Substitution bei bestimmten Integralen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

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Thomas Koenig
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1 Substitution bei bestimmten Integralen -E Ma Lubov Vassilevskaya

2 -E Ma Lubov Vassilevskaya

3 Substitution bei bestimmten Integralen: Lernziele Was wir wissen: Wann berechnet man Integrale mit Hilfe einer Substitution? Wie berechnet man Integrale durch Substitution? Was werden wir wissen? Wie ändert man die Integrationsgrenzen bei einer Substitution. -E3 Ma Lubov Vassilevskaya

4 Substitution bei bestimmten Integralen Es gibt zwei Methoden bestimmte Integralen mit Hilfe einer Substitution zu berechnen. Die erste Methode besteht darin, eine Stammfunktion mit einer Substitution zu bestimmen und dann ein bestimmtes Integral durch Einsetzen der Integrationsgrenzen zu berechnen: b a f ( g ( x)) g ' ( x) dx f ( g ( x)) g ' ( x) dx = f (u) du = F (u) + C = F (g ( x)) + C u = g ( x), du = g ' ( x) dx b a f (g (x)) g ' (x) dx = [ F (g (x))] a b = F (g (b)) F (g (a)) - Ma Lubov Vassilevskaya

5 Substitution bei bestimmten Integralen Bei der zweiten Methode werden Integrationsgrenzen entsprechend der neuen Variablen geändert und das bestimmte Integral ohne Rücksubstitution berechnet: b a f ( g ( x)) g ' ( x) dx u = g ( x), du = g ' ( x) dx u = g (a), u = g (b), a x b, u u u b a u f ( g (x)) g ' ( x) dx = u u f (u) du = [ F (u)] u = F (u ) F (u ) Diese Formel zeigt, wie sich die Integrationsgrenzen ändern, wenn die Integrationsvariable durch Substitution geändert wird. - Ma Lubov Vassilevskaya

6 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Im Folgenden berechnen wir das bestimmte Integral I mit beiden Integrationsmethoden durch Substitution 3 x dx Erste Methode: Wir berechnen zuerst die Stammfunktion F (x) des Integranden u=3 x 3 x dx = 3 u du = 3 u u = 3 x, = 9 (3 x ) 3 + C = 9 du dx = 3, dx = du 3 = 3 9 u C = (3 x ) 3 x + C = F ( x) + C F (x) = 9 (3 x ) 3 x -3a Ma Lubov Vassilevskaya

7 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Das bestimmte Integral I wird durch Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion F (x) berechnet: 3 x dx = [F ( x)] = 9 [(3 x ) 3 x ] = = 9 [ ] = = 9 [4 4 ] = x dx = 9-3b Ma Lubov Vassilevskaya

8 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Zweite Methode: Wir berechnen das bestimmte Integral mit neuen Variablen und neuen Integrationsgrenzen: 3 x dx = 4 u du = u du = 9 [ u 3 ] 4 = = 9 [u u ] 4 = 9 [4 4 ] = u = 3 x, du dx = 3, dx = du 3 x = : u = 3 =, x = : u = 3 = 4 u u u : u 4-3c Ma Lubov Vassilevskaya

9 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Wir berechnen das bestimmte Integral I mit beiden Integrationsmethoden durch Substitution π/ sin x cos x dx Erste Methode: Wir berechnen zuerst die Stammfunktion F (x) des Integranden u=sin sin x cos x dx = x u du = u3 u = sin x, du dx = cos x, π/ sin [ x cos x dx = sin3 x 3 C = sin3 x 3 du = cos x dx 3 ] π = 3 C, F x = sin3 x 3 Zweite Methode: Wir berechnen das bestimmte Integral mit neuen Variablen und neuen Integrationsgrenzen: u=sin x / sin x cos x dx = u [ du = u3 ] 3 u = sin x, x π : u -4a Ma Lubov Vassilevskaya = 3

10 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel π/ sin x cos x dx = u du = 3 Da die Funktion y = sin² x cos x im Intervall x = [, π/] und die Funktion y = u² im Intervall u = [, ] nur positive Werte besitzen, beschreiben die Integrale π/ sin x cos x dx, u du Flächen unter den Funktionen in den entsprechen Intervallen. Diese Flächen sehen nicht gleich aus, haben aber gleiche Flächeninhalte, was in den beiden folgenden Abbildungen gezeigt wird. -4b Ma Lubov Vassilevskaya

11 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Abb. B-: Die Fläche A unter der Funktion y = f (x) im Intervall x = [, π/] ist gleich /3 f (x) = sin x cos x, x = [, π /] π/ A = sin x cos x dx = 3 FE -4c Ma Lubov Vassilevskaya

12 Substitution bei bestimmten Integralen: Beispiel Abb. B-: Die Fläche A unter der Funktion y = f (u) im Intervall x = [, ] ist gleich /3 f (u) = u, I = u du = 3-4d Ma Lubov Vassilevskaya

