GRENZWERTE BEI GEBROCHENRATIONALEN FUNKTIONEN

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1 GRENZWERTE BEI GEBROCHENRATIONALEN FUNKTIONEN Graph von f mit Epsilonstreifen und Asymptoten.5.5 y-achse Achse

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Einführung Der Grenzwertbegriff. Anschauliche Formulierung. Mathematische Formulierung.. Grenzwert für gegen Unendlich.. Rechenregeln für Grenzwerte für gegen Unendlich 5.. Grenzwert einer Funktion bei Annäherung an die Def.lücke 7 Aufgaben 9 Graphiken erstellt mit Mathcad 5 September 0

3 gebrochenrationale Funktionen Einführung Bildet man den Quotienten der Terme zweier ganzrationaler Funktionen, so erhält man den Term einer gebrochenrationalen Funktion. Definition Eine Funktion der Art f: D IR u() v() 0 v() heißt gebrochenrationale Funktion, wobei u() ein Polynom vom Grad m und v() ein Polynom vom Grad n ist. Bezeichnung m n (Zählergrad größer oder gleich Nennergrad): unecht gebrochenrationale Funktion m n (Zählergrad kleiner Nennergrad): echt gebrochenrationale Funktion Beispiel ( ) f() f() ist ein ( ) ( ) unecht gebrochenrationaler Funktionsterm. Definitionsmenge: DIR\ ; Stetige Fortsetzung: f _ () Vertikale Asymptote: A : Stetig behebbare Definitionslücke: L( / 0,5) Horizontale Asymptote: A : y A() Nullstelle: 0 0 Beispiel f() ( ) ( ) f() ist 8 () ein unecht gebrochenrationaler Funktionsterm. Definitionsmenge: D IR\ Vertikale Asymptote: A : Schiefe Asymptote: A :y () A Nullstellen: ; y-achse y-achse Graph von f Achse Graph von f Achse

4 Beispiel 0 ( ) f() ist ein ( ) ( ) ( ) echt gebrochenrationaler Funktionsterm. Definitionsmenge: DIR\ ; ; 0 Stetige Fortsetzung: f _ () ( ) ( ) Vertikale Asymptote mit VZW: A : Vertikale Asymptote ohne VZW: A : Stetig behebbare Definitionslücke: L( /) Horizontale Asymptote: A :y A() 0 Beispiel ( ) ( ) f() ist ein ( ) ( ) unecht gebrochenrationaler Funktionsterm. Definitionsmenge: DIR\ ; 0; ( ) ( ) Stetige Fortsetzung: f() ( ) ( ) Vertikale Asymptote mit VZW: A : Vertikale Asymptote ohne VZW: A : Stetig behebbare Definitionslücke: L(0 / 0) Horizontale Asymptote: A :y A() y-achse y-achse Graph von f Achse Graph von f Achse Feststellung: Da bei diesen Funktionsgleichungen ganzrationale Terme im Nenner vorkommen, treten im Vergleich zu den bekannten ganzrationalen Funktionen völlig neue Eigenschaften auf. Wir untersuchen: Definitionsmenge und Verhalten an den Definitionslücken Asymptoten Nullstellen Vorgehensweise: Faktorisieren des Zähler und des Nennerpolynoms. Festlegung des Definitionsbereichs und Kürzen, wenn möglich. Verhalten der Funktionswerte für bzw. + 0 und - 0. Bestimmen der Nullstellen.

5 Der Grenzwertbegriff. Anschauliche Formulierung Horizontale Asymptote Der Graph der Funktion f nähert sich für wachsende II Werte immer mehr der Geraden y 0 = g. Man sagt, die Funktion f konvergiert gegen den Grenzwert g. Schiefe Asymptote Der Graph der Funktion f geht für wachsende -Werte gegen Unendlich. Man sagt, die Funktion f ist bestimmt divergiert. Stetig behebbare Definitionslücke Die Funktion f hat bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke 0 den gleichen Funktionswert a. Man sagt, die Definitionslücke ist stetig behebbar. Polstelle Die Beträge der Funktionswerte der Funktionen f und f wachsen bei Annäherung an die Definitionslücke = jeweils unbegrenzt. Man sagt, sie haben den (uneigentlichen) Grenzwert Unendlich.. Mathematische Formulierung.. Der Grenzwert einer Funktion f für Definition a) Eine Funktion mit rechtsseitig unbeschränkter Definitionsmenge heißt konvergent gegen den Grenzwert g für, wenn es zu jedem 0 genau eine reelle Zahl rechts gibt, sodass für alle rechts gilt: f() g Schreibweise: Für gilt: f() g lim f() g b) Eine Funktion mit linksseitig unbeschränkter Definitionsmenge heißt konvergent gegen den Grenzwert g für, wenn es zu jedem 0 genau eine reelle Zahl links gibt, sodass für alle links gilt: f() g Schreibweise: Für gilt: f() g lim f() g

6 Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f() mit IR\ {}. Zeigen Sie, dass die Funktion f sowohl für als auch für gegen den Grenzwert g konvergiert. Bestimmen Sie allgemein die obere Grenze rechts und die untere Grenze links. Berechnen Sie die Grenzen für 0, und für 0,. Allgemeine Berechnung eines -Streifens: Vermutung: Grenzwert g zu zeigen : f() g.fall: () : 0 Wähle also : rechts.fall: ( ) : 0 Wähle also : links : Konkrete Werte: 0, r(0,) 7; l(0,) 0, r(0,) ; l(0,) 8 Alle Funktionswerte liegen, abhängig von der Breite, ab einer bestimmten Grenze im Inneren des Epsilonstreifens (Horizontalstreifens).

