Mathematik n 1

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1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag, Die restlichen Aufgaben 5) - 8) werden am jeweils zweiten Übungstermin der Woche besprochen. Die Studenten der EIT-Übungsgruppe, die wegen der Klausur am Freitag,..0 ausfällt, können den Ersatztermin oder einen zweiten Termin der anderen Übungsgruppen besuchen (diese sind auf der Webseite der Vorlesung aufgelistet). ) (Konvergenz / Divergenz) Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz. Dabei ist n N. Geben Sie ggf. alle Häufungspunkte an. a) a n = sinh(n) Wiederholung: Sinus Hyperbolicus ist als sinh(x) := (ex e x ), x R definiert. b) b n = n! n n c) c n = n3 (n )n n d) d n = sin( π + n π ) + ( ) n a) Folge ist divergent gegen (man sagt auch bestimmt divergent gegen ), denn der sinh ist streng monoton wachsend und geht gegen + wenn das Argument gegen + strebt. Nach Def...5 (c) existiert also für jedes M ein N > 0, so dass a n > M n > N. Keine Häufungspunkte. b) Konvergenz gegen 0. Dies folgt nach dem Einschließungssatz (Satz..9): 0 n! n n = n n n n n n... n n... n = n und /n 0 für n +. Ein Grenzwert ist immer der einzigste Häufungspunkt. c) Folge weder konvergent noch divergent gegen ± (auch als bestimmt divergent bezeichnet). Die Folge ist divergent: c n = n3 (n )n + ( ) n = n n + ( )n. Der erste Term konvergiert gegen Null, der zweite alterniert zwischen ±, vgl. Bsp...6 (c). Häufungspunkte:,.

2 d) Folge weder konvergent noch divergent gegen ± (bestimmt divergent). Wegen der π-periodizität des Sinus gibt es 5 verschiedene Werte (wie man z.b. durch eine Skizze leicht einsieht): sin(π/) =, sin(3π/) = / = sin(9π/), sin(π) = 0 = sin(π), sin(5π/) = / = sin(7π/), sin(3π/) =. Diese sind die 5 Häufungspunkte. ) (Grenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) b) c) n n 0 n + n + 7n + n 3 + n + 3 n + n + 7n + n 3 + n + 3 k a k mit a k := k + k + Wir benutzen im folgenden mehrfach Satz..7 über Rechenregeln für konvergente Folgen. a) b) n = n + n + 7n + n 3 + n + 3 = n + /n + /n 7 + 7/n + /n + 3/n + n n + n n n n + n n + 3 n n = 7 c) Aus a k = folgt n 0 n + n + 7n + n 3 + n + 3 = n 0 n + n 0 n + 7 n 0 n + n 0 n 3 + n 0 n + 3 = 3 ( k + ) k + + k k + + k + + k + = k + k + (k + ) k + + = k + ( k + ) k + = k 3) (Approximation) + k k + k + k = k ) k ( + k + + k =. Zeigen Sie, dass die Folge a n = n den Grenzwert a = n + a n = hat. n Sei nun ɛ eine beliebig vorgegebene positive Zahl. Bestimmen Sie einen Index n 0, so dass a n a < ɛ für alle n n 0 gilt. Welchen Wert hat n 0 speziell für ɛ = 3, ɛ = 0, ɛ = 0 6?

3 3 a n = für n, also a =. + n a n = n (n +) n + = n +, somit a n < ε ε < n + n > ε, also ist n 0 die kleinste natürliche Zahl größer als ε, falls ε 0, bzw. gleich sonst. ε = 3 : ε = 0 : ε = 0 6 : 3 < 0 = n 0 =. ε = 38 = n 0 = 7. ε = = n 0 = 000. ) (Besprechung der Klausur) Besprechen Sie Aufgaben der Mathematik I - Klausur nach Wahl. Die Angabe befindet sich auf der Webseite. 5) (Bestimmung von Grenzwerten) Es sei eine Folge induktiv definiert über b k+ = f(b k, b k ) mit einem Index k. f ist eine gegebene Funktion und Startwerte b 0, b sind gegeben. Eine Möglichkeit, den Grenzwert b = k b k zu bestimmen, wäre, ihn in die Vorschrift gemäß b = f(b, b) einzusetzen und die Gleichung nach b aufzulösen. Bestimmen Sie b und entscheiden Sie, ob die Folge für gegebene Anfangswerte tatsächlich gegen b konvergiert. a) f(b k, b k ) = b k +3+ b k, b =. (Da b k nicht auftaucht, muss b 0 nicht vorgegeben werden.) b) Wie in a), allerdings mit b = 3. c) f(b k, b k ) = b k + b k, b = b 0 =. a) Sei b 0, dann 0 = b + 3b +. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen und. (Fallunterscheidung b = 0: ist keine Lösung.) Man sieht b =, b =, b 3 =,... also Konvergenz.

