MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

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Wilfried Lang
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1 MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis und der Kreissektor Umfang eines Kreises mit Radius r: u = r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ : µ b Sektor = r π 60 Fläche eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ: µ A Sektor = r²π 60 Aufgaben: Lösungsidee: Trage das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge 4a ein (Innenwinkel: 60!). 4 U = πa + b60 = πa Höhe im gleichseitigen Dreieck hier: h = 4a 9 A = AKreis + ASektor ADreieck = a π 4 Die Kugel Berechne jeweils den Durchmesser einer Kugel mit a) d = 5,9 cm 65 cm² b) d = = 4, cm 4π 900 cm³ c) d = =,0 cm 4π d) Mit, 5 cm³ = 4 r³π gilt: d = 0,5 cm

2 Sinus-; Kosinus- und Tangenswerte für beliebige Winkel. Zurückführung auf den I. Quadranten Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel. a) b) c) d) e) 0 = = = = = sin 0 =0,5 cos 40 =0,5 tan 485 = sin 765 = tan 500 =. Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen für 0 φ <60. Runde auf eine Dezimale. a) sin φ = - φ = 70 b) cos φ = φ = 0 c) tan φ = φ = 45 d) sin φ = φ = 60 e) tan φ = φ = 60 φ = 60 φ = 5 φ = 0 φ = 40 f) sin φ = -0,5 φ = 0 φ = 0 g) cos φ = φ = 60 φ = 00 h) tan φ = 4 φ = 76,0 φ = 56,0 i) sin φ = - φ = 5 φ = 5 k) cos φ = φ = 45 φ = 5 4 Das Bogenmaß am Einheitskreis Aufgabe: Vervollständige die folgende Tabelle

3 5 Sinusfunktion Aufgabe: Skizziere den Graphen der Funktion f() =,5 sin ( + π ) 5 Die bedingte Wahrscheinlichkeit Aufgabe Mache Menschen haben Schwierigkeiten, die Farbe Rot von Grün zu unterscheiden. Die Vierfeldertafel beschreibt die Verteilung der Farbfehlsichtigkeit unter 000 Personen. Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person farbenfehlsichtig ist? b) Berechne die WSK der Farbenfehlsichtigkeit, wenn man zusätzlich weiß, dass es sich um eine Frau handelt? Nicht farbenfehlsichtig Farben fehlsichtig Männer Frauen 498 Lösung: 4 a) P(FS) = = 4, % 000 b) P F ( FS) = = 0,4 % Lineares und eponentielles Wachstum Aufgabe: Die Römerin Pecunia legte zur Zeit von Christi Geburt auf der Bank von Rom 00 Sesternen zu einem Zinssatz von % an. Die Zinsen sollen jeweils am Jahresende zu gleichen Bedingungen angelegt werden. Ihr Freund Stupidus legt bei der Römische Sparkasse auch 00 Sesternen zum Zinssatz von 5% an und lässt sich die Zinsen jeweils zum Jahresende ausbezahlen, die er zu Hause aufbewahrt. a) Welchen Betrag hat Pecunia nach 5 Jahren auf der Bank? f() = 00,0 ; f(5) = 00,0 5 = 55,80 Sesternen

4 b) Auf welchen Betrag sind zu diesem Zeitpunkt die 00 Sesternen von Stupidus zusammen mit den zu Hause aufbewahrten Zinsen angewachsen? f() = ; f(5) = = 75 Sesternen c) Wie hoch wäre das Vermögen der Erben Ende dieses Jahres in beiden Fällen, wenn die Geldanlage gleich geblieben wäre? Pecunia f(009) = 00,0 009 = 6, 0 7 Sesternen Stupidus f(009) = = 045 Sesternen 7. Die Eponentialfunktion f() = a (a > 0; a ) In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer Funktionsfamilie. Erläutere nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und bestimme die Gleichungen der zugehörigen Funktionen. a) b) y y 0 0 rot: f() = rot: f() = 4 schwarz: f() = - schwarz: f() = Spieglung an der -Achse und Verschiebung um nach unten 4 Spiegelung an der - und der y-achse 7. Der Logarithmus. Fasse zusammen und vereinfache falls möglich. a) b) log c) 0 d) 0. Drücke durch einen einzigen Logarithmusterm aus. ab a) log 6 c b) log np m c) log (m 5 n ) d) log m n 4 e) log m n f) log 6 a b c 4

5 8 Funktionen Aufgaben zur Polynomdivision (a) ( 4 + 4) : ( ) = ² - 4 (b) ( + 4) : ( + ) = + (c) ( ) : (6 + ) = (d) ( ) : ( ) = ( ) (e) ( ) : (5 ) = ² + - (f) ( 5 ) : ( ) = 4 + ³ + ² + + (g) ( ) : ( + ) = + Grober Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen Lösung I: f() = - 6 b) SP mit der y-achse: = 0; S y (0/0) SP mit der -Achse = Nullstellen (NST): N (0/0); N (-4/0); N (4/0) einfache NST c) f() = + und + f() = - d) -4 4 Lösung II: f() = b) SP mit der y-achse: = 0; S y (0/0) SP mit der -Achse = Nullstellen (NST): N (0/0) einfache NST;

6 N (/0) doppelte NST c) f() = + und + d) siehe Skizze f() = - Lösung III: f() = b) SP mit der y-achse: = 0; S y (0/6) SP mit der -Achse = Nullstellen (NST): N (-/0); N (/0); N (/0) einfache NST c) f() = + und + d) siehe Skizze Lösung IV: f() = - f() = b) SP mit der y-achse: = 0; S y (0/-6) SP mit der -Achse = Nullstellen (NST): N (-6/0); N (-4/0); N (/0); N 4 (4/0); N 5 (6/0) einfache NST c) f() = + und f() = - + d) siehe Skizze 9 Der Grenzwert oder das Verhalten im Unendlichen Bestimme für die folgenden Funktionen das Grenzverhalten für ±. a) f () = + b) f() f() = f() + f() = c) + 5 = f() d) f() = ( + ) cos e) = = f() = f) f() = f() f() = 0 = 6 f() = 4² + f() = - f() = - f() = 0 g) f() = f() = f() = 0 sin ² 8² f () = h) f() = i) f() = ³ + 4² + f() = 0 f() = - f() = f() = 0 f() = f() =

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