13 Substitution bei bestimmten Integralen: Aufgaben Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale: Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: I = e x dx, π 4 I = I = I = π 6 I = I = e x+ dx, π 4 cos( x) d x, I = sin (4 x) d x I 3 = e x dx x (x + ) 3 d x, I = ( x )( x x + ) 4 d x x e x d x, I = cos x + 4 sin x d x x e x d x Aufgabe 6: 8 I = 3 dx x +, 6 I = x dx 3 -A Ma Lubov Vassilevskaya

14 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösungen -3 Lösung : I = e x dx = e, I 3 = Lösung : π 4 I = I = e x d x = [e x ] = (e ) π 4 I = e x + dx = e e x dx = e cos ( x) d x = [sin ( x)] π/4 = sin(4 x) d x = 4 [sin (4 x)] π /4 = Lösung 3: I = x ( x + ) 3 d x = 8 [( x + ) 4 ] = 65 8 I = ( x )(x x + ) 4 d x = 5 [( x x + ) 5 ] = - Ma Lubov Vassilevskaya

15 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösungen 4, 5 Lösung 4: I = I = x e x d x = e x e x d x = [e x ] = ( e ) = e e, I = e I Lösung 5: π 6 I = cos x + 4 sin x d x = 4 [ln ( + 4 sin x)] π/ 6 = 4 ln 3 Lösung 6: 8 I = 3 6 I = x dx = 3 3 dx x + = x = (x ) 3 = Ma Lubov Vassilevskaya

16 Substitution bei bestimmten Integralen: Aufgaben Berechnen Sie die folgenden Integrale mit beiden Integrationsmethoden: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: ( x ) 3 dx x ( x 3 + ) 4 dx e x + e x dx 3-A Ma Lubov Vassilevskaya

17 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung 7 ( x ) 3 dx Methode : ( x ) 3 dx = u 3 du = 8 ( x ) 4 + C = F (x) + C F ( x) = 8 ( x ) 4 u = x, du dx =, dx = du ( x ) 3 dx = [F ( x)] = 8 [( x ) 4 ] = 8 [3 4 ] = Methode : x = : u =, x = : u = = 3 3 ( x ) 3 dx = 3 u 3 [ du = u 4 ] = Ma Lubov Vassilevskaya

18 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung 8 Methode : x ( x 3 + ) 4 dx x ( x 3 + ) 4 dx = 3 u 4 du = 3 = (x3 + ) 5 5 u C = u C + C = F (x) + C, F ( x) = (x3 + ) 5 5 u = x 3 +, du dx = 3 x, x dx = du 3 x ( x 3 + ) 4 dx = [F ( x)] = [ ( x3 + ) 5 ] 5 = 5 [ ] = 5 Methode : x (x 3 + ) 4 dx = 3 u 4 [ du = u5 ] 5 = 5 u = x 3 +, x : u 3- Ma Lubov Vassilevskaya

19 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung 9 e x + e x dx Methode : e x + e x dx = du u = ln u + C = ln + e x + C u = + e x, e x du dx = e x, + e x dx = [ln + e x ] e x dx = du = (ln + e ln ) = ln + e Methode : e x +e + e x dx = du u = [ln u ] + e = ln + e.4 u = + e x, x : u + e 3-3 Ma Lubov Vassilevskaya

20 Substitution bei bestimmten Integralen: Aufgaben Berechnen Sie die Integrale der fogenden Aufgaben mit der zweiten Integrationsmethode entsprechend der Formel: b a u f ( g ( x)) g ' ( x) dx = u u f (u) du = [ F (u)] u = F (u ) F (u ) Zeichnen Sie dabei die Fläche unter der Funktion f (g(x)) g'(x) im Interval x = [a, b] und der Funktion f (u) im Interval. u = [u, u ] Aufgabe : Aufgabe : π π/ x sin ( x ) dx x 3 cos ( x ) dx 4-A Ma Lubov Vassilevskaya

21 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung Abb. L: Die Flächen unter der Funktion y = x sin (x²) im Intervall x = [, π] und der Funktion y = (/) sin x im Intervall x = [, π] π x sin ( x ) dx = π u = x du, dx = x, u = x, x π : u π sin u du = [cos u ] π = du x dx = ( ) = 4- Ma Lubov Vassilevskaya

22 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung π/ π / x 3 cos ( x ) dx = z cos z dz Integration durch Substitution: z = x, dz dx = x, dz x dx = z = x, x π : z π Partielle Integration: u dv = u v v du u = z, du = dz, dv = cos z dz, v = cos z dz=sin z π/ I = π/ z cos z dz = ( [ z sin z] π/ sin z dz) = ( z sin z + cos z ) π / = = ( π sin π + cos π sin cos ) = ( π ) = 4 (π ).9 4-a Ma Lubov Vassilevskaya

23 Substitution bei bestimmten Integralen: Lösung Abb. L: Die Flächen unter der Funktion y = x³ sin (x²) im Intervall x = [, π/] und der Funktion y = (x/) cos x im Intervall x = [, π/] π/ π / x 3 cos ( x ) dx = z cos z dz = (π ) b Ma Lubov Vassilevskaya

24 4-3 Ma Lubov Vassilevskaya

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