8. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 8. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/ /02. Dezember 2009 Gruppenübung Aufgabe G1 (Wiederholung zur Stetigkeit (a Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Jede stetig dierenzierbare Funktion ist dierenzierbar. Jede stetige Funktion ist gleichmäÿig stetig. Jede gleichmäÿig stetige Funktion ist stetig. Jede stetige Funktion ist dierenzierbar. Ist eine Funktion nicht stetig, so ist sie auch nicht dierenzierbar. (b Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen stetig sind. Begründen Sie Ihre Antworten. (i f : (0, R, f( = < 1 (ii h : ( 1, 11 R, h( = 2 ( ( 1 1 (tan π 2 >. (a Die erste Aussage ist wahr. Die zweite Aussage ist falsch. Die dritte Aussage ist richtig. Die vierte Aussage ist falsch. Die letzte Aussage ist wahr (Jede dierenzierbare Funktion ist stetig. (b (i Die Funktion f ist stetig, da, Polynome, rationale Funktionen und konstante Funktionen stetig sind, und die Verknüpfung stetiger Funktionen wiederum stetig ist. (ii Für < 1, (1,, > ist die Funktion h stetig, da sie entweder konstant oder ein Polynom ersten Grades ist. Für = 1 betrachten wir zwei Folgen ( n n N und (y n n N mit n n = 1, n < 1, n bzw. n y n = 1, y n > 1, n. Es gilt h( n = 1 1 = 0 und h(y n = (1 1 = 0. n n 2 Die Funktion h ist also auch im Punkt 1 stetig. Für = betrachten wir zwei Folgen ( n n N und (y n n N mit n n =, n <, n bzw. n y n =, y n >, n. Somit h( n = ( π ( 1 = und n 2 h(y n = (tan n Die Funktion h ist also auch stetig. 2 =.

2 Aufgabe G2 (Dierenzieren üben Geben Sie für die folgenden Funktionen den maimalen Denitionsbereich D(f i R, auf dem sie deniert werden können, sowie die erste Ableitung an. (a f 1 ( = ( , (b f 2 ( = cos(, (c f ( = 2 cos, (d f 4 ( = n k=0 a k(b k c k k für n N und a k, c k R, b k R\{0}, (e f 5 ( = ( 6, (f f 6 ( = tan (5, (g f 7 ( = cos(sin( sin(sin(, (a D(f 1 = R, f 1 ( = ( ( (b D(f 2 = R, f 2 ( = 2 sin( (c D(f = R \ {(k π : k Z}, f ( = 2 cos(+2 sin( cos 2 ( (d D(f 4 = R, f 4 ( = n k=1 k b k a k (b k c k k 1 (e D(f 5 = R, f 5 ( = 1 2 ( (f D(f 6 = R \ {(k π : k Z}, f 6 ( = 15 tan2 (5/ cos 2 (5 (g D(f 7 = R \ {kπ : k Z}, f 7( = sin(sin ( sin(sin cos cos(sin cos(sin cos sin 2 (sin = cos(/(sin 2 (sin( (Da sin 2 (sin + cos 2 (sin = 1. Aufgabe G (Dierenzierbarkeit Wie oft ist die Funktion f( = { 2 sin R \ {0} 0 = 0 auf R dierenzierbar? Geben Sie gegebenenfalls die Ableitung an. Tipp: Berechnen Sie die erste Ableitung und überprüfen Sie diese auf Stetigkeit. Auf R \ {0} berechnet man die Ableitung mit Ketten - und Produktregel: f ( = 2 sin cos. Für die Ableitung im Punkt = 0 schaut man sich den Dierentialquotienten an: ( f( f(0 2 sin 1 sin Da gilt sin 2

