Bewegungen. Freier Fall eines Massenpunktes. Daniel Wunderlich. Wintersemester 2008/2009,

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1 Bewegungen Freier Fall eines Massenpunktes Daniel Wunderlich Universität Heidelberg Proseminar Analysis Leitung: PD Dr. Grudrun Thäter Wintersemester 2008/2009, Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

2 Gliederung 1 Einführung 2 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit Formel zur Berechnung der Zeit Diskussion der Bewegung 3 Das gewöhnliche Pendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer 4 Das Zykloidenpendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer 5 Zusammenfassung Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

3 Einführung Der freie Fall von Massenpunkten in der Realität Der freie Fall von Massenpunkten in der Realität Frage: Wo kann man in der Realität Bewegungen erkennen, die man als freien Fall eines Massenpunktes entlang einer Kurve auassen kann? Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

4 Einführung Der freie Fall von Massenpunkten in der Realität Beispiele Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

5 Einführung Der freie Fall von Massenpunkten in der Realität Beispiele Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

6 Einführung Der freie Fall von Massenpunkten in der Realität Beispiele Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

7 Allgemeine Herleitungen Einstieg Freier Fall eines Massenpunktes entlang einer Kurve Kurve in Parameterdarstellung mit Parameter ϑ gegeben durch: x = x(ϑ), y = y(ϑ) Abbildung: Beispielkurve Wichtig: Reibung wird nicht berücksichtigt! Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

8 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit Was bekannt ist Die Kraft G, die in Richtung der Kurve auf Massepunkt einwirkt [2]: Weiterhin gilt [3]: wobei G = mg cos α y cos α = x 2 + y 2 x = x (ϑ) = dx dϑ und y = y (ϑ) = dy dϑ y mg cos α = mg x 2 + y 2 Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

9 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit Herleitung Für eine Kurve in Parameterdarstellung mit x = x(s) und y = y(s) (s ist zurückgelegte Bogenlänge) gilt: ( ) 2 ds x 2 + y 2 = = 1 dt Führen wir also nun die Bogenlänge s als neuen Parameter der Kurve ein, gilt: mg cos α = mgy 1 = mgy = mg dy x 2 + y }{{ } 2 ds =1 Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

10 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit Herleitung Unter Verwendung des 2. Newton'schen Gesetzes (m s = F, F ist auf Massenpunkt einwirkende Kraft in Richtung der Kurve) ist nun m s = mg dy ds s = g dy ds. Hierbei ist s als Funktion der Zeit t zu verstehen. Aus Multiplikation mit ṡ folgt: ṡ s = gṡ dy ds d dt (1 2 ) = g ds 2ṡ dt dy ds d dt (1 2ṡ 2 ) = gy d dt y ist eine Funktion von s, s eine Funktion von t. Man kann somit integrieren: Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

11 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit Herleitung 1 2 = gy + c 2ṡ c kann im Zeitpunkt t = 0 bestimmt werden: ϑ = ϑ 0 y 0 = y(ϑ 0 ) ṡ = 0 c = gy 0 Somit gilt: Berechnung der Geschwindkeit ṡ = ± 2g(y 0 y) Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

12 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Zeit Herleitung Ermittlung der Zeit t, die Massepunkt benötigt, um Strecke s zurückzulegen. ṡ = ± 2g(y 0 y) dt = ± 1 ds 2g(y0 y) t = c 1 ± 1 2g(y0 y) ds Die Integrationsgrenzen sind Parameterwerte des Anfangs- und Endpunktes, zwischen denen die Zeit ermittelt werden soll. Integrand als Funktion des Parameters ϑ bekannt ϑ als Integrationsvariable einführen. ϑ ds t = c 1 ± ϑ 0 dϑ 1 2g(y0 y) dϑ = c 1 ± ϑ ϑ 0 x 2 + y 2 2g(y 0 y) dϑ Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

13 Allgemeine Herleitungen Formel zur Berechnung der Zeit Herleitung Bestimmung von c 1 zum Zeitpunkt t = 0 mit ϑ = ϑ 0 : ϑ0 x t = 0 = c 1 ± + y 2 ϑ 0 2g(y 0 y) dϑ }{{} =0 c 1 = 0 Somit ergibt sich die Lösung: Berechnung der Zeit t = ± ϑ ϑ 0 x 2 + y 2 2g(y 0 y) dϑ Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

