktionsgrphen: g () f ( + ) + b > G g entsteht us G f durch Verschiebung um in -Richtung und b in -Richtung Leibniz-Gmnsium Altdorf. Gegeben sind die Funktionen f () + + und g () Weg : llgemeiner Anstz: g () f (+) + b (+) + (+) + + b b + ( + ) b f () Überprüfe rechnerisch, durch welche Verschiebung us entsteht! Vergleich der Koeffizienten: I) + > g () (-) + II) b b > b (-) (-): rechts b : oben ist im Vergleich zu um Einheit nch links und um Einheiten nch unten verschoben. Weg : Scheitelform: f () + + ( + ) + > Sf ( ) Strecken von Funktionsgrphen: g () kf (), k > 0 > G g ist im Vergleich zu G f von der -Achse us in -Richtung mit dem Streckfktor k gestreckt g () + + ( + ) > Sg ( 0) Sg und dmit entsteht durch Verschiebung um Einheit nch links und um Einheiten nch unten; g () f (+) h () f (k), k > 0 > G h ist im Vergleich zu G f von der -Achse us in -Richtung mit dem Streckfktor k gestreckt f () sin g (),5 sin h () sin () Gh. Zeichne in ein gemeinsmes Koordintensstem die Grphen der Funktionen f () g () f() h () f ()!. f () g () f() ( ) h () f () () G h G g G f Grundwissen 0. Klsse G8 Seite 6 von 8

7 Spiegeln von Funktionsgrphen: g () f () > G g entsteht us G f durch Spiegelung n der -Achse h () f ( ) > G h entsteht us G f durch Spiegelung n der -Achse f () g () h () Gh Leibniz-Gmnsium Altdorf. Gegeben ist die Funktion f (). Gib die Gleichungen der Funktionen g und h n, deren Grphen durch Spiegelung n der Achse (g) bzw. n der Achse (h) us hervorgehen. Zeichne die drei Grphen in ein gemeinsmes Koordintensstem!. f () g () f () h () f ( ) G h G g sa: ; wa: 0 sa: ; wa: 0 sa: ; wa: 0 G f Smmetrie von Funktionsgrphen: f ( ) f () für lle D > G f chsensmmetrisch bzgl. der Achse g ( ) g () für lle D > G g punktsmmetrisch bzgl. des Koordintenursprungs Fkt. gnzrtionl > G f chsensmmetrisch <> lle vorkomm. Eponenten gerde f () + 0,5 g () + 0,5 > G g punktsmmetrisch <> lle vorkomm. Eponenten ungerde. Überprüfe rechnerisch, ob die Grphen folgender Funktionen eine Smmetrieeigenschft ufweisen und zeichne sie in ein gemeinsmes Koordintensstem! f () sin g (),5. f (-) sin (-) sin f () ist punktsmmerisch zum Ursprung. g (-),5 5, g (-) g () und g (-) g () weist keine Smmetrieeigenschft uf. G f Grundwissen 0. Klsse G8 Seite 7 von 8

8 Grenzwerte im Unendlichen: Die Funktionswerte f () kommen für beliebig groß werdende -Werte einer Zhl beliebig nhe > lim f () heißt Grenzwert der Funktion f für gegen plus unendlich; ist dnn wgrechte Asmptote von G f; Eine Funktion, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Schwnken die Funktionswerte, besitzt die Funktion f lso keinen Grenzwert, so heißt sie divergent. f () lim f ( ) ( ) senkr. As.: (-) wg. As.: (-) Funktionstpen: linere Funktion qudrtische Funktion gnzrtionle Fkt. höhren Grdes gebrochen rtionle Fkt. trigonometrische Fkt. Eponentilfkt. Logrithmusfkt. Wurzelfkt. - - gnzrt. Fkt. ersten Grdes gnzrt. Fkt. zweiten Grdes Leibniz-Gmnsium Altdorf 5. estimme rechnerisch die Grenzwerte folgender Funktionen für --> + und : f () g () 6 + h () 0,5 k () cos + 5. f() lso: lim f () g() 6 + lso: lim g () ; lim g () + h() 0,5 ; sis 0,5 < > Gh streng momoton fllend und h () > 0 für lle R lso: k () cos + lim h () 0 ; lim h () + 8 k() besitzt keinen Grenzwert im Unendlichen, d die Funktionswerte von k stets zwischen 0 und schwnken; - Grundwissen 0. Klsse G8 Seite 8 von 8