Vorbereitungskurs Mathematik

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1 BBS Gerolstein Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik für die Berufsoberschule II bzw. Erstellt von: Herr Merkelbach Stand: Merkelbach

2 Inhaltsverzeichnis 0. Vorwort....Faktorisieren und Substitution...4. Faktorisieren...4. Substitution...4. Übungsaufgaben:...4. Ableitungen...5. Ableitungsregeln...5. Übungsaufgaben:...6. Differentialrechnung - Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion...7. Beispiel...7. Übungsaufgaben: Gebrochenrationale Funktionen Beispiel Übungsaufgaben Integralrechnung unbestimmte Integrale bestimmte Integrale Flächenberechnung Anwendungsaufgaben Umkehrfunktion Nichtrationale Funktionen Wurzelfunktionen Eponentialfunktionen Logarithmusfunktionen trigonometrische Funktionen Grenzwerte Grenzwert für Grenzwert für ± Regel von L Hospital Lineare und quadratische Ungleichungen Polynomdivision - Übungen...4. Hornerschema - Übungen...5. Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen Fundamentalsatz der Algebra...6. Lineare Gleichungssysteme - Übungen...8. Einsetzungsverfahren...9. Additionsverfahren...9. Determinantenverfahren Matrizenrechnung Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Merkelbach

3 0. Vorwort Sehr geehrte Schülerinnen und Schüler! Ihr habt euch für das kommende Schuljahr für die Berufsoberschule II an der BBS Gerolstein angemeldet. In dieser genannten Schulform werden in der Mathematik die so genannten Lernbausteine 5, 6 und 7 unterrichtet. Das bedeutet, das wir die Kenntnisse, die in den Lernbausteinen und (entspricht dem Sekundarabschluss I) und die Bausteine und 4 (entspricht der Berufsoberschule I oder Duale Berufsoberschule oder -jährige höhere Berufsfachschule) voraussetzen. Damit Ihr die Möglichkeit habt, zu überprüfen, ob Eure Kenntnisse ausreichend sind, habe ich diesen Vorbereitungskurs zusammengestellt. Ihr solltet daher vor Beginn des neuen Schuljahres, diesen Vorbereitungskurs durcharbeiten, um Euer Wissen aufzufrischen, damit Ihr erfolgreich und ohne größere Probleme die Mathematik bewältigen könnt. Viel Spaß beim Rechnen! Percy Merkelbach Merkelbach

4 .Faktorisieren und Substitution. Faktorisieren Vorbereitungskurs Mathematik BOS II Faktorisieren den gemeinsamen Faktor ausklammern Quadratische Ergänzung , + ± Substitution z 4 + Substitution z z z z + ( 5) 9 + ( 5) ( z ) z, ± 6 z, 5 ± 4 9 ± ± 9,,4 ± ±,, L ; ; + ; + z z 9 Rücksubstitution z Rücksubstitution z { }. Übungsaufgaben: a) b) Merkelbach

5 . Ableitungen. Ableitungsregeln additive Konstante y f ( ) + c y f ( ) y + y Beispiel: multiplikative Konstante y a f ( ) y a f ( ) y y y Beispiel: Potenzregel y f ( ) n y f ( ) n n Beispiel: y y Summenregel y g( ) ± h( ) y g ( ) ± h ( ) 4 Beispiel: y y Produktregel y u( ) v( ) y u ( ) v( ) + u( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Beispiel: y y Quotientenregel u() v() u () v() u() v () y u() v() y u () v() - u() v () [ v( ) ] Beispiel: 5 6 ( ) ( ) - ( + ) ( ) 6 + y y [ ] Kettenregel g [ h ] g [ ] f ( ) ( ) f ( ) h( ) h ( ) ( ) ( ) Beispiel: y +5 y +5 (6 + 5) 5 Merkelbach

