Analysis Leistungskurs

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1 Universität Hannover September 2007 Unikik Dr. Gerhard Merziger Analysis Leistungskurs Themen Grundlagen, Beweistechniken Abbildungen (surjektiv, injektiv, bijektiv) Vollständige Induktion Wichtige Ungleichungen Folgen und Reihen Polynome, rationale Funktionen Trigonometrische, Exponential, Logarithmus Funktionen Differentiation, Integration Mehrfache Integration

2 Aufgaben: Grundlagen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen () Beweise Bildungsgesetz und Symmetrie des Pascalschen Dreiecks: ( nk ) ( + n ) ( k + = n + ) k + und ( n) ( k = n n k). (2) Berechne x aus 2 x = 4, x 2 3 = 2, 2 2 = x, log = x, log x 2 = 2 3, log 3 x = 2. (3) Zeige: log a x = log b x log b a. (4) Berechne x aus 2 x ln x = 3 ln x. Abbildungen (surjektiv, injektiv, bijektiv) (5) Sind A, B IR und ist f : A B streng monoton wachsend, so ist f injektiv. (6) Sind folgende Funktionen surjektiv, injektiv, bijektiv? { { IR IR IR IR>0 f : x e x f 2 : x e x f 3 : { IR IR x x 3 x f 4 : { ] π 2, π 2 [ IR x tan x Aussagen, Quantoren, direkter Beweis, indirekter Beweis (7) Sind A, B Aussagen, so gilt A B = A B (de Morgan sche Regel) (A = B) = (A B) = (B = A) (Ersetzen der Implikation) A = B = A B (Verneinung der Implikation) (8) Man negiere folgende Aussagen: n n 0 = a n < ɛ. Für alle ɛ > 0 gibt es ein n 0 IN, so daß für alle n IN A(n, n 0 ) gilt. Für alle ɛ > 0 gibt es ein n 0 IN, so daß für alle n IN gilt: n n 0 = a n < ɛ. (Bedeutung?) (9) Indirekter Beweis: Die Aussage A = B ist gleichbedeutend zu A B = A A B = B A B = F (also #, Widerspruch zur Voraussetzung A), (also #, Widerspruch zur Annahme B), (also #, F steht für eine offensichtl. falsche Aussage).

3 (0) Beweise direkt: log a x = log b x, 0 < a, b. log b a () Beweise indirekt: x 3 < 0 = x < 0 (Widerspruch zur Voraussetzung) 2 / Q (Widerspruch zur Annahme) ab a+b, a, b 0 (führt auf eine offensichtlich falsche Aussage) 2 (2) Man negiere folgende Aussage: x 0 D ɛ > 0 δ > 0 x D x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ. ɛ > 0 δ > 0 x D x 2 D, x x 2 < δ = f(x ) f(x 2 ) < ɛ. Was bedeuten diese Aussagen, falls f : D IR eine reelle Funktion ist? Vollständige Induktion (3) Für jede natürliche Zahl n gilt: n k= k = n = n(n+) 2. Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen ist n 2. (4) Ist n 3, so gilt n 2 2n + für alle n IN. (5) Ist n 5, so ist 2 n > n 2 für alle n IN. (6) Für jede natürliche Zahl n 0 gilt 2 n > n 3. (7) n q k = qn+, q (endliche geometrische Reihe) q Wichtige Ungleichungen (8) ab a+b für a, b 0. Geometrisches-, arithmetisches Mittel Ungleichung 2 (9) x y x y für x, y IR n. Cauchy Schwarzsche Ungleichung (20) x + y x + y für x, y IR n. Dreiecksungleichung (2) Wichtige Ungleichungen für Exponential bzw. Logarithmusfunktion: x + e x x, für x <, x x ln x x, für x > 0. (22) Ist x, so gilt ( + x) n + nx für alle n IN (Bernoulli Ungleichung).

