Trigonometrische Substitutionen

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Christina Frank
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1 Trigonometrische Substitutionen Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen: x = a sin t : x = a tan t : x = a/ cos t : = a cos t dt = a/ cos 2 t dt = a sin t/ cos 2 t dt a 2 x 2 = a cos t a 2 + x 2 = a/ cos t x 2 a 2 = a tan t Trigonometrische Substitutionen 1-1

2 Trigonometrische Substitutionen Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen: x = a sin t : x = a tan t : x = a/ cos t : = a cos t dt = a/ cos 2 t dt = a sin t/ cos 2 t dt a 2 x 2 = a cos t a 2 + x 2 = a/ cos t x 2 a 2 = a tan t Gegebenenfalls müssen die Argumente der Wurzel zunächst durch quadratische Ergänzung auf Standardform gebracht werden. Trigonometrische Substitutionen 1-2

3 Trigonometrische Substitutionen Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen: x = a sin t : x = a tan t : x = a/ cos t : = a cos t dt = a/ cos 2 t dt = a sin t/ cos 2 t dt a 2 x 2 = a cos t a 2 + x 2 = a/ cos t x 2 a 2 = a tan t Gegebenenfalls müssen die Argumente der Wurzel zunächst durch quadratische Ergänzung auf Standardform gebracht werden. Mit den trigonometrischen Substitutionen werden rationale Funktionen in x und... in rationale Funktionen von cos t und sin t Ã 1 4 berfã 1 4hrt. Diese kã nnen gegebenenfalls durch die weitere Substitution z = tan(t/2) in rationale Integranden r(z) umgewandelt werden. Trigonometrische Substitutionen 1-3

4 Beispiel: 1/2 0 1 x 2 Trigonometrische Substitutionen 2-1

5 Beispiel: 1/2 0 1 x 2 (i) trigonometrische Substitution: x = sin t, = cos t dt, x = 0 t = 0, x = 1/2 t = π/6 π/6 0 cos 2 t dt = [ ] 1 π/6 3 (sin t cos t + t) = π 12 Trigonometrische Substitutionen 2-2

6 Beispiel: 1/2 (i) trigonometrische Substitution: 0 1 x 2 x = sin t, = cos t dt, x = 0 t = 0, x = 1/2 t = π/6 π/6 0 cos 2 t dt = [ ] 1 π/6 3 (sin t cos t + t) = π 12 Rücktransformation von [...] Stammfunktion 1 x 2 = x 1 x arcsin x + c (cos t = 1 sin 2 t = 1 x 2 ) Trigonometrische Substitutionen 2-3

7 (ii) geometrisches Argument: Trigonometrische Substitutionen 2-4

8 (ii) geometrisches Argument: 1 B A 0 x 1 Trigonometrische Substitutionen 2-5

9 (ii) geometrisches Argument: 1 B A 0 x 1 Fläche unter dem Graph von 1 x 2 : Summe von zwei Teilflächen Trigonometrische Substitutionen 2-6

10 (ii) geometrisches Argument: 1 B A 0 x 1 Fläche unter dem Graph von 1 x 2 : Summe von zwei Teilflächen Dreieck: A = x 1 x 2 /2 Trigonometrische Substitutionen 2-7

11 (ii) geometrisches Argument: 1 B A 0 x 1 Fläche unter dem Graph von 1 x 2 : Summe von zwei Teilflächen Dreieck: A = x 1 x 2 /2 Kreissektor mit Öffnungswinkel t: B = t/2 = (1/2) arcsin x Trigonometrische Substitutionen 2-8

12 (ii) geometrisches Argument: 1 B A 0 x 1 Fläche unter dem Graph von 1 x 2 : Summe von zwei Teilflächen Dreieck: A = x 1 x 2 /2 Kreissektor mit Öffnungswinkel t: B = t/2 = (1/2) arcsin x gleiche Stammfunktion A + B Trigonometrische Substitutionen 2-9

13 Beispiel: x 1 + x 2 Trigonometrische Substitutionen 3-1

14 Beispiel: x 1 + x 2 trigonometrische Substitution x = tan t, dt/ cos 2 t tan t/ cos t = = 1/ cos 2 t dt dt sin t = ln tan t 2 + c ( 1 + x 2 = 1/ cos t, Formel für die Stammfunktion von 1/ sin t, die mit Hilfe der Substitution z = tan(t/2) hergeleitet bzw. durch Differenzieren kontrolliert werden kann) Trigonometrische Substitutionen 3-2

15 Beispiel: x 1 + x 2 trigonometrische Substitution x = tan t, dt/ cos 2 t tan t/ cos t = = 1/ cos 2 t dt dt sin t = ln tan t 2 + c ( 1 + x 2 = 1/ cos t, Formel für die Stammfunktion von 1/ sin t, die mit Hilfe der Substitution z = tan(t/2) hergeleitet bzw. durch Differenzieren kontrolliert werden kann) Rücksubstitution = x 1 + x = ln tan(1 arctan x) + c 2 2 Trigonometrische Substitutionen 3-3

16 bestimmtes Integral 1 x 1 + x 2 Trigonometrische Substitutionen 3-4

17 bestimmtes Integral 1 x 1 + x 2 Verwendung der berechneten Stammfunktion ln tan π 4 ln tan π 8 = ln 1 ln( 2 1) = ln(1 + 2) Berechnung von tan(π/8) mit Hilfe der Diagonale einer Raute mit spitzem Winkel π/4 (1/ 2, 1/ 2) (1 + 1/ 2, 1/ 2) (0, 0) (1, 0) = tan(π/8) = (1/ 2)/(1/ 2 + 1) = = 2 1 Trigonometrische Substitutionen 3-5

18 Beispiel: x 2 6x + 5 Trigonometrische Substitutionen 4-1

19 Beispiel: x 2 6x + 5 quadratische Ergänzung Standardform der Wurzel (x 3) 2 4 = 1 2 ((x 3)/2) 2 1 Trigonometrische Substitutionen 4-2

20 Beispiel: x 2 6x + 5 quadratische Ergänzung Standardform der Wurzel (x 3) 2 4 = 1 2 ((x 3)/2) 2 1 vorbereitende Substitution y = (x 3)/2, = 2dy Vereinfachung: x 2 6x + 5 = dy y 2 1 Trigonometrische Substitutionen 4-3

21 trigonometrische Substitution y = 1/ cos t, dy = sin t/ cos 2 t dt, y 2 1 = tan t dy y 2 1 = dt cos t = ln 1 cos t + tan t + c (Formel für cos 1, Überprüfung durch Differenzieren) Trigonometrische Substitutionen 4-4

22 trigonometrische Substitution y = 1/ cos t, dy = sin t/ cos 2 t dt, y 2 1 = tan t dy y 2 1 = dt cos t = ln 1 cos t + tan t + c (Formel für cos 1, Überprüfung durch Differenzieren) Rücksubstitution ln y + y (x ) y c = ln x c Trigonometrische Substitutionen 4-5

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