Linien- oder Kurvenintegrale: Aufgaben

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Christa Breiner
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1 Linien- oder Kurvenintegrale: Aufgaben 4-E

2 Das ebene Linienintegral Im Fall eines ebenen Linienintegrals liegt der Integrationsweg C häufig in Form einer expliziten Funktionsgleichung y = f (x) vor. Das Linienintegral C F d r wird dann folgendermaßen berechnet: Man ersetzt die Koordinate y durch die Funktion f (x) das Differential dy durch f '(x) dx und erhält ein gewöhnliches Integral mit der Integrationsvariablen x C F d r [ F x x, y dx F y x, y dy ] = C [ F x x, f x F y x, f x f ' x ] dx C 4-

3 Das Linienintegral: Aufgaben 2, 3 Berechnen Sie die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F (x, y) bei einer Verschiebung von O (, ) nach P (, ) an einem Massenpunkt verrichtet ) eine geradlinige Verschiebung 2) Verschiebung längs einer Parabel C : y = x C 2 : y = x 2 3) Verschiebung längs einer Parabel C 3 : y = x 5 Aufgabe 2: F ( x, y) = (x y 2, x y), Aufgabe 3: F ( x, y) = ( x y, x 2 y) 5-A

4 Das Linienintegral: Aufgaben 2, 3 Abb. A2-: Graphische Darstellung der Intagrationswege der Aufgabe vom Punkt O (, ) nach P (, ) C : y = x, C 2 : y = x 2, C 3 : y = x 5 5-A2

5 Das Linienintegral: Lösung 2 Abb. A2-2: Das ebene Vektorfeld F (x, y) = (x y², x y) und die Feldlinien 5-

6 Das Linienintegral: Lösung 2- Abb. L2-: Der Integrationsweg ist eine geradlinige Strecke vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ) Der Integrationsweg C ist ein Segment der Geraden y = x und kann im Parameterform so dargestellt werden: C : y = x : r = x y = x x x 5-2

7 Das Linienintegral: Lösung 2- C : y = x, F = F x F y = x y2 x y = x3 x 2 f x = x, f ' x = Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W [ F x + F y f ' ( x) ] dx ( x 3 + x 2 ) dx = C [ = x x3 ] 3 =

8 Das Linienintegral: Lösung 2-2 Abb. L2-2: Der Integrationsweg ist eine parabelförmige Verbindung vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ) C 2 : y = x 2, r = x y = x x 2, x 5-4

9 Das Linienintegral: Lösung 2-2 C 2 : y = x 2 : F = x y2 x y = x5 x 3 f x = x 2, f ' x = 2 x Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W 2 [ F x + F y f ' (x) ] dx C 2 Das Kurvenintegral hängt nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges ab, sondern auch vom vorgegebenen Weg. (x x 4 ) dx =

10 Das Linienintegral: Lösung 2-3 Abb. L2-3: Der Integrationsweg vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ) C 3 : y = x 5, r = ( x ) y = ( x ) x 5, ( x ) 5-6

11 Das Linienintegral: Lösung 2-3 C 3 : y = x 5 : F = ( x y2 x y ) = ( x x 6 ) f (x) = x 5, f ' ( x) = 5 x 4 Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W 3 [ F x + F y f ' ( x) ] dx C 3 Das Kurvenintegral hängt nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges ab, sondern auch vom vorgegebenen Weg. ( x + 5 x ) dx = = = W C F d r.583, W 3 C 3 F d r.538, W 2 C 2 F d r.567 W > W 2 > W 3 5-7

12 Das Linienintegral: zur Aufgabe 3 Abb. L3-: Das ebene Vektorfeld F (x, y) = (-x y, x² y) und die Feldlinien 6-

13 Das Linienintegral: Lösung 3- C : y = x : r = x y = x x x F = x y x 2 y = x 2 x 3 f x = x, f ' x = Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W [ F x + F y f ' ( x) ] dx C [ = x3 3 + x4 ] 4 = 2.83 ( x 2 + x 3 ) dx = 6-2

14 Das Linienintegral: Lösung 3-2 C 2 : y = x 2 : F = x y x 2 y = x3 x 4 f x = x 2, f ' x = 2 x Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W 2 [ F x F y f ' x ] dx C 2 x 3 2 x 5 dx = [ = x x6 ] 6 =

