Implizite Differentiation

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Harry Pohl
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1 Implizite Differentiation -E

2 -E

3 Implizite Darstellung Eine Funktion ist in impliziter Form gegeben, wenn ie Funktionsgleichung nach keiner er beien Variablen x un y aufgelöst ist. Beispielsweise x y = 0 4 x y y 3 x = 0 x y = 4 x3 y3 = - 9 xy

4 Implizite Darstellung: Beispiel Abb. B: Kreis mit Mittelpunkt O (0, 0) un Raius. Der Kreis wir urch eine implizite Funktionsgleichung argestellt. x y = 4, -a P =, 3, P =, 3

5 Implizite Darstellung: Beispiel x y = 4, y y = = y = 4 x, x 4 x x 4 x y = 4 x y, ( ) x = y, x = 3 = = 3 Implizite Ableitung: (x ) + ( y) = (4), y ( y ) = y = y y' x + y y' = 0 y' = -b x, y ( y ' )P =, 3 ( y ' )P = 3

6 Implizite Darstellung: Beispiel Abb. B: Die Parabel y² = x + ist urch eine in impliziter Form gegebene Funktion argestellt y = x, y = x, y' = -3, y y = x, y ' P =, 4 P =,, y ' P = P =, 4

7 Implizite Darstellung: Beispiel 3 Abb. B3: Die Curve C mit en eingezeichneten Punkten A un B un en Tangenten in iesen Punkten Bestimmen Sie ie Steigung er Curve C in en Punkten A un B un ie Gleichungen er Tangenten in iesen Punkten. -4a C : y 3 = x +5 x y, A = (, ), B = (4, )

8 Implizite Darstellung: Beispiel 3 C : y 3 = x +5 x y, A = (, ), 3 ( x +5 x y ), y = 3 y y ' = 4 x + 5( y + x y ' ) y ' (3 y 5 x) = 4 x + 5 y, y' = ( = y ' A (, ) = 4x +5 y 3 y 5 x ) B = (4, ) A (, ) 4x+5y 3 y 5 x 6, 7 y ' B (4, ) = ( 4x +5 y 3 y 5 x ) = B(4, ) 3 4 Die Gleichung er Tangente im Punkt P: P = ( x 0, y 0 ): y = y 0 + mt (x x 0 ) Die Gleichung er Tangente im Punkt A: A = (, ) : y = ( x ), y = x Die Gleichung er Tangente im Punkt B: B = (4, ) : -4b y = 3 (x 4), 4 y = 3 x 4

9 Implizite Differentiation: Aufgaben, Aufgabe : Bestimmen Sie urch implizites un explizites Differenzieren ie Ableitung folgener Funktionen a ) x y x y = 3, b) e y x = x Aufgabe : Bestimmen Sie urch implizites Differenzieren ie Ableitung folgener Funktionen in en Punkten P a ) x y = 4, P = 4,, b ) x 3 y =, c ) x cos - y =, P =, P =, 3, P = 4,, 3 P =, ) y = ln x 4, P = e,

10 Implizite Differentiation: Lösung a ) x y x + y = 3, y= x 3, x + y' = y ( x + ) = 3 + x, 5 ( x + ) ( x y x + y) = ( 3), y ' ( x + ) = y, b) e - y x =, x y' = y' = x y + x y ' + y ' = 0 y = x + x 3 x + 5 = x + ( x + ) x

11 Implizite Differentiation: Lösung a Abb. La-: Graphische Darstellung er Gleichung x y = 4 mit Punkt (4, ) un ortiger Tangente mit Steigung -/4 x y = 4, -3 y x y ' = 0, y' = y, x y' P = y x x = 4, y = = 4

12 Implizite Differentiation: Lösung a Abb. La-: Graphische Darstellung er Gleichung x y = 4 mit Punkt (, ) un ortiger Tangente mit Steigung - y' = -4 y, x y' P = y x x =, y = =

13 Implizite Differentiation: Lösungen b-) b) x 3 y =, y' P 3 x = y 3 x y' P = y -5 x =, y =3 y x cos ) y =4 ln x, =, 3 x y y ' = 0, = x=, y = c) 3 x y' = y = 3.06 y y = cot, x y y' = 4, x y P = 4, pi / 3 y =, xy y = 3 P = e, = e

14 Implizite Differentiation: Lösung b Abb. Lb-: Graphische Darstellung er Gleichung x³ - y² = - mit Punkt (, 3) un ortiger Tangente mit Steigung -6

15 Implizite Differentiation: Lösung b Abb. Lb-: Graphische Darstellung er Gleichung x³ - y² = - mit Punkt (, - ) un ortiger Tangente mit Steigung

16 Implizite Differentiation: Aufgabe 3 Bestimmen Sie y/ urch implizites Differenzieren a ) x y x y = 5, x y = 6, b ) x x y 3 y = 6, xy c) =x y, x y 3-4 x 9 y = 5 y 4 4 y x 3 = x, x y x y = 3, x y x y = 4,

17 Implizite Differentiation: Lösung 3 3-

18 Implizite Differentiation: Aufgabe 4 Bestimmen Sie y/ urch implizites Differenzieren 4-

19 Implizite Differentiation: Lösung 4 a,b 4-

20 Implizite Differentiation: Lösung 4c sin y + x y = x y ( sin y + x y ) = ( x y ), y ' cos y + x y + x y y ' = y ' y ' cos y + y ' + x y y ' = x y ( +cos y + x y ) y ' = x y y' = 4-3 x y +cos y + x y

21 Implizite Differentiation: Lösung 4c 4-4

22 Implizite Differentiation: Lösung 4c 4-5

23 Implizite Differentiation: Lösung 4 4-6

24 Implizite Differentiation: Aufgaben 5, 6 Aufgabe 5: Bestimmen Sie y/ urch implizites Differenzieren Aufgabe 6: Bestimmen Sie y/ urch implizites Differenzieren 5-

25 Implizite Differentiation: Lösung 5 5-

26 Implizite Differentiation: Lösung 6 5-3

27 Gleichung einer Tangente: Aufgabe 7 Abb. 3-: Das kartesische Blatt x³ + y³ = 3axy 6- Das kartesische Blatt ist eine ebene Kurve 3. Ornung, ie nach em französischen Mathematiker un Philosophen René Descartes benannt ist.

28 Abb. 3-: Die Kurve x³ + y³ = 9/ xy (a = 3/) 6- Aufgabe 7: Bestimmen Sie ie Gleichung einer Tangente er gezeichneten Kurve x³ + y³ = 9/ xy im Punkt (, ).

29 Implizite Differentiation: Lösung 7 y 3 y x = y 3 x 9 x 3 y 3 = x y, y y tan = y x = P y 3 x = x =, y = 4, x 5 5

30 Gleichung einer Tangente: Aufgabe 8 Die Gleichung einer Kurve C ist gegeben. Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente im Punkt (, 0). C : y = ln x y 7-

31 Implizite Differentiation: Lösung 8 C : y = ln x y Die implizite Differentiation führt zunächst auf y' = x 4 y y' ln x y = x y Einsetzen er x- un y-koorinaten von P (, 0) ergibt ann irekt y' =. y ' x =, m =, 7- y =0 = y tan = x

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