Hausaufgabe Analysis-Buch Seite 172, Aufgabe 23. Gegeben ist die Funktion f k mit f k (x) = x2 k 2. , wobei k > 0 ist.

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1 Hausaufgabe.. Analysis-Buch Seite 7, Aufgabe Gegeben ist die Funktion f k mit f k ( = k, wobei k > ist. k G fk ist der Graph von f k. a Bestimme den maimalen Definitionsbereich und untersuche f k auf Symmetrieeigenschaften, Nullstellen, Etrema, Wendepunkte und Asymptoten. Maimaler Definitionsbereich: k ;, da k > ; D fk = R \ }; Symmetrieeigenschaften: f( = k = f k k (; Punktsymmetrie zum Ursprung Nullstellen: f k ( = k? = ; k =? ; = k = k; k Nullstellen: k, k Etrema: f k ( = k ( k k (k = +k k ; GERIGKmethode für f k (: > ˆ + kˆ k ˆ + [] + Keine Etrema Wendepunkte: Keine, aber Wechsel des Krümmungsverhalten bei =, da f k bei = ein Etremum hat. Asymptoten: = ; (VZW an der Polstelle von nach + bei = y = ; (Beweis: f k k( = k = k; lim f k k k( = ; ± k

2 b Zeichne den zu k = gehörigen Graphen G f. c Für welche Werte von m hat die Gerade y = m mit G fk keine Punkte gemeinsam? y = m? = k k = f k (; km? = k ;? = k km ;? RHS muss positiv sein: k ; km km Außerdem: km ; km ; Also: km < ; m < k ; ; km ; Die Gerade y = m hat für m k keine Punkte mit G f k gemeinsam. d Bestimme ohne Berechnung des Integrals die Abszisse des Etremums der Funktion F k mit F k ( = f k (t dt = dt; t k kt Von welcher Art ist dieses Etremum? In welchem Bereich ist F k definiert? GERIGKmethode für f k ( = k k -k k > > - k > + k > k - + [] - + = ( k(+k k : D Fk = R + ; (da an der Stelle der Integrand unendlich wird Bei = k einziges Etremum (ein Tiefpunkt. e Der Graph G h einer ganzrationalen Funktion h dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und berührt G f in den Nullstellen von f. Ermittle den Funktionsterm h( und die Etrema von h. h( = a + b + c + d; h( = a + b c + d! = a b c d = h(; b + d = ; d = b ;

3 h(± = a (± + c (± = ±7a ± c =! = ; c = 9a; h( = a 9a; h ( = a 9a; h (± = 7a 9a = 8a =! f (± = ; a = ; 7 h( = 7 ( 9 ; ( ( GERIGKmethode für h ( = 9 ( = 9 + : -sqrt( sqrt( > / sqrt( sqrt( HOP bei (, 9 ; TIP bei (, 9 ; f Zeichne G h in die Zeichnung von Teilaufgabe b ein. g Welche Fläche schließt G h mit der positiven -Achse ein? Nullstellen von h:,, Fläche: (, y [, ] h( y }; Flächeninhalt: h( d = 9 d 7 = [ ] = [ ] = ; 4 h Die Funktion h sei gegeben durch h ( = für ; 7 ( 9 für < ; Ihr Graph ist G h. Kennzeichne G h in der Zeichnung der Teilaufgabe b mit Farbe. Wie oft ist h bei = differenzierbar? (Begründung! Stetigkeit von h an der Stelle : lim h ( = lim h ( = h ( = + ; Provisorisch: h ( = + für ; 7 ( 9 für < ;

4 4 lim h ( = = lim + h (; Provisorisches h ist in der Tat die Ableitungsfunktion von h. Provisorisch: h 6 für ; ( = für < ; 9 lim h ( = 9 = lim + h (; h ist nicht zweimal an der Stelle = differenzierbar; das provisorisch aufgestellte h ist nicht die Ableitungsfunktion von h. 6 f_ h 4 y Analysis-Buch Seite 7, Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion f mit f( = 4 ; ihr Graph sei mit G f bezeichnet. a Bestimme die maimale Definitionsmenge D f von f und untersuche G f auf Schnittpunkte mit dem Koordinatenachsen. ; ; D f = R \ };

5 5 f( = 4; f( = 4? = ; 4? = ; = ; f( = ; b Untersuche das Verhalten von f( für ± und für. f( = 4 = lim ± f( = ; lim f( = ± ; ± ; c Welches Monotonieverhalten zeigt die Funktion f? Hat G f Etrempunkte? Begründe deine Antwort. f ( = ( < für alle D f = R \ }; f ist auf ], [ und ], [ streng monoton fallend. (XXX auf ganz D f smf? Oder mit jeweils eingeschlossen? Oder nur bei einem eingeschlossen? GERIGKmethode von f (: > f hat keine Etrempunkte. (Aber eine Wendestelle bei =, da f bei = ein Etremum hat. (XXX ist es richtig, zu sagen, bei = liege eine Wendestelle, aber kein Wendepunkt vor? d Zeichne nun G f. e Begründe, weshalb f umkehrbar ist. Gib die Funktionsgleichung y = f ( für die Umkehrfunktion f von f sowie den Definitions- und den Wertebereich von f an. f ist umkehrbar, weil es bei beiden Ästen streng monoton ist und weil sich die Äste nicht überlappen ; f ist injektiv. f(y = y 4 4 f(y ; f(y yf(y = y 4; y = y f(y f (f(y; f(y + ; f(y ; = f(y+4 f(y+ =