3 für > 0 und sin für < 0, folgt mit Satz II..6 f (0 0 sin = 0. Also ist f einmal dierenzierbar und die erste Ableitung lautet { ( ( 2 sin 1 f ( = cos = 0. ( Die erste Ableitung ist jedoch unstetig im Punkt = 0, denn 2 sin 1 geht für 0 gegen 0, ( aber cos 1 besitzt für 0 keinen Grenzwert (oszilliert zwischen -1 und 1. Etwas genauer: Wir betrachten die Folge ( k k N mit k = 1 2πk. Dann gilt k k = 0 und f 1 ( k sin(2πk cos(2πk k k πk ( 1 = 1 f (0. k Also ist f nicht stetig in 0 und daher auch nicht dierenzierbar (vgl. Satz III.1.5. Die Funktion f ist also genau einmal dierenzierbar. Aufgabe G4 (Additionstheoreme Zeigen Sie durch Dierentiation nach, dass aus dem Additionstheorem das Additionstheorem für sin( + y folgt. cos( + y = cos( cos(y sin( sin(y Indem wir beide Seiten des Additiontheorems nach dierenzieren, erhalten wir sin( + y = sin( cos(y cos( sin(y. Hausübung (In der nächsten Übung abzugeben. Aufgabe H1 (Dierenzierbarkeit Untersuchen Sie die Funktionen (a f : R R, f( = (b f : R R, f( = auf Dierenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Ableitung. ( Punkte (a Für > 0 ist f( = 2, also dierenzierbar, und es gilt f ( = 2. Für < 0 ist f( = 2 also auch dierenzierbar und es gilt f ( = 2. Für = 0 gilt (g bezeichnet den Dierentialquotienten f( f(0 2 g( = 0 0+

4 und f( f(0 g( Also ist f auch in 0 dierenzierbar, und es ist f (0 = 0. = 0. 0 (b Für > 0 ist f( = 0 und damit dierenzierbar mit f ( = 0. Für < 0 ist f( = 2 und damit auch dierenzierbar mit f( = 2. Für = 0 gilt f( f( = 0, f( f(0 + 0 = Demnach ist die Funktion in 0 nicht dierenzierbar. Aufgabe H2 (Noch mehr zur Dierenzierbarkeit Seien a, b R und f : R R, f( = ( a b. Beweisen Sie, dass f genau dann dierenzierbar ist, wenn a = b. (4 Punkte Sei f dierenzierbar, insbesondere auch für = b, d.h. der Dierentialquotient f( f(b ( a b 0 b b b b eistiert. Es gilt f( f(b ( a( b ( a = b a, b+ b b+ b b+ f( f(b b b Daraus folgt, dass b a = a b, also a = b. ( a(b b b (a = a b, b Alternativer Beweis: Wir nehmen an, dass f dierenzierbar ist auf R, aber a b. Sei g : R \ {a} R, g( = f( = b. a Da f sowie die Funktion a dierenzierbar auf R sind, folgt, dass g dierenzierbar auf R \ {a} ist (Quotientenregel, siehe Satz III.1.9. Da a b, ist g dierenzierbar in b, was ein Widerspruch ist, da die Betragsfunktion in Null nicht dierenzierbar ist (siehe Beispiel III.1.2. Wir nehmen an, dass a = b. Dann ist f( = ( a a. Diese Funktion ist oensichtlich dierenzierbar für > a und < a. Für = a betrachten wir den Dierentialquotienten: f( f(a ( a a 0 = a = 0. a a a a a Alternativer Beweis: Wir nehmen an, dass a = b. Dann ist f( = ( a a = (g h( mit g : R R, g( =, h : R R, h( = a. h und g (siehe H1 sind dierenzierbar. Nach der Kettenregel (Satz III.1.7 ist damit auch f dierenzierbar. 4

5 Aufgabe H (Mittelwertsatz der Dierentialgleichung (a Sei a < c und f : [a, c] R : t t 2. Geben Sie ein b (a, c an mit ( Punkte f(c f(a = f (b. (b Machen Sie das gleiche für f : [a, c] R : t 1 t mit 0 < a < c. (a Die linke Seite der Gleichung lautet: f(c f(a = c2 a 2 = ((c + a = c + a. Aus f(t = t 2 folgt f (t = 2t. Das heiÿt die rechte Seite der Gleichung wird einfach zu 2b. Wir müssen also die Gleichung c + a = 2b nach b auösen. Das Ergebnis ist dann c+a 2, das arithmetische Mittel der beiden Endpunkte des Denitionsintervalls. (b Die linke Seite der Gleichung lautet: f(c f(a = 1 c 1 a = a c ac = 1 ac. Aus f(t = 1 t folgt f (t = 1 t 2. Das heiÿt die rechte Seite der Gleichung wird somit zu 1 b 2. Wir müssen also die Gleichung 1 ac = 1 b 2 nach b auösen, das heiÿt, wir müssen b 2 = ac nach b auösen. Da a und c echt gröÿer 0 sind und b zwischen a und c liegen soll, heiÿt das für b, dass b auch positiv ist. Somit gilt b = ac. (Dies nennt man auch das geometrische Mittel von a und c. 5