Kapitel VII Untersuchung von Funktionen mittels Ableitungen (Lösungen)

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Claus Weiner
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1 Kapitel VII Untersuchung von Funktionen mittels Ableitungen (Lösungen) 7 cos sin 7 a) b a b b a a b a ln ln ln b) 8 sin cos sin ) ( lnsin π π π π π c) ln 7 a) + e e e e

2 b) ) + + ( a) also a ln a ln + a, b) a ( + ) + e a also sin + ( ln ) ln + sin + (Hinweis: sin ln ) ln sin cos, ( ) + sin e 7 5 ( ) + ( + ), ( ) > ( > + > ) ( < + < ) ( > + > ) > ( < + < ) > < <

3 () ist streng monoton wachsend in ], [ und ], + [ und streng monoton allend in ], [ 7 6 n ( + ) n ( ), [ ] ( + ) n n ( + ) n n ( ) n, n ( ) >, wenn ( + ) > ( + ) ( n ) ln > ür >, ( + ) ( n ) ln < ür < <, Damit ist au ], [ streng monoton allen und au ], + [ streng monoton wachsend, d h 7 7 a) ( ) > (), >, ( sin + sin ) ( ) sin sin Kritische Stellen: ( sin + sin cos ) ( sin + sin cos ) ( sin ( cos ) ) + ( ) k kπ, ( ) ( ) π k k +, k ganz ( ) cos cos ( ) ( ) 8 <, k dh () hat bei Wegen ( ) relative Maima mit k ( ) ( ) 5 k ( ) ( ) ( ) ( ), k k ( ( ) k ) > hat () bei ( ) relative Minima mit k ( ) ( ) k

4 b) ( ) ( ) : Kritische Stellen: e e e ( ), ( ) 6 e e e + e (), (), dh ( ) ist kein relativer Etremwert () <, dh ( ) 7e ist relatives Maimum 7 8 a) 5 ( ) ( + ) ( ), R ( 5 ( + ) ( + ) ( ) ) 5 ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ) ( + ) (6 9)

5 ( ) :,, ( ) ( ) ( [ ( ) ( ) ( ) ] ( + ) ( ) [ ( + ) ( ) + ( + ) ] 6 ( + ) ( ) ) ( ) () () ( + ), ( ) (5), dh () ist kein (relativer) Etremwert Andererseits ist wegen + > 5 5 ein relatives Minimum 6 b) ( ) ( + ) ür > ( ) ; ür < ür > ( ) + ür < ( ) :, In ist die Funktion nicht dierenzierbar, aber wegen ( + ) < und ( ) > + ist ( ) ein relatives Minimum Ferner ist ( ) < ür < Daher ist ein relatives Maimum 5

6 7 9 ( ) 5 d 5 ( ) 6 a + 6b + c 8 ( ) a + b + c; (), () c, 8a + 8b 6a + b 6a + b 7 Damit erhält man 7 a, b 8 7 ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + + 9) ( + ) ( ) ( + ) 5 Kritische Stellen in ], [ :, ( ) 5 ( ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( ) [ ] 6

7 ( ) > () nimmt in ein relatives Minimum an mit ( ) 8 () Wegen () > und () > + nimmt () in kein relatives Etremum an ( ) 6; ( ) 6 Damit nimmt () in das absolute Maimum und in das absolute Minimum an: 7 ( ), R + + ( ) + + ( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( < > ür ür, R ( ) ( + ) ], [ ], [ ], [ ], + [ ist au ], [ ], [ streng konkav und au ], [ ], + [, R streng konve 7 ( ) ln + ln+ ( ) ln + + ln + ln +, ln, e 7

8 () hat in e, ( e ) e, e einen Wendepunkt 7 a) Deinitionsbereich ist deiniert au R Stetigkeit Symmetrie ist stetig au R ( ) ( ) ( ) e e e ( ) keine gerade Funktion ( ) e e ( ) keine ungerade Funktion Schnittpunkte mit den Achsen y 5 Monotonie Wegen ( ) ( ) e > < ür ür < < < und ür > ist au ], [ streng monoton wachsend und au ], [ ], + [ streng monoton allend 6 Etremwerte Nach den Ergebnissen der Monotonieuntersuchung hat das relative Minimum ( ) und das relative Maimum () e 5 7 Krümmungsverhalten und Wendepunkte Es gilt ( + ) e ( ) Das Polynom ( + ) Daher ist hat die Nullstellen: 59, + 8

9 ( ) ( ) ( ) e > < ür ür < und ür > < < Somit ist au ], [ ], + [ streng konve und au ], [ streng konkav hat die Wendepunkte P, ( )) und P, ( )) Dabei ist ( ) 9 und ( ) 8 ( ( 8 Das Verhalten im Unendlichen und Asymptoten + ( ) + ( ) ( e ) ( ) ( ) e ( e ) Für + hat also die Asymptote y Dagegen hat wegen ( ) e ür keine Asymptote b) Deinitionsbereich ist deiniert au[, + [ Stetigkeit Symmetrie ist stetig au[, + [ ( ) + ( ) + + ( ) ( ) 9

10 keine gerade Funktion ( ) + + ( ) keine ungerade Funktion Schnittpunkte mit den Achsen i) mit der y Achse : ii) y Achse : y +,, 5 Monotonie Wegen ) ( + ) ( ) + ( < > ür ür < < < < und ür > ist au ], - [ streng monoton wachsend und au ], [ streng monoton allend (Die Funktion ist in nicht dierenzierbar!) 6 Etremwerte Nach den Ergebnissen der Monotonieuntersuchung hat das relative Minimum ( ) und das relative Maimum 6 Eine weitere kritische Stelle der Funktion ist die Stelle Wegen ( ) nimmt die Funktion auch hier ein relatives Minimum an, obwohl in lediglich linksseitig dierenzierbar ist 7 Krümmungsverhalten und Wendepunkte Es gilt 8 ) >,, 9 ( ( ) ( ), + + also ( ) < ür < < und ür > Somit ist au ], [ ], + [ streng konkav hat keine Wendepunkte

11 8 Das Verhalten im Unendlichen und Asymptoten Es gilt + ( ) [ ( ) ] + (Siehe 7 b)) Daher ist die Gerade y + Asymptote von ür + c) + ( ), Deinitionsbereich D( ) R \{} Es gilt ( ) + + ( ) Damit ist die Gerade eine vertikale Asymptote der Funktion

12 Stetigkeit ( ) ist stetig in D( ) Symmetrie? ( ) ( ), D( ) Nein, denn ( ) ( ) ( ) Damit ist die Funktion keine gerade Funktion? ( ) ( ), D( ) Nein, denn + + ( ) ( ) Damit ist die Funktion auch keine ungerade Funktion Schnittpunkte mit den Achsen Wegen gibt es keine Schnittpunkte mit der y Achse Andererseits gilt: 5 Monotonie ( + ) ( + ) + ( ) Wegen ( ) >, D( ), ist ( ) im gesamten Deinitionsbereich streng monoton wachsend 6 Etrema Wegen ( ) hat die Funktion keine Etremwerte 7 Krümmungsverhalten ( ) + ( )

13 < ür ( ) > > ür < Damit ist ( ) konve in ], [ und konkav in ], + [ Es gibt aber wegen keine Wendepunkte 8 Das Verhalten im Unendlichen und Asymptoten Die Funktion hat eine schiee Asymptote y a + b a ( ) + a + b ( ( ) a )) + + b ( ( ) a )) Die Gleichung der schieen Asymptote lautet: y + Wegen + ( ) + gilt: ( ) + ( ) + y

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