6 . Übungsaufgaben: 6 Merkelbach

7 . Differentialrechnung - Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion. Beispiel Diskutieren Sie folgende ganzrationale Funktion f ( ) a) Definitionsbereich: D f R b) Schnittpunkte mit den Achsen: a) Schnittpunkt mit der y-achse (0) ( 0 / 8) b) Schnittpunkte mit der -Achse (Nullstellen) f S y f ( ) Da eine Faktorisierung (Kapitel ) nicht möglich ist, muss man eine Nullstelle raten. Das sollte man mit dem Hornerschema (Kapitel 0) durchführen, da das Hornerschema bei einer gefundenen Nullstelle gleichzeitig die Polynomdivision (Kapitel 9) durchführt Hornerschema für f () daraus folgt das reduzierte Polynom: f red ( ) f red ( ) Quadratische Ergänzung 6 9 ( ) Anmerkung ( ) ( ) ( ) : ± 0 doppelte Nullstelle Nullstellen: N ( / 0) N ( / 0) Schreibt man die Funktion in der Linearfaktordarstellung, erkennt man, das es sich bei N um eine doppelte Nullstelle handelt. Das heißt der Graph der Funktion schneidet die -Achse in diesem Punkt nicht sondern er berührt nur die -Achse. Linearfaktordarstellung: f ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) c) Symmetrieeigenschaften Achsensymmetrie : f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Es liegt keine Achsensymmetrie vor! Punktsymmetrie : f ( ) f ( ) (( ) ( ) ( ) ) Es liegt keine Punktsymmetrie vor! 7 Merkelbach

8 d) Verhalten im Unendlichen Vorbereitungskurs Mathematik BOS II lim lim , und sind Nullfolgen d. h. sie konvergieren für gegen 0 lim lim ( ) + ( ) ( ) e) Etremwerte f + ( ) 8 + f ( ) notwendige Bedingung Quadratische Ergänzung E, E E 4 5 ± f ( ) f ( ) 0 hinreichende Bedingung E ( ) f ( ) < 0 Hochpunkt f > 0 Tiefpunkt Koordinaten der Etremwerte f ( ) 0 4 f H ( / 0) und T 8 7 f) Wendestellen f ( ) f ( ) notwendige Bedingung W Merkelbach

9 f ( ) 6 Vorbereitungskurs Mathematik BOS II f ( ) 0 hinreichende Bedingung W 4 f 6 0 Übergang von einer Rechtskrümmung > in eine Linkskrümmung Koordinaten der Wendestelle 4 7 f W 9 7 g) Wertebereich 4 y W f R N H N h) Graph der Funktion W Sy T -0. Übungsaufgaben: a) b) c) f ( ) 4 f 4 ( ) f ( ) Merkelbach

10 4. Gebrochenrationale Funktionen 4. Beispiel Untersuchen Sie die Funktion Etremstellen und Wendestellen. a) Definitionsbereich / Definitionslücken f ( ) Z( ) f ( ) ohne Berechnung der N ( ) N ( ) 0 0, ± + D R { ; + } f b) Achsenschnittpunkte b) Schnittpunkt mit der y-achse 0 f (0) (0 /) S y 0 b) Schnittpunkte mit der -Achse ( ) 0 0 ( ) f 0 Allgemein gilt: Für Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion muss gelten: Z( ) 0 N ( ) 0 0, ± + N ( / 0) N ( / 0) c) Symmetrieeigenschaften Achsensymmetrie : f ( ) f ( ) ( ) ( ) Die Funktion ist Achsensymmetrisch! 0 Merkelbach

