Mathematik IT 3 (Analysis)

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1 Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Mathematik IT (Analysis) für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Wintersemester 0/04 Geben Sie Ihren Namen, Matr.-Nr., Übungsgruppe auf Ihrer Lösung an und heften Sie alle Blätter zusammen! Übungsblatt 5 - Abgabe bis Freitag, , :00 Uhr im Postfach im HG Die Korrektur Ihrer Lösungen erfolgt nur, wenn Sie noch nicht 50 % der Übungspunkte erreicht haben, die sich aus den Ergebnissen der Übungsblätter bis 4 ergeben. Aufgabe 5. (9 Punkte) Berechnen Sie (a) + d (e) (f) d ( + )( ) d ln () d mit partieller Integration (Hinweis: Es gilt sin() cos() d sin () cos() d mit partieller Integration durch geeignete Substitution ln() d = ( ln() ) + c, c R.) (g) (h) (i) 0 ( + ) d durch geeignete Substitution d durch Wahl einer geeigneten Substitution und anschließender Partialbruchzerlegung + e d durch Partialbruchzerlegung Aufgabe 5. (9 Punkte) (a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die durch die Funktion f() = ( )( 9) und die -Achse vollständig begrenzt wird. Bestimmen Sie eine zur -Achse parallele Gerade g(), die mit der Funktion f() = eine Fläche mit dem Flächeninhalt 4 einschließt. (Aufgaben siehe Seite ff.)

2 Aufgabe 5. (7 Punkte) (a) Lösen Sie die Differentialgleichung y = y 4y mit y > 0 und dem Anfangswert y() =. Lösen Sie die Differentialgleichung y = y 4y mit y > 0 und dem Anfangswert y() =. Lösen Sie die Differentialgleichung y + y = ( + )5 y, y > 0, mit dem Anfangswert y(0) =. Lösen Sie die Differentialgleichung ( + +7)y = (8 +5+4)y, > 0, mit dem Anfangswert y() =. (e) In tropischen Wäldern verfault die abgestorbene Vegetation mit einer Rate von 80 % pro Jahr. Gleichzeitig sammelt sich aber etwa 7 Gramm neuer Abfall pro Quadratzentimeter und Jahr an. Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Menge u(t) des Abfalls auf einem Quadratzentimeter auf und weisen Sie nach, dass sich diese Menge im Laufe der Zeit stabilisiert. (Hinweis zu : Nach Trennung der Variablen auf einer Seite bei der Integration die Substitutionsregel verwenden.; Hinweis zu : Nach Trennung der Variablen auf einer Seite bei der Integration Partialbruchzerlegung durchführen.) Aufgabe 5.4 (0 Punkte) Berechnen Sie die erste Ableitung von f : D R, D R: (a) f : R R mit f : (0, ) R mit f() :=. f : (0, ) R mit f() := sin() cos() + f() = ( 4 6) f : (, ) R mit f() = cos ( π ep() ) ln() Aufgabe 5.5 (7 Punkte) Die Funktion f : R R sei durch f() := (a) Zeigen Sie, dass f für alle R stetig ist ( + ) für < 0 ( ) 5 ( ) für für > definiert. Ist die Funktion an den Stellen = 0 und = differenzierbar? Geben Sie die Ableitung für alle R an, in denen f differenzierbar ist. Aufgabe 5.6 (6 Punkte) Bestimmen Sie die Konstante a R so, dass f an der Stelle 0 stetig ist: + für < (a) f() = a + für, 0 = f() = a + sin ( ) für (, 0] für (0, 4], 0 = 0