14 Allgemeine Herleitungen Diskussion der Bewegung Beispielbewegung Gegeben sei eine Kurve von folgendem Typus: Abbildung: Beispielkurve Massenpunkt wird an Stelle A mit x = x 0 = x(ϑ 0 ) und y = y 0 = y(ϑ 0 ) losgelassen. Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

15 Allgemeine Herleitungen Diskussion der Bewegung Hin- und Rückweg Geschwindigkeitsänderung auf dem Hinweg: Zunahme bis zum tiefsten Punkt der Kurve Abnahme ab dem tiefsten Punkt der Kurve Ersichtlich aus Vorzeichenwechsel der Beschleunigungsgleichung: Wendepunkt: Es gilt: s = g dy ds ṡ = ± 2g(y 0 y) = 0 y = y 0 Der Massepunkt steht genau dann still, wenn er die Höhe y 0 (also B) erreicht hat. Rückweg: Analog zum Hinweg, nur Rückwärts. Vorgang wiederholt sich kontinuierlich. Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

16 Allgemeine Herleitungen Diskussion der Bewegung Schwingungsdauer/Fallzeit Sei die Zeit, die für den Hin- und Rückweg von A nach B benötigt wird T (Schwingungsdauer). A und B haben die Parameterwerte ϑ 0 und ϑ 1. Es folgt direkt: Berechnung der (halben) Schwingungsdauer T 2 = 1 ϑ1 x 2 + y 2 2g dϑ ϑ 0 y 0 y Die Fallzeit zum tiefsten Punkt der Kurve mit Parameter ϑ a T 1 = 1 ϑa x 2 + y 2 2g dϑ ϑ 0 y 0 y beträgt somit: Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

17 Das gewöhnliche Pendel Einleitung Einleitung Das sog. mathematische Pendel ist einfache Kurve in der eben behandelten Form. Die Kurve entspricht einem Kreis mit der Parameterdarstellung x = l sin ϑ, y = l cos ϑ. t = 0: Pendel wird mit ṡ = 0 in Winkel α (0 α π), dem sog. Ausschlagwinkel, losgelassen. Abbildung: mathematisches Pendel Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

18 Das gewöhnliche Pendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung Aus dem allgemeinen Ausdruck für die Schwingungsdauer erhält man: T = 2 2g ϑ1 ϑ 0 x 2 + y 2 y 0 y dϑ = 2l g α Nun verwenden wir die folgende Formel über Produkte für Winkelfunktionen [4]: α cos(x + y) = cos(x y) 2 sin x sin y Somit gilt für den Ausdruck im Zähler: ( cos ϑ cos α = 2 sin α 2 2 ϑ ) sin2 2 1 cos ϑ cos α dϑ Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

19 Das gewöhnliche Pendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung Man erhält nun: T = 2l g α α 1 2 (sin 2 α 2 sin2 ϑ ) dϑ = l g 2 α α 1 dϑ sin 2 α 2 sin2 ϑ 2 Durch Substitution mit u = sin ϑ 2 sin α 2 du dϑ = cos ϑ 2 2 sin α 2 sin 2 ϑ 2 = u2 sin 2 α 2 dϑ = 2 sin α 2 cos ϑ 2 du folgt schlieÿlich Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

20 Das gewöhnliche Pendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung l T = 2 g (1 u 2 ) (1 u 2 sin 2 α2 ) du Dieses Integral ist trotz der Einfachheit der Bewegung elementar nicht lösbar! Annahme: α sehr klein sin 2 ϑ 2 0 Hieraus lässt sich die Schwingungsdauer appoximieren: l T 2 g l = 2 g (1 u2 ) du = 2 l g [arcsin u]1 1 arcsin (1) }{{} = π 2 arcsin ( 1) }{{} = π 2 T 2π l g Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

21 Das gewöhnliche Pendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Folgerung Wir haben gesehen: Es ist nicht möglich, die allgemeine Schwingungsdauer eines gewöhnlichen Pendel auf elementare Weise anzugeben. Approximation durch Annahme eines kleinen Ausschlagwinkels. Fragen: 1 Wie könnte man diese Approximation umgehen? 2 Kann es eine Kurve geben, bei der die Schwingungsdauer unabhängig vom Ausschlagwingel ist? Wie müsste eine solche Kurve aussehen? Lösung: Das Zykloidenpendel Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