15 Das Linienintegral: Lösung 3-3 C 3 : y = x 5 : F = ( x y x 2 y ) = ( x 6 x 7 ) f (x) = x 5, f ' (x) = 5 x 4 Die vom Kraftfeld F (x, y) geleistete Arbeit beträgt W 3 [ F x + F y f ' ( x) ] dx C 3 ( x x ) dx = [ = x x2 ] 2 = W C F d r =.83, W 3 C 3 F d r =.274 W 2 C 2 F d r =.83, W 3 > W 2 > W 6-4

16 Das Linienintegral: c Aufgabe 4 Abb. L4: Graphische Darstellung des Intagrationsweges vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ): ) y = x, 2) y = x², 3) y = x³ Berechnen Sie das Linienintegral y e x dx e x dy längs einer Kurve C C zwischen den Punkten O (, ) und P (, ) : ) y = x, 2) y = x², 3) y = x³ 7-A

17 Das Linienintegral: c Lösungen 4 a, b a) Der Integrationsweg ist eine gradlinige Strecke zwischen den Punkten O und P. C : y = x : dy = dx, x W y e x dx e x dy C x e x dx e x dx = [ x e x ] = e b) Der Integrationsweg ist ein Kurvensegment der Funktion y = x² zwischen den Punkten O und P. C 2 : y = x 2 : dy = 2 x dx, x W 2 y e x dx e x dy x 2 e x dx 2 x e x dx = C 2 = [ x 2 e x ] = e Entsprechende Integrale werden auf Seite 7-3 behandelt. 7-

18 Das Linienintegral: c Lösung 4c c) Der Integrationsweg ist ein ein Kurvensegment der Funktion y = x³ zwischen den Punkten O und P. C 3 : y = x 3 : dy = 3 x 2 dx, x W 3 y e x dx e x dy x 3 e x dx 3 x 2 e x dx = C 3 = [ x 3 e x ] = e Entsprechende Integrale werden auf Seite 7-3 behandelt. 7-2

19 Die Integrale cder Lösung 4 I n, a x n e a x dx = a xn e a x n a x n e a x dx C a ) I, a x e a x dx = e a x a 2 a x C I, x e x dx = e x x C b ) I 2, a x 2 e a x dx = e a x x2 a 2 x a 2 2 a 3 C I 2, x 2 e x dx = e x x 2 2 x 2 C c ) I 3, a x 3 e a x dx = a x3 e a x 3 a 2 e a x x2 2 x a I 3, x 3 e x dx = 6 6 x 3 x 2 x 3 e x C 2 a 2 7-3

20 Das Linienintegral: c Aufgabe 5 Berechnen Sie das Linienintegral y dx x dy C zwischen den Punkten O (, ) und P (, ) : längs einer Kurve C a) eine geradlinige Verschiebung y = x b) Verschiebung längs einer Parabel y = x² c) Verschiebung längs eines Kreises mit dem Mittelpunkt (, ) und dem Radius R = 8-A

21 Das Linienintegral: c Aufgabe 5 Abb. A5: Graphische Darstellung der Intagrationswege vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ) C : y = x, C 2 : y = x 2, C 3 : y = x 2 8-

22 Das Linienintegral: c Lösungen 5 a, b C : y = x : dy = dx x W y dx x dy C x dx x dx = 2 x dx = C 2 : y = x 2 : dy = 2 x dx x W 2 y dx x dy C 2 x 2 dx 2 x 2 dx = 3 x 2 dx = 8-3

23 Das Linienintegral: c Lösung 5c Abb. A5: Graphische Darstellung des Intagrationsweges längs eines Kreises mit Mittelpunkt (, ) und Radius R = vom Punkt O (, ) zum Punkt P (, ) Bei diesem Teil der Aufgabe ist es am einfachsten den Intagrationsweg in einer Parameterform darzustellen: C 3 : x = cos, y = sin, 2 8-4

24 Das Linienintegral: c Lösung 5c C 3 : x = + cos φ, y = sin φ, ( π 2 φ π ) W 3 C 3 ( y dx + x dy) = 2 [ sin sin d cos cos d ] = 2 [ cos cos 2 sin 2 ] d = 2 [ cos cos 2 ] d = 8-5

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