4 b) b = 3, b = 3,... insbesondere b > b 3 > b usw. Da b k+ b k = 3 + b k + b k < 0 für b k 3 ist die Folge dann streng monoton fallend. Keine Konvergenz gegen einen der Grenzwerte. c) Einsetzen liefert b = b. Man findet zwar b = 0. Die Folge ist allerdings nur eine Umformulierung der Fibonacci-Folge aus der Vorlesung, s. Bsp... (b) (der Index wurde um verschoben). Zu den gegebenen Anfangswerten konvergiert die Folge nicht gegen Null, sondern divergiert gegen +. Die beiden letzten Beispiele zeigen, dass diese Methode Grenzwerte zu bestimmen, zwar einen Kandidaten für den Grenzwert liefert, aber nicht die Konvergenz gegen diesen garantiert. 6) (Stetigkeit und Differenzierbarkeit) a) Wir betrachten die Funktion g(x) = { x 3 falls x 3, 6 x falls x < 3. Entscheiden Sie, ob g in x = 3 stetig ist, indem Sie links- und rechtsseitige Grenzwerte betrachten. Wo ist g differenzierbar? b) Berechnen Sie den Grenzwert h 0 (3+h) 9 h. a) Wir haben und g(x) = x 3 = 0 x 3+ x 3+ g(x) = 6 x = 0, x 3 x 3 also ist g in x = 3 stetig mit g(3) = 0 (und damit in ganz R stetig). Wir untersuchen die Ableitungen stückweise. Es gilt wegen g (x) = { x 3 wenn x > 3, wenn x < 3, dass x 3+ g (x) = + ( x 3 g (x) = ). Also ist g nicht differenzierbar in x = 3 (Skizze!). b) Wir vereinfachen den Quotienten und können nun den Grenzwert ausrechnen: 6h + h h 0 h = 6 + h 0 h = 6. Dies ist die Ableitung von x an der Stelle x = 3. b k

5 5 7) (Ableitungen). Leiten Sie nach den bekannten Regeln die folgenden Funktionen nach x ab: f(x) = x x 3 + x tan(x) (0 < x < π ( ) ); g(x) = 7 x + 3y ( x + ) (x 0); h(x) = ln x 7 (x, y > 0).. Sei f:d R, x f(x). Berechnen Sie f (x) für alle x D sowie speziell f (x 0 ). a) x + x, D = R +, x 0 = b) x +cos x sin x, D = R, x 0 = π c) x x x, D = R +, x 0 = d) x ln(x + x + ), D = R, x 0 =. f(x) = x( + x) tan(x) (0 < x < π ) Für tan (x) verweist man auf die Tabelle der Vorlesung oder man rechnet nach: tan (x) = ( ) sin(x) = cos(x) + sin(x) cos(x) cos(x) = cos (x) (= + tan (x)) g (x) = wobei man kurz schreiben kann. f (x) = x( + x) tan(x)( + x) cos (x) x ( + x) (0 < x < π ) { 3 (+x) 3 wenn x > 0, 3 ( x) 3 wenn x < 0, wenn x > 0, sign(x) := 0 wenn x = 0, wenn x < 0 3 = sign(x) ( + x ) 3 (x 0), Zusätzliche Anmerkung: Für x = 0 kann man die Ableitung g nicht stetig fortsetzen. h (x) = x7 x 7 7x 6 (x + 3y) x + 3y x 3 = 3(x + 7y) = (x + 3y)x x 7 x 3 7y x + 3y x (x, y > 0) Anmerkung: Alternativer Lösungsweg (ohne die Quotientenregel): h (x) = (ln(x + 3y) 7 ln(x))) = x + 3y 7 x 7(x + 3y) 3(x + 7y) = = x (x + 3y)x (x + 3y)x (x, y > 0)

6 6. a) Für alle x > 0: f (x) = ( + x) = + x ; f () = x(+ x) b) Für alle x R: f (x) = sin(x)( sin(x))+cos(x)(+cos(x)) ( sin(x)) 0. = = 8. sin(x)+cos(x) ( sin(x)) ; f (π) = c) Für alle x > 0: x x = exp(ln(x x )) = exp(x ln(x)) nach der Def. der Exponentialfunktion und den Logarithmusgesetzen. f (x) (Kettenregel) = exp(x ln(x))(x ln(x)) = x x (ln(x) + ); f () = (0 + ) =. d) Für alle x > 0: f (x) = x+ x + ( + x + x) = x + ; f (/) = 5. Zusätzliche Anmerkung: f = Arsinh. 8) (De l Hospital) Berechnen Sie mit der Regel von de l Hospital (Satz.3.9 im Skript): a) x ln(x) x, b) x 0 tan(x) x x 3, c) x x e x, d) x 0+ x ln(x). a) Fall 0/0, also x ln(x) x = x /x = b) Mehrmalige Anwendung von de l Hospital: 0/0, also x 0 tan(x) x x 3 0/0, also x 0 tan (x) 3x 0/0, also x 0 tan(x)(+tan (x)) 3x = x 0 +(tan(x)) 3x = x 0 tan(x)(+tan (x)) 6x c) Mehrmalige Anwendung von de l Hospital: /, also x x e x = x x e x /, also x x e x = x e x = 0. = x 0 tan (x) 3x = x 0 (+tan (x)) + tan (x)(+tan (x)) 3 = 3 d) Geschicktes Umschreiben auf einen Grenzwert vom Typ / (Unformen auf einen Grenzwert vom Typ 0/0 liefert nach Anwendung von de l Hospital einen komplizierteren Grenzwert.): ln(x) x ln(x) = x 0+ x 0+ /x = /x x 0+ /x = x = 0. x 0+