22 Das Zykloidenpendel Vorbereitung Wiederholung: Zykloide Abbildung: Zykloide x = r(ϑ sin ϑ), y = r(1 cos ϑ), r Radius des Erzeugerkreises, ϑ Abrollwinkel des Kreises Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

23 Das Zykloidenpendel Vorbereitung Vorbereitung Spiegelung an der x-achse Verschiebung um 2r in positiver y-richtung Abbildung: Zykloidenpendel Man erhält Zykloidenpendel in Parameterdarstellung durch x = r(ϑ sin ϑ), y = r(1 + cos ϑ) (0 < ϑ < 2π) x = r(1 cos ϑ), y = r sin ϑ Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

24 Das Zykloidenpendel Vorbereitung Vorbereitung Der Massepunkt wird an beliebigem Punkt der Höhe losgelassen. In der Realität: y 0 = r(1 + cos α) (0 α π) Abbildung: Zykloidenpendel schwenk/mietprof/mathe/schwenk3/pendel.gif Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

25 Das Zykloidenpendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung (Skizze) Aus der allgemeinen Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer leiten wir die Fallzeit her: T 4 = 1 π x 2 + y 2 r π 1 cos ϑ dϑ = 2g y 0 y g cos α cos ϑ dϑ α α Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

26 Das Zykloidenpendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung (Skizze) Ohne Beweis verwenden wir die Gleichungen cos α cos ϑ = 2(cos 2 α 2 cos2 ϑ 2 ), und es folgt: sin ϑ 2 = 1 cos ϑ 2 T 4 = = = r g r g r g π α π α π α 1 cos ϑ cos α cos ϑ dϑ 1 cos ϑ 2(cos 2 α 2 cos2 ϑ ) dϑ 2 sin ϑ 2 cos 2 α 2 cos2 ϑ 2 dϑ Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

27 Das Zykloidenpendel Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer Herleitung (Skizze) Nun substituiert man mit u = cos ϑ 2 cos α 2 Integral sin ϑ 2 cos 2 α 2 cos2 ϑ 2 und er erhält für das unbestimmte dϑ = u 2 du } {{ } =arcsin u Durch Rücksubstitution kann man somit die Schwingungsdauer T ermitteln: T r π 4 = g α sin ϑ 2 cos 2 α 2 cos2 ϑ 2 [ r T = 8 arcsin cos ϑ ] π 2 r r g cos α = 8 2 α g [arcsin }{{ 0 } arcsin }{{ 1} ] = 4π g =0 = π 2 T ist also tatsächlich unabhängig vom Ausschlagwinkel. Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30 dϑ

28 Zusammenfassung Die wichtigen Ergebnisse Für Kurven in Parameterdarstellung gilt: Allgemeine Kurve: Geschwindigkeitsformel: ṡ = ± 2g(y 0 y) Zeitformel: t = ± ϑ x 2 +y 2 Gewöhnliches Pendel: ϑ 0 2g(y0 y) dϑ Allgemeine Schwingungsdauer kann elementar nicht hergeleitet werden. Approximierte Schwingungsdauer bei kleinem Ausschlagwinkel: T 2π l g Zykloidenpendel: Schwingungsdauer unabhängig vom Ausschlagwinkel Schwingungsdauer: T = 4π r g Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

29 Literatur Literatur R. Courant: Vorlesungen über Dierential- und Integralrechnung 1, Springer Verlag, 4.Auage, 1971 Barbara Kurz, Nadine Bär: Mechanik (Vortrag zum Proseminar Analysis), Universität Heidelberg, Wintersemester 2008/2009, Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter Vanessa Steiner: Darstellung von Kurven (Vortrag zum Proseminar Analysis), Universität Heidelberg, Wintersemester 2008/2009, Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter Diverse: Formelsammlung Trigonometrie (Wikipedia) (Stand: ), Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30

30 Literatur Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Daniel Wunderlich (Uni Heidelberg) Bewegungen / 30