11 d) Verhalten im Unendlichen lim lim lim ( ) ( ) e) Verhalten am Pol ist eine Nullfolgen d. h. sie konvergieren gegen Null. lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) Allgemein gilt: Für Pole einer gebrochenrationalen Funktion muss gelten: Z( ) 0 N( ) 0 + p p Hinweis: Eine Vereinfachung für die nachfolgenden Grenzwertbetrachtungen durch Zerlegung des Nenners N( ) und den Zählers Z( ) in Linearfaktoren ist nicht möglich, da keine Lücke eistiert, die man herauskürzen könnte. Rechtsseitiger Grenzwert Linksseitiger Grenzwert für ( 0 + h) 0 : lim h 0 ( 0 + h ) ( + h) lim h 0 ( ) + h h h lim h 0 h h + h 4h + lim h 0 h h h h 4 + h lim h 0 h h 4 + ( ) für ( 0 h) 0 : lim h 0 ( 0 h ) ( h) lim h 0 ( ) h h h lim h 0 h + h + h + 4h + lim h 0 h + h h h h lim h 0 h h ( ) h 4 + h lim h lim h h 0 h h 0 h konvergiert gegen 0 konvergiert gegen Merkelbach

12 Das bedeutet: - Nähert man sich dem Pol bei von rechts, dann werden die Funktionswerte unendlich p groß aber mit negativen Vorzeichen. D.h. die Funktion fällt nach unten ab. - Nähert man sich dem Pol bei von links, dann werden die Funktionswerte unendlich p groß aber mit positiven Vorzeichen. D.h. die Funktion steigt nach oben. Die gleiche Grenzwertbetrachtung muss man nun noch für + durchführen. Man erhält folgendes Ergebnis: - Nähert man sich dem Pol bei + von rechts, dann werden die Funktionswerte unendlich p groß aber mit positiven Vorzeichen. D.h. die Funktion steigt nach oben. - Nähert man sich dem Pol bei + von links, dann werden die Funktionswerte unendlich groß aber mit negativen Vorzeichen. D.h. die Funktion fällt nach unten ab. f) Verhalten an der Lücke Allgemein gilt: Für Lücken einer gebrochenrationalen Funktion muss gelten: Z( ) 0 N ( ) 0 Ergebnis: Die Funktion besitzt keine Lücken. p p g) Etremstellen Notwendige Bedingung f ( ) 0 Bei gebrochenrationalen Funktionen können die Ableitungen relativ kompliziert werden. ( ) f ( ) u v( ) f ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) [ v( ) ] (4 ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) E 0 Merkelbach

13 Hinreichende Bedingung f ( ) 0 u( ) f ( ) v( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) f ( ) [ v( ) ] 4 ( ) ( ) ( ) (4 4 ) f ( ) 4 + f ( ) f (0) < Hochpunkt 0 0 ( ) f (0) H 0 / h) Wendestellen Notwendige Bedingung f ( ) z z 0 4 z 9 z, + ± z, ± R z,4 ± D f i) Asymptote Es eistieren in diesem Fall keine Wendestellen. Zur Berechnung der Asymptotenfunktion verwendet man die Polynomdivision: Merkelbach

14 0 j) Wertebereich ( ) ( ) ( ) : + Vorbereitungskurs Mathematik BOS II y A f { R } W y y y > y k) Graph der Funktion 4 H N N 4-4. Übungsaufgaben a) f ( ) b) f ( ) + c) 4 f ( ) Merkelbach

15 5. Integralrechnung 5. unbestimmte Integrale f ( ) d F( ) + C Beispiele: Bestimmen Sie folgende unbestimmte Integrale d.h. bestimmen Sie die Stammfunktion: a) 6 d 7 + C 7 d b) ( ) C c) d d d + C Aufgaben: a) 4 d b) c) d d 5. bestimmte Integrale Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: [ ] Beispiele: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale: b a f ( ) d F( ) F( b) F( a) b a a) d ( ) ( ) b) ( ) d ( ) ( ) Aufgaben: a) b) 4 d d c) ( ) + d 5 Merkelbach

