8. Cvi ení. 0 für x = 0

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1 Matematická analýza pro fyziky I ZS 016/17, MFF UK 8. Cvi ení { 1. Nech f( + sin 1 pro 0, 0 pro 0 Ukaºte, ºe f je v 0 diferencovatelná a má tam lokální minimum. Dále ukaºte, ºe neeistuje okolí 0, na kterém je f ( < 0 pro < 0 a f ( > 0 pro > 0. { Die Funktion f( + sin 1 für 0 besitzt im Punkt 0 0 ein lokales Minimum, 0 für 0 denn aus der Denition der Funktion kann man ablesen, dass f( f( 0 0, R gilt. Aus Aufgabe 4b der 11. Serie ergibt sich, dass f auch dierenzierbar ist: ( f + sin 1 cos 1 für 0 ( 0 für 0 f ( < 0 für < 0 und f ( > 0 für > 0, gilt jedoch nicht, da f in jeder Umgebung von 0 positive und negative Werte hat.. Vypo t te co moºná nejefektivn ji Taylorovy polynomy n-tého ádu následujících funkcí se st edem v 0 0 : a f( e, n 5 b f( sin e, n 4 c f( ln(1 + sin, n 5 Wir bezeichnen im Folgenden eine Funktion g( als O(h(, falls eine Konstante C > 0 eistiert mit a Wir haben die Darstellung g( C h( für 0 e y 1 + y + y + y3 3! + y4 4! + y5 5! + O(y6

2 zur Verfügung. Damit e e e ( O(6 Ausmultiplizieren bringt dann b Wir nutzen das Additionstheorem und die Entwicklung Also gilt: sin e c Wir nutzen die Darstellung Mit e O( 6 ( O(6 cos( cos sin 1 sin sin 1 1 cos( cos y 1 y + y4 4! + O(y6 ( ! + O(6 + ( O( O(6 ln(1 + y y y + y3 3 y4 4 + y5 5 + O(y6 sin O(6 erhalten wir durch ausmultiplizieren sin O( O(6, Somit gilt: sin O( O(6, sin O( 6, sin O( 6 und sin 6 O( 6 ln(1 + sin sin sin + sin3 sin4 + sin5 + O(sin 6 ( ( ( ( O(6 + O(sin O(6 3. a Pro která platí p ibliºná formule cos 1! + 4 s chybou nejvý²e 0, 00005? 4! b Vypo t te cos 5 s chybou men²í neº c Ukaºte, ºe se hodnoty sin (α + h a sin α + h cos α pro v²echna α li²í nejvý²e o h.

3 a cos( und sin( sind auf ganz R beliebig oft dierenzierbar und es gilt: sin cos( und cos ( sin(. Für n N gilt also cos (n ( 1 n cos und cos (n 1 ( 1 n sin. (1 und insbesondere cos (n 0 ( 1 n bzw sin (n ( Sei N N 0. Dann eistiert nach dem Satz von Taylor ein ϑ(n, (0, 1 mit cos (1,( N+1 N N+ cos (k (0 k k! + cos(n+ (ϑ (N +! ( 1 k k (k! + ( 1N+1 cos(ϑ (N+ (N +!. Für N erhalten wir also und folglich cos ! cos(ϑ6 6! ( cos ! cos( 1 cos(ϑ6 6! 6 6!. Somit erreichen wir für die mit 6 /6! < 10 5 die geforderte Genauigkeit: 6 6! < < < ( b Mit Aufgabe a folgt 5 π 180 π 36 cos 1 (π/36 ( π ( < < (π/364 4! bis auf einen Fehler von c Aufgrund des Taylorschen Satzes eistiert ein ϑ(α, h (0, Und damit sin(α + h sin(α + cos(α h sin(α + ϑh h. sin(α + h (sin(α + cos(α h sin( 1 h sin(α + ϑh h.