4 Folgen und Reihen (23) Untersuche die Folgen (bechränkt, monoton, alternierend, Bildungsgesetz, Häufungswert, Grenzwert):, 2, 3, 4,... 4, 4, 4, 4,..., 2, 3, 4,... (d) 2, 2 3, 2 9, 2 27,... (e) 3, 2 5, 3 7, 4 9,... (f), 2, 4, 8, 6,... (g), 2 + 2,, 2 + 3,, 2 + 4,,... (24) Die Folgen a n = ( + n )n und b n = ( + n )(n+) sind monoton und beschränkt und konvergieren gegen den gleichen Grenzwert (e= ). (25) Die Fibonacci Folge (a n ) ist rekursiv def. durch a 0 = a =, a n+2 = a n + a n+. Man bestimme eine explizite Darstellung der Fibonacci Folge. Man zeige: n a n a n+ = 2 ( 5 ), (goldener Schnitt). n (26) Zeige: n 2n+ = 2, n + n = 0, n (27) Zeige: n n, n a, für 0 < a, q n 0, für q <. (28) Zeige: (29) Berechne (30) Zeige: (3) Zeige: n k= n= q k = qn+, q (endliche geometrische Reihe), q q k = q, q < 6 2 k, k=2 2 k, (geometrische Reihe). k=2 = (harmonische Reihe). k n n n 2 +n divergiert. (32) Ein Kapital sei zu p % angelegt. 4 2 k+ 3 k, Wie groß ist das Kapital nach n Jahren? (n+) 3 (n ) 3 n (2n+3) 2 = 3 2. ( ) k x 2k. Begründe die Faustformel: Verdoppelung nach 70 n Jahren. Hinweis: Für kleine x gilt ln( + x) x. (33) Um 0 Uhr stehen großer und kleiner Zeiger einer Uhr genau übereinander. Wann stehen sie erstmalig wieder übereinander? Bestimme einen expliziten Ausdruck für die Folge (x n ) der Minuten, zu der die Zeiger übereinanderstehen. Wie oft haben sie in genau 2 Stunden übereinandergestanden (Start bei 0 bzw. Uhr)?

5 Polynome, rationale Funktionen (34) Skizziere folgende Polynome (Nullstellen, evtl. Linearfaktorzerlegung): y = x 3 3x 2 x + 3, y = x 4 3x 2 + 2, y = x 5 2x 4 + 5x 3 + 6x 2, (d) y = 6x 4 + 7x 3 3x 2 4x + 4. (35) Skizziere folgende rationale Funktionen (Nullstellen, Polstellen, Asymptote): y = y = (x+)(x 2), x x (x+)(x 2), y = x2 x+. (d) y = (x+3)2 (x+2)x 3 (x ) 2 (x 3) 3 ) (x+2) 4 (x+) 2 (x ) 2 (x 2) 3 (x 3). Trigonometrische, Exponential, Logarithmus Funktionen (36) Skizziere 3 sin x, 3 sin 2x, 3 sin(2x + π 3 ). (37) Skizziere e x, e x, 2 x, 3 x, ( ) x, 2 3e 2x 4, e x sin x. (38) Skizziere ln x, log 2 x, log 3 x, ln x, ln x, ln x, ln 2 x, ln x, x ln x. (39) Eine Population der Anfangsgröße m 0 = 000 habe eine tägliche Wachstumsrate von 0%. Wieviele Individuen y(0) sind nach 0 Tagen vorhanden? Nach wievielen Tagen hat sich die Population verdoppelt? (40) Die Halbwertzeit einer Substanz (Pu 239) beträgt Jahre. Wieviel ist von kg der Substanz nach 00 Jahren noch vorhanden? (4) Für alle x IR gilt + x e x.