16 5. Flächenberechnung Vorbereitungskurs Mathematik BOS II Beispiele: 5 f()² a) Berechne Sie die Maßzahl für die Fläche zwischen dem Graphen von f ( ) und der -Achse über dem Intervall [;]. 4 7 A d Fläche A Beachte: Flächen oberhalb der -Achse ergeben positive Maßzahlen und Flächen unterhalb der - Achse ergeben negative Maßzahlen. - - Um eine Gesamtfläche zu berechen, muss man daher alle Nullstellen einer Funktion innerhalb des betrachtenden Intervalls berücksichtigen und von den einzelnen Maßzahlen die Beträge berechnen und addieren. Fläche A f()-²-5-4 A Gesamt A + A + A usw b) Berechne Sie die Maßzahl für die Fläche zwischen dem Graphen von f ( ) 5 4 und der -Achse über dem Intervall [-5;0]. f ( ) / ± Fläche A Fläche A Gesamt Gesamt ( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) A d d + d + d AGesamt + + A ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) Aufgaben: Berechne Sie die Maßzahl für die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f() und der -Achse über dem angegebenen Intervall: a) f ( ) [ ;4] b) f ( ) [ ; ] c) f ( ) [ ;] 6 Merkelbach

17 Beispiel: Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den Graphen g( ) + 8 und h( ) über dem Intervall, das sich aus den beiden Schnittpunkten der beiden Graphen S und S ergibt. 9 y g()-²+8 h() A Gesamt g( ) h( ) Differenzfunktion: f g h ( ) ( ) ( ) Nullstellen der Differenzfunktion: Die Funktion besitzt im Intervall zwischen -4 und keine weiteren Nullstellen y ( ) ( 8 ) ( 80 ) 4 A + 8 d f()-² Aufgaben: Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den Graphen g() und h() über dem angegebenen Intervall bzw. über das Intervall, das sich aus den beiden Schnittpunkten der beiden Graphen S und S ergibt A Gesamt a) g( ) h( ) + S; S - - b) g( ) 0,5 4 h( ) + 4 S; S - c) g( ) + 4 h( ) + [ ;] 5.4 Anwendungsaufgaben Rotationskörper Bogenlänge 7 Merkelbach

18 6. Umkehrfunktion Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt! 7. Nichtrationale Funktionen Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt! 7. Wurzelfunktionen 7. Eponentialfunktionen 7. Logarithmusfunktionen 7.4 trigonometrische Funktionen Bogenmaß Funktionsverläufe 8 Merkelbach

19 Variationen der Sinus- und Kosinusfunktion Variation der Amplitude f() m sin (),50,00,50,00 0,50 0,00-0,50 -,00 -,50 -,00 -,50 f() sin () f() sin () f() 0,5 sin () 0,00 0,5,05,57,09,6,4,67 4,9 4,7 5,4 5,76 6,8 Variation der Periode f() sin (c ),50,00 0,50 f() sin () f() sin (0,5 ) 0,00-0,50 0,00 0,5,05,57,09,6,4,67 4,9 4,7 5,4 5,76 6,8 -,00 -,50 f() sin ( ) Spiegelung der Sinusfunktion f() sin (),50,00 f() sin () 0,50 0,00-0,50 0,00 0,5,05,57,09,6,4,67 4,9 4,7 5,4 5,76 6,8 -,00 f() sin () -, Merkelbach

20 Phasenverschiebung f() sin ( + a),50,00 0,50 f() sin () f() sin ( + π) 0,00-0,50 0,00 0,5,05,57,09,6,4,67 4,9 4,7 5,4 5,76 6,8 -,00 -,50 f() sin ( + π ) Phasenverschiebung f() sin ( a),50,00 0,50 f() sin () f() sin ( π ) 0,00-0,50 0,00 0,5,05,57,09,6,4,67 4,9 4,7 5,4 5,76 6,8 -,00 -,50 f() sin ( π) 0 Merkelbach