7 .. Rechenregeln für Grenzwerte Satz Gegeben sind die Funktionen u und v mit den Grenzwerten lim u() U und lim v() V. Dann gilt: lim [ u() v()] lim u() lim v() U V () () lim [ u() v()] lim u() lim v() U V () lim u() u() U lim falls lim v() 0 v() lim v() V () lim [k u()] k lim u() k U wobei k IR konstant ist. Beispiel f() mit DIR\ ;. Es gilt: Zählergrad = Nennergrad. Ausklammern der höchsten Potenz von oder Polynomdivision mit Rest. 0 Grenzwert: lim f () lim lim lim (Regeln, und ) II II II II Die Funktionswerte nehmen für monoton ab und sind nach unten beschränkt. Die Funktionswerte nehmen für monoton zu und sind nach oben beschränkt. Man sagt: Die Funktionswerte konvergieren gegen den Grenzwert g =. Interpretation: Horizontale Asymptote y A () = 0 Beispiel f() mit 8 Polynomdivision mit Rest: : 8 6 D IR\. Es gilt: Zählergrad = Nennergrad +. 5

8 für Grenzwert: lim f () lim lim 8 für 0 Der Graph der Funktion f nähert sich für dem Graphen von y A() an. Da die Beträge der Funktionswerte für bzw. unbeschränkt wachsen, sagt man: Die Funktionswerte divergieren bestimmt. Interpretation: Schiefe Asymptote y A() Beispiel f() Ausklammern der höchsten Potenz von. mit DIR\ ;. Es gilt: Zählergrad < Nennergrad. 0 0 Grenzwert: lim f () lim lim lim 0 (Regeln, und ) II II II II Die Funktionswerte nehmen für monoton ab und sind nach unten beschränkt. Die Funktionswerte nehmen für monoton zu und sind nach oben beschränkt. Man sagt: Die Funktionswerte konvergieren gegen den Grenzwert g = 0. Interpretation: Horizontale Asymptote y A () 0 0 Beispiel f() mit D IR\. Es gilt: Zählergrad > Nennergrad +. Polynomdivision mit Rest. 5 9 :

9 5 9 Grenzwert: lim f () lim lim II II 8 II 8 0 Die Funktionswerte nehmen für monoton zu und sind nicht beschränkt. Die Funktionswerte nehmen für monoton zu und sind nicht beschränkt. Man sagt: Die Funktionswerte sind bestimmt divergent. Interpretation: Asymptotische Kurve: y A ().. Der Grenzwert einer Funktion f für 0 : Definition Eine Funktion f() mit 0, die beiderseits der Stelle 0 definiert ist, hat den Grenzwert g für 0, wenn sich zu jeder Zahl 0 ein > 0 so bestimmen lässt, dass f() a für alle IR und 0 Für den praktischen Nachweis wird folgende Schreibweise verwendet: Linksseitiger Grenzwert (LGW): Für 0 gilt: f() g limf(0 h) g Rechtsseitiger Grenzwert (RGW): Für 0 : f() g limf(0 h) g h0 h0 7

10 Beispiel f() 5 f() 5 Definitionsmenge: D IR \ { ; } Stetige Fortsetzung: f 5_ () Verhalten an der Stelle : Linksseitiger Grenzwert: lim h lim h0 h Rechtsseitiger Grenzwert: lim h lim h0 h Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, sagt man, die Funktion konvergiert gegen den Grenzwert g =. Interpretation: Stetig behebbare Definitionslücke (- / 0,5) Verhalten an der Stelle : Linksseitiger Grenzwert: h h lim lim lim h0h h0 h Rechtsseitiger Grenzwert: h h lim lim lim h0 h h0 h Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert wächst jeweils über alle Grenzen. Man sagt, die Funktion ist bestimmt divergent. Interpretation: Unendlichkeitsstelle (Polstelle) = 8