4 4. Diskutujte pr b h funkce (deni ni obor, spojitost, diferencovatelnost, pr se íky se sou adnými osami, chování v nekone nu a na krajích deni ního oboru, monotonie, etrémy, konveita, obor hodnot, obrázek a a f( 3 4 b f( e Funktion. Denitionsbereich f( 3 4 D f R \ {, } 3. Stetigkeit stetig auf D f, da Komposition elementarer stetiger Funktionen 4. Dierenzierbarkeit beliebig oft dibar auf D f, da Komposition elementarer dibarer Funktionen 5. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f ( 3 (4 + 4 (4 1 4 (4 f ( 8(1 + (4 3 f ( (4 4 f( einzige Nullstelle 0 einziger Schnittpunkt mit den Achsen (0, Verhalten im unendlichen und an den Rändern ausserdem ist oensichtlich f( ± ± 4 1 ± f( + f( + f( f( 7. Symmetrie Es liegt Punktsymmetrie im Nullpunkt vor, d.h. 8. Etremwerte f( f( f ( 0 (1 0 0 oder 1 oder 1 Wir haben f (0 0 aber f (0 > 0. Somit liegt in 0 ein Wendepunkt und kein lokales Etremum vor. Ausserdem haben wir f ( 1 < 0 und f ( 1 > 0.

5 Somit ist ( 1 1 3/ ; 8 ein lok. Maimum und ( 1 ; 13/ 8 ein lok. Minimum Dies sind keine globalen Etrema (siehe Monotonie f ( 0 ( Also ist die Funktion im Bereich [ 1, 1] D f monoton steigend und sonst monoton fallend 10. Wendepunkte (0, 0 ist damit der einzige Wendepunkt 11. Krümmungsverhalten f ( 0 f ( 0 0 (4 0 0 < oder < 3 Also ist f auf (, [0, konve und ansonsten konkav. 1. Wertevorrat f bildet auf die ganze reelle Achse ab. b 1. Funktion. Denitionsbereich f( e 1 D f R \ {0} 3. Stetigkeit stetig auf D f, da Komposition elementarer stetiger Funktionen 4. Dierenzierbarkeit beliebig oft dibar auf D f, da Komposition elementarer dibarer Funktionen f ( e 1 ( 1 e 1 ( 1 ( f ( e 1 1 e 1 ( + 1 f ( e Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen keine 6. Verhalten im Unendlichen und an den Rändern ± e 1 wegen e 1 1 ± e Symmetrie Es liegt keinerlei Symmetrie vor 1 1 e e e 1 0 und f ( e e 1

6 8. Etremwerte f ( ( Wir haben f (1/ e > 0. Also ist 1 ; e 4 ein lokales Minimum. Es gibt keine weiteren. 9. Monotonie f ( Also f monoton wachsend auf [1/, und monoton fallend auf (, 1/ D f. 10. Wendepunkte und Krümmungsverhalten f ( e 1 ( + 1 e 1 Es gibt also keine Wendepunkte und f ist auf ganz D f konve. [ ( 1 ] + 1 > Wertevorrat Der Wertebereich von f ist das oene Intervall (0,. { 5. Ukaºte, ºe funkce f( e 1, 0 je na R nekone n krát diferencovatelná. Rozvi te tuto 0, 0 funkci v Taylorovu adu u 0 a vy²et ete její konvergenci. Zu zeigen ist, daÿ alle Ableitungen von g( : e 1 für R\{0} gegen 0 konvergieren für 0. Man sieht leicht, daÿ g (n ( e 1 P n ( 1, wobei P n ein Polynom ist. Nun erhält man mit der Substitution y 1 : 0 g(n ( e 1 0 P n ( 1 y ± e y P n (y 0, da die Eponentialfunktion schneller gegen Null geht als jedes Polynom (l'hospital. Also ist f( beliebig oft dierenzierbar. Taylorpolynom in 0 : f( n f (k ( 0 ( 0 k + R n ( k! In 0 0 gilt f (k ( 0 0, also ist das n-te Taylorpolynom gegeben durch f( n 0 k! k + R n ( R n ( und somit gilt n R n( f( 0 0 Also ist f( nicht in eine Taylorreihe um 0 0 entwickelbar da das Restglied auÿer in Null nicht gegen Null strebt. 6. Vypo t te koecient u 7 v Taylorov rozvoji funkce f( tan u 0. Es gilt tan sin und somit cos tan sin. cos Wir kennen schon die Taylorreihen von Sinus und Kosinus im Punkt 0 0: sin ( 1 k+1 k 1 (k 1! k1 cos ( 1 k k (k!

7 und mit dem Ansatz tan a k k erhalten wir: ( (a 0 + a 1 + a + a a a a a ( Nun Multiplizieren wir aus und ein Koezientenvergleich bei 0 1 bis 7 gibt uns: also ergibt sich a 0 0 a 1 1 a 0 a a 4 0 a 5 15 T 7 ( a 6 0 a