21 Variationen der Sinusfunktion f() a sin (b + c) + d a Stauchung oder Streckung Amplitude b Verlängerung oder Verkürzung der Periode (Periode π ) b c c Phasenverschiebung (Verschiebung um in Richtung der -Achse) b d Verschiebung um d in Richtung der y-achse Technische Schreibweisen: a(t) A sin (ωt + ϕ) + d / u(t) u0 sin (ωt + ϕ) Beispiel: f() sin( - π ) +,5 f () sin() f () sin() f () sin( - π ) f () sin ( - 4 π ) Verschiebung + 4 π 4 f 4 () sin( - π ) 5 f 5 () sin( - π ) +,5 Periode: p π Etremwerte: Ma: { π + π ; 4,5} Min: { k π ;,5} π Nullstellen: { k π + ; 0} { k π π ; 0} 6 k k Z 6 Merkelbach

22 Variationen der Kosinusfunktion f() -cos ( - π ) + f () cos () f () cos ( ) π f () cos ( - ) f () cos ( - π) Verschiebung - π π 4 f 4 () - cos ( - ) π 5 f 5 () - cos ( - ) + Periode: p 4π Etremwerte: Ma: {( 4 ) π ; } Min: {( 4k + ) π ; } Nullstellen: cos( cos( π k k Z ) + 0 π ) + π cos () R Merkelbach

23 8. Grenzwerte Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt! 8. Grenzwert für 0 8. Grenzwert für ± 8. Regel von L Hospital 9. Lineare und quadratische Ungleichungen Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt! Merkelbach

24 0. Polynomdivision - Übungen Beispiele: a) ( ) ( ) : + ( ) ( ) ( 6) b) ( ) ( ) 6a + a b + 5 b : a + 5b a a b + 5b ( 6a 0a b) + 0 9a b + 5b 4 4 ( 9a b 5a b ) 0 + 5a b + 5b ( 5a b 5b ) Übungsaufgaben: Berechnen Sie das Restpolynom mit Hilfe der Polynomdivision, wenn eine Nullstelle gegeben ist: a) 4 f ( ) b) f ( ) c) ( 5a 9 8a 6 b + 8 b ) : ( a + b) d) ( 4a 4 a + 5a a + ) : ( 7a 4a + ) 4 Merkelbach

25 . Hornerschema - Übungen Das Horner-Schema f() a 0 + a + a + a f() a + a + a + a 0 f() (a + a + a ) + a 0 f() ([a + a ] + a ) + a 0 Beispiel: ganzrationale Funktion. Ordnung a a a a 0 a [a + a ] ([a + a ] + a ) + a + a + a 0 a a + a [a + a ] + a ([a + a ] + a ) + a 0 f() Beispiel: f() gesucht: f()? (-4) + (-) f() Übungsaufgaben: Berechnen Sie folgende Funktionswerte mit Hilfe des Horner-Schemas: g() h() 0, - 0,8 -, + 0 g(4) h(-,5) 5 Merkelbach

26 . Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen Fundamentalsatz der Algebra Vorgehensweise: p ( ) a + a a + a n n n n n 0 p ( ) 0 n Jedes Polynom kann in Linearfaktoren zerlegt werden: ( ) Nullstelle p ( ) a p ( ) n n 0 n Formfaktor Linearfaktor Restpolynom Das Restpolynom p ( ) n erhält man, indem man die Polynomfunktion pn ( ) durch einen Linearfaktor ( 0) dividiert. p ( ) a ( ) p ( ) : ( ) n n 0 n 0 p ( ) : ( ) a p ( ) n 0 n n Polynomdivision Liegt ein Polynom. oder höherer Ordnung vor, muss man die Nullstelle durch gezieltes Suchen auffinden bevor man die Polynomdivision durchführen kann. Wie in dem nächsten Beispiel zu sehen ist, kann man außer der Polynomdivision das reduzierte Polynom auch direkt aus dem Hornerschema ablesen, wenn das Schema eine Nullstelle ergibt. Beispiel: f() Suchen einer Nullstelle mit dem Hornerschema: f() 0 0. Ermittlung des reduzierten Polynoms mit der Polynomdivision bzw. dem Hornerschema: ( ) : ( ) reduziertes Polynom: f() f() Wichtig: Man kann erkennen, dass wenn das Hornerschema eine Nullstelle ergibt, in der unteren Zeile des Schemas die Koeffizienten des reduzierten Polynoms stehen. Das bedeutet, eine Polynomdivision wäre dann nicht mehr notwendig. 6 Merkelbach