11 .. Rechenregeln für Grenzwerte 0 Satz Gegeben seien die Funktionen u und v mit den Grenzwerten Dann gilt: () lim [ u() v()] lim u() lim v() U V lim u() U und 0 lim v() V. 0 () lim [ u() v()] lim u() lim v() U V u() lim u() U 0 () lim falls lim v() 0 0 v() lim v() V 0 0 () lim [k u()] k lim u() k U wobei k IR konstant ist Aufgaben Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f() mit IR\ { }. a) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. b) Bestimmen Sie die allgemeinen Bedingungen für den Streifen und die konkreten Werte für 0, bzw. 0,0. Lösung zu Teilaufgabe a) 0 lim lim lim, also Grenzwert g = horizontale Asymptote y =. Lösung zu Teilaufgabe b) ( ) Fallunterscheidung für den Betragsterm:. Fall: 0 0 () links 9 0

12 . Fall: 0 0 () rechts Konkrete Werte: 0, 0, 0,; links(0,) ; rechts(0,) 9 0, 0, 0,0 0,0 0,0; links(0,0) 0; rechts(0,0) 99 0,0 0,0 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f() 8 mit D. a) Bestimmen Sie die maimale Definitionsmenge und faktorisieren Sie den Funktionsterm. b) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. c) Geben Sie Lage und Art der Nullstelle an und zeichnen Sie den Graphen von f mit allen Asymptoten. Lösung zu Teilaufgabe a) Nennerfunktion: n() 8; n() 0 Polynomdivision : 0 () 0 Definitionsmenge: D IR \ { ; } Faktorisierter Funktionsterm: f() n() ( ) ( ) 8 : Lösung zu Teilaufgabe b) lim lim lim

13 Horizontale Asymptote y A () 0 Verhalten an der Stelle : Linksseitiger Grenzwert: lim ( ) ( ) 0 Rechtsseitiger Grenzwert: lim ( ) ( ) 0 Vertikale Asymptote ohne Vorzeichenwechsel: Verhalten an der Stelle : Linksseitiger Grenzwert: lim ( ) ( ) 6 0 Rechtsseitiger Grenzwert: lim ( ) ( ) 6 0 Vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel: Lösung zu Teilaufgabe c) Nullstelle: 0 0 Graph von f y-achse Achse

14 Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f() mit IR. a) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie. c) Bestimmen Sie die Nullstellen. d) Der Graph von f hat an der Stelle 0 0 ein absolutes Maimum. Bestimmen Sie den Funktionswert und zeichnen Sie den Graphen. e) Begründen Sie nur mithilfe bisheriger Ergebnisse, dass der Graph zwei Wendepunkte besitzen muss. Lösung zu Teilaufgabe a) lim lim lim 0 Horizontale Asymptote y A (). Lösung zu Teilaufgabe b) ( ) 8 8 ( ) f( ) f() Symmetrie zur y-achse. Lösung zu Teilaufgabe c) Nullstellen: ; ; Lösung zu Teilaufgaben d) und e) yma f(0) G f ist an 0 0 rechtsgekrümmt (Hochpunkt). Graph von f G f ist streng monoton ; 0 und streng monoton 0;. steigend für fallend für G f ist wegen der horizontalen Asymptote nach unten beschränkt. y-achse Achse Es muss also für 0 und für 0 jeweils einen Wendepunkt geben.

15 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f() 8 6 mit D. a) Bestimmen Sie die maimale Definitionsmenge und vereinfachen Sie den Funktionsterm. b) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs und geben Sie die Art der Definitionslücken und die Asymptoten an. c) Bestimmen Sie die Nullstellen. 6 5 d) Gegeben ist die Ableitungsfunktion mit f'(). Bestimmen Sie Lage und Art () der Etrempunkte mithilfe einer vollständigen Monotonietabelle. e) Zeichnen Sie den Graphen von f mit allen Asymptoten und bisherigen Ergebnissen. Lösung zu Teilaufgabe a) Nennernullstelle: Definitionsmenge: D IR \ {0; } 6 0 () 0 0; ; Vereinfachter Funktionsterm (stetige Fortsetzung): Lösung zu Teilaufgabe b) Verhalten an der Stelle 0: f_() 8 8 Linksseitiger Grenzwert: lim 6 Rechtsseitiger Grenzwert: lim 6 stetig behebbare Definitionslücke L0/ Verhalten an der Stelle : Linksseitiger Grenzwert: 8 lim 0 Rechtsseitiger Grenzwert: 8 lim 0 Vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel. Zählergrad = Nennergrad + schiefe Asymptote

16 Polynomdivision mit Rest: 8 : 6 8 Schiefe Asymptote y A() für Verhalten im Unendlichen: lim f() lim für 0 Lösung zu Teilaufgabe c) Nullstellen: ( 8) 8 0 /,;,; Lösung zu Teilaufgabe d) 6 5 f'() () Hor. Tangenten: Monotonietabelle: f'() () (5) 0 h ;h 5 Etrempunkte: f(),5 ; Rel. Hochpunkt: H(/,5) f(5) 5,5; Rel. Tiefpunkt: T(5 / 5,5)

17 Lösung zu Teilaufgabe e) Graph von f mit Asymptoten y-achse Achse Graph von f stetig behebbare Definitionslücke Nullstellen Schiefe Asymptote Vertikale Asymptote rel. Hochpunkt rel. Tiefpunklt 5