6 Differentiation, Integration (42) Man differenziere (Summen, Produkt, Quotienten, Kettenregel) x 3 + 2x 2 + 4, x ln x, 2x 2 e x sin x, tan ϕ, (t 3 ) 2, e cos t. (43) Man berechne Steigung und Tangente an die Kurve x 2 + y 2 = 5 im Punkt (, 2). (44) Man berechne folgende Grenzwerte (l Hospital): sin x x 0 x x, sin 2 x x 0 x, x 0 x 3x e x, 3 x e x, sin x ln x x 2, x x tan x x 0 x, x ln x, x 0 + x 0 + x x. (45) Man untersuche folgende Funktion auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. { x sin f(x) = x, x 0 0, x = 0 (46) Welcher Punkt auf dem Parabelbogen y = 3x x 2, 0 x 3 hat vom Nullpunkt (0, 0) maximalen Abstand? (47) Fertige aus drei gleichbreiten Brettern eine Rinne mit maximalem Querschnitt! (48) Aus einem Draht der Länge L forme man einen Kreis und ein Quadrat so, daß die Summe der Flächeninhalte möglichst groß wird. (49) Zwei Masten von je 27m Höhe stehen auf gleichmäßig ansteigendem Gelände; ihre waagerechte Entfernung beträgt 200m, ihr Höhenunterschied 5m. Die Spitzen der Masten sind durch Leitungen verbunden. Die B in der Spitze A des tiefer gelegenen Mastes an die Leitung gelegte Tangente trifft den zweiten Mast im Punkt C, der 9m 200m A 9m tiefer liegt als A. C In welchem Punkt kommt die Leitung dem Boden am 27m nächsten, wenn man sie näherungsweise als Parabel (statt cosh Funktion, Kettenlinie) mit senkrechter Achse auffaßt? (50) Eine 400m Laufbahn, bestehend aus zwei parallelen Geraden mit zwei angesetzten Halbkreisen, soll so angelegt werden, daß der Inhalt des Rechtecks zwischen den Geraden möglichst groß wird. Wie lang ist die Gerade, wie groß ist das Rechteck? (5) Unter evtl. teilweiser Benutzung einer Mauer der Länge L = 50m und 00m Draht zäune man ein rechteckiges Grundstück so ein, daß der Flächeninhalt F möglichst groß wird.

7 (52) Funktionen mehrerer Veränderlicher Gegeben sei die Fläche z = y +x 2 im IR 3. Man veranschauliche sich diese Fläche. Berechne den Gradienten grad f(, 2). Berechne die Tangentialebene an die Fläche im Punkt (, 2, ). (53) Man bestimme die partiellen Ableitungen von f(x, y) = x 2 y 3 + xy 2 + 2y, den Gradienten von f an der Stelle (x, y) und an der Stelle (0, ), sowie die Tangente an die Niveaulinie von f durch (0, ). (54) Es sei z = f(x, y) = x 2 y 3y. Man berechne: die Schnittkurven von w = f(x, y) mit den Ebenen x = 4 bzw. y = 3, die Tangentenvektoren dieser Kurven in (4, 3, f(4, 3)), die Ebene, die von ihnen in diesem { Punkt aufgespannt wird. x k y (55) Untersuche die Funktionen f k (x, y) = x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) (k =, 2, 3) 0 (x, y) = (0, 0) im Punkt (0, 0) auf Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit, Differenzierbarkeit. (56) Differenziere mit der Kettenregel: w = e x 2y, x = sin t, y = t 3, berechne dw dt. w = x 2 ln y, x = u v, y = 3u 2v, berechne w u und w v. w = xy x 2 +y 2 und x = x(r, ϕ) = r cos ϕ y = y(r, ϕ) = r sin ϕ, berechne w r und w ϕ. Mehrfache Integration (57) Man berechne V (2x + y + z) dv, wobei V der von den Koordinatenebenen und der Ebene E : x + y + z = begrenzte Körper ist. (58) Berechne das Volumen der Kugel vom Radius R (d) als Einfachintegral (Rotationskörper!), als Doppelintegral (Polarkoordinaten!), als Dreifachintegral (Kugelkoordinaten!), mittels Guldinscher Regel (Schwerpunkt der oberen Halbkreisfläche ist (0, 4 3π R)).