27 . Suchen der zweiten Nullstelle mit dem Hornerschema: f() Ermittlung des reduzierten Polynoms mit der Polynomdivision bzw. dem Hornerschema: ( ) : ( ) reduziertes Polynom: f() f() 5. Quadratische Ergänzung: : ; Lösung: L { 4; ; ; } Fundamentalsatz der Algebra: Hat eine Polynomfunktion n-ten Grades die Nullstellen 0 ; 0 ; 0 ;... 0n, so kann man sie als Produkt aus Linearfaktoren darstellen. a n ist der Formfaktor der Funktion. ( 0n Z) f() a n ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )... ( 0n ) Beispiel: f() ( + 4) ( + ) ( ) ( ) Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann auch mehrfache Nullstellen besitzen: Beispiel: f() ( + ) ( 5) ( 5) ( 8) ( 8) ( 8) f() ( + ) ( 5) ( 8) 0 einfache Nullstelle 0 +5 doppelte Nullstelle 0 +8 dreifache Nullstelle Merke: Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens n- Nullstellen. Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. Eine Polynomfunktion geraden Grades kann auch keine Nullstelle besitzen. 7 Merkelbach

28 . Lineare Gleichungssysteme - Übungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen y 7 y 0 ist ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Beide Gleichungen sind durch und ( ) verbunden. Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen. (4, ; L L L Jede lineare Gleichung kann durch eine Gerade dargestellt werden. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden. y 7 y 0 y y 7 L { (4, ;,8) } Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Bei dem oben angeführten Beispiel ist das graphische Lösungsverfahren angewendet worden. Dieses Verfahren kann zu ungenauen Lösungen führen. Daher bevorzugt man die rechnerische Verfahren wie: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren. Auch das Determinaten-Verfahren dient zur Lösung von Gleichungssystemen. 8 Merkelbach

29 . Einsetzungsverfahren I II 4 + 5y y + y () Eine der Gleichungen wird nach oder y umgeformt. I 4 + 5y () Der Term für die umgeformte Variable wird in II + y die andere Gleichung eingesetzt. II in I ( + y ) + 5y 4 y 5 () Die entstandene Gleichung lösen. I ( 5) L {(6 ; - 5)} (4) Durch Einsetzen der Lösung in eine der Ausgangsgleichungen die zweite Variable bestimmen. Übungsaufgaben: a) + y - z b) 4 + y - 5z 7-4z y + z -8 + y + z 0 + y - z 6. Additionsverfahren I + y ( ) () Man multipliziert eine Gleichung oder beide II 5 + 4y Gleichungen mit Faktoren, sodass sich die Faktoren vor oder y nur durch das Vorzeichen unterscheiden. I 6 4y 4 () Bei der Addition beider Gleichungen fällt eine II 5 + 4y der Variablen heraus. () Die entstandene Gleichung lösen. I + y y L {( ; )} (4) Durch Einsetzen der Lösung in eine der Ausgangsgleichungen die zweite Variable bestimmen.. Determinantenverfahren Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt!.4 Matrizenrechnung Das folgende Thema ist noch nicht fertig gestellt! 9 Merkelbach

30 .5 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen können drei Fälle auftreten:. Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. I + y 4 y L {( ; )} II + 4y. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Die Geraden sind zueinander parallel. I + y L { } II 4y 0. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösung. Die Geraden fallen zusammen. I + 4y 4 L {( ; + )} II + y Merkelbach