3 Aufgabe 5.7 (7 Punkte) Die Funktion f : R R sei durch f() := e + definiert. (a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f. Bestimmen Sie die lokalen Etrema der Funktion f. Entscheiden Sie, ob es sich dabei um lokale Minima oder Maima handelt und berechnen Sie die Funktionswerte in den Etremstellen. Untersuchen Sie das Verhalten von f für ±. Aufgabe 5.8 (0 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R mit f() = + a, a R. (a) Bestimmen Sie die Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Etremwerte von f in Abhängigkeit vom Parameter a R. Bestimmen Sie für a = die Gleichungen der Tangenten an den Nullstellen. Aufgabe 5.9 (8 Punkte) (Prüfungsaufgabe Mathematik IT-, BTU Cottbus, WS 0/) Gegeben sei die Funktion f : D R mit f() := ln ( h() ), wobei die Funktion h : D R definiert ist durch h() := Bestimmen Sie den Definitionsbereich D R sowie die Nullstellen von f. Ist die Funktion f in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar? Geben Sie die erste Ableitung von f in allen Punkten aus D an, in denen f differenzierbar ist. Bestimmen Sie außerdem durch Diskussion des Monotonieverhaltens von f die Koordinaten und die Art aller lokalen Etremstellen von f. Aufgabe 5.0 ( Punkte) (a) Beweisen oder widerlegen Sie: Es seien a b und c d reelle Zahlen. Dann gilt stets a + c b + d. Beweisen Sie, dass a b a b für alle a, b R gilt. Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle a, b R gilt a b = min(a, b) ma(a, b) Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle, y R gilt ma(, y) = ( + y + y ). (e) Zeigen Sie, dass n k= k n für alle n N gilt. (f) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass a n := 5 n n durch 8 teilbar ist. Aufgabe 5. (0 Punkte) Bestimmen Sie Infimum und Supremum der Menge M := R 9 8 } R } 4 < (Aufgaben siehe Seiten 4 und 5)

4 Aufgabe 5. ( Punkte) (a) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ( n n4 + 5 n 4 )) n (n ) + 4 n 4 + 7n + 7n n Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := n + n n n. Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge (a n ) n N mit (Hinweis zu : Es gilt m k = k= m(m + ) für alle m N.) a n := ( )n n + n 4n 8n cos ( π n ). Aufgabe 5. (0 Punkte) Berechnen Sie: n+ 7 n (a) 4 n 0 n. n n k=0 n= ( ) n k+ 8 k Aufgabe 5.4 ( Punkte) Untersuchen Sie die folgenden unendlichen Reihen auf Konvergenz: ( ) + n n (a) 4 n + n n (e) ( + ( ) n ) n n n. ( ) n+ n 5 n n 4 e n (Aufgaben siehe Seite 5) 4

5 Aufgabe 5.5 ( Punkte) (a) Berechnen Sie cos( ) 0 sin() nach der Regel von l Hospital. Gegeben seien die Funktionen sinh() := (Kosinus hyperbolicus). Berechnen Sie den Grenzwert Regel von l Hospital nicht verwendet werden? ( e e ) (Sinus hyperbolicus) und cosh() := ( e + e ) sinh() cosh(). Warum kann zur Berechnung die Aufgabe 5.6 (8 Punkte) (Prüfungsaufgabe Mathematik IT-, BTU Cottbus, WS 00/) Gegeben seien die reellwertigen Funktionen f : R R und g : ( π, ) R mit wobei c R., f() := ep ( ), < (a) Ist die Funktion f in = stetig und stetig differenzierbar? cos() sin(), < 0 cos() und g() :=, > 0 c, = 0 Kann man die Konstante c in der Funktion g so wählen, dass g in = 0 stetig ist?, Aufgabe 5.7 (6 Punkte) (Prüfungsaufgabe Mathematik IT-, BTU Cottbus, WS 0/) Entwickeln Sie die Funktion f : R R mit f() = 5 + um den Entwicklungspunkt 0 = in eine Taylorreihe. Für welche R konvergiert die Taylorreihe von f? (Hinweis: Stellen Sie zunächst eine Vermutung für die n-te Ableitung (n N) von f auf und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion! Beweisen Sie insbesondere auch die erste Ableitung f ().) Aufgabe 5.8 (6 Punkte) (Prüfungsaufgabe Mathematik IT-, BTU Cottbus, WS 00/) Entwickeln Sie die Funktion f() = ln ( ) um den Entwicklungspunkt 0 = 0 in eine Taylorreihe. Für welche R konvergiert die Taylorreihe von f? Aufgabe 5.9 ( Punkte) (Prüfungsaufgabe E-Technik, TU Dresden 0) Leiten Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion g() := ln( ) sin( ) her, und berechnen Sie die erste Ableitung von g. Berechnen Sie außerdem die Grenzwerte g() und g(). (Hinweis/Zusatz: Für einen der Grenzwerte kann l Hospital verwendet werden, bei dem anderen helfen geeignete Abschätzungen im Intervall (, ). Begründen Sie, warum für einen der beiden Grenzwerte l Hospital nicht angewendet werden kann.) 5