6 6 D f = W f = R \ } ; W f = D f = R \ } ; (XXX wieso ist nicht, gespiegelt an y =? f Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen G f und G f. (G f ist der Graph von f : y f( = 4? = +4 + = f (; ( 4 ( + = ? = +4 4 = ( + 4 ( ; + =? ;, = ± 4 ( = ± 7; y,56; y,56; g Zeige, dass die Funktion F : ln [ ( ] mit D F = D f eine Stammfunktion von f ist. F ( = ( ( ( = = f(; h Bestimme den Flächeninhalt der Figur, die vom Graphen G f, von der Geraden y = sowie von den beiden Geraden y = und = begrenzt wird, auf zwei Dezimalstellen genau. Schnittpunkte vom Graphen von y = und f( = Schnittpunkte von G f und G f. = + 7 ; [ + ( + f( ] + f( ( d = ;

7 7 4 y = f( y = y = y Analysis-Buch Seite 7, Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f a mit f a ( = a von f a heiße G fa. a (a >. Der Graph a Bestimme den maimalen Definitionsbereich D fa, die Nullstellen und die Asymptoten von G fa. Definitionsbereich: ; D fa = R \ }; Nullstellen: f a ( = a a? = ; a? = ; f a (a = ; Asymptoten: = ; (Beweis: lim f a( = ; ± y = ; (Beweis: lim f a a( + = ; ± a b Berechne die Koordinaten ( E, y E und die Art des Etremums von f a. Hat G fa Wendepunkte? (Begründung! f a( = +a a ;

8 8 + a? = ; = a; GERIGKmethode von f a(: -ˆ(/a > ˆ + aˆ a ˆ - + [] - VZW von nach + bei = a; TIP bei f a ( = 6a 4 bei =. ( a, 4 + ; > auf ganz D fa ; trotzdem aber Wendestelle von f a c Zeichne den zu a = gehörigen Graphen G f. d Wie lässt sich die Tatsache interpretieren, dass y E den Parameter a nicht enthält? Alle Tiefpunkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden. ( e Berechne F ( = f (t dt = 4 t t dt. F ( = ( 4 t t dt = [ 4 t t 4 ] = ; f Begründe die Eistenz eines Maimums von F und berechne dessen Koordinaten. GERIGKmethode von f a ( = a a = a a : a > aˆ - ˆ a ˆ + [] + - VZW von f a ( von + nach bei = a; HOP bei ( a, 4 a + 7 ; a 4 4

9 9 g Für welche Werte von k hat die Gerade g k : y = a + k mit G fa keine Punkte gemeinsam? Welche Schnittpunkte ergeben sich für k = a? Konventioneller Ansatz über y = + k =? a = f a a a (; führt nicht zum Ziel, da die Nullstellen eines Polynoms vierter Ordnung zu finden wären. Stattdessen Überlegung mit den Erkenntnisen der a: y ist für k = Asymptote von G fa, mit f a ( > a für alle D f a. Also: Für k gibt es keine Schnittpunkte. a + a = +a = a a a ; + a = a ; = ; Schnittpunkte: ( ±, a + a ; h Die Funktion h a ist gegeben durch a für ; h a ( = a + a a für < ; Ihr Graph heiße G ha. Zeichne den zu a = gehörigen Graphen G h. Untersuche h a an der Stelle = auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. lim h a( = lim h a(; + lim + a a = + a a a = h a ( = lim = + a h a ist an der Stelle = stetig. Provisorische Ableitungsfunktion: h a für ; a( = a für < ; a lim h a( = lim + h a(; lim = lim a a + a = lim a = a + a h a ist an der Stelle = nicht differenzierbar; das provisorisch aufgestellte h a ist nicht Ableitungsfunktion von h a.

10 i Berechne den Inhalt J(r des Flächenstücks, das von G ha, der Geraden g : y =, der y-achse und der Geraden = r (r > a eingeschlossen wird. h a ( = a ; A = a ; A = r h a ( y g d = r a d = [ a A r = ra falls < < ; J(r = A + A = a ( ; sonst; r j Bestimme lim r J(r. lim J(r = lim ( r r a r = a ; ] r = a r + a = a ( r ; 6 4 f_ g_ h_